СеминарОДУ4

1. СЕМИНАР №4 ОДУ

1

2.

Задача №1.
Решить уравнение Риккати
dy
1
+ 2 y2 −
= 0.
2
dx
x
2

3.

Решение
Частное решение данного уравнения ищем в виде yч =
a
. При
x
подстановке его в уравнение получаем
2a 2
1 9 1 3
−
+
−
= 0 2a − a − 1 = 0, a1,2 =
=
.
2
2
2
4
4
x
x
x
a
1
2
1
2
Корни a1 = 1, a2 = − .
Имеем два частных решения
y1 =
1
x
и
y2 = −
1
2x
указанного
вида данного уравнения Риккати.
3

4.

Берем частное решение y1 =
где u = u(x); y = −
1
x
2
−
u
u
2
1
,
x
делаем подстановку
y=
1 1
+ ,
x u
.
Подставляем в данное уравнение:
u
2
1
du
u
1 1
−
−
+ 2 + −
=0
− 4 = 2.
dx
x
x u
x 2 u2
x2
1
Используем
метод
Лагранжа
для
решения
этого
(1)
линейного
уравнения
du
u
− 4 = 0 u = Cx 4 .
dx
x
4

5.

Полагаем u = C ( x ) x 4 u = C ( x ) x 4 + 4Cx 3 подставляем в (1).
Cx 4
dC
dx
C x + 4Cx − 4
= 2 x4
= 2 dC = 2
x
dx
x4
4
3
C ( x) = −
2
2
+ C1 u = Cx 4 = − x + C1 x 4 .
3
3x3
Тогда
y=
1 1 1
1
1
3
+ = +
= +
.
4
2
x u x C x 4 − x x Cx − 2 x
1
3
Ответ:
y=
1
3
+
.
4
x Cx − 2 x
5

6.

2 способ (интегрирующий множитель)
Для уравнения (1) находим
4
( x ) = e
− x dx
Далее умножаем (1) на ( x ) =
= e − 4 ln x =
1
x
4
.
1
x4
1 du 4
2
d u 2
−
u=
=
4 dx
5
4
4
4
dx x x
x
x
x
u
x4
=−
u
2
d
=
x 4 x 4 dx
2 1
2
1 1
+ C u = Cx 4 − x y = + .
3 x3
3
x u
Ответ:
y=
1
3
+
.
4
x Cx − 2 x
6

7.

Задача №2.
В помещении цеха вместимостью 10000 м3 воздух содержит 0,1%
углекислоты. Каждую минуту вентиляторы нагнетают в помещение
р
м3
свежего
воздуха,
содержащего
0,02%
углекислоты,
одновременно удаляя столько же загрязненного воздуха. Какова
должна быть производительность вентиляторов р, чтобы по
истечении 20 мин содержание углекислоты не превышало 0,04%?
7

8.

Решение
Будем полагать, что концентрация углекислоты во всех частях
помещения в каждый момент времени одинакова, т. е. смешение
чистого воздуха с загрязненным происходит мгновенно.
Обозначим
содержание
углекислоты
(СО2) в воздухе в момент времени t
через
x(t)
%.
углекислоты
в
Составим
баланс
помещении
за
промежуток времени dt. За этот период
времени вентиляторы доставили 0,0002рdt м3 углекислоты, а
удалили из помещения 0,01хрdt м3 углекислоты.
8

9.

Следовательно, всего за dt минут количество углекислоты в воздухе
уменьшилось на
dQ = (0,01x – 0,0002)p dt м3.
Обозначим
через
dх
процентное
углекислоты
в
воздухе,
можно
уменьшение
подсчитать
содержания
уменьшение
dQ
количества углекислоты по формуле:
dQ = – 10000 0,01 dх м3.
Знак «минус» указывает на то, что количество углекислоты
уменьшается.
9

10.

Приравнивая друг другу оба выражения для dQ, получим
дифференциальное уравнение
(0,01x – 0,0002)p dt = −10000 0,01dх
− pdt
0,01dx
pdt
dx
=
−
=
10000 0,01 x − 0,0002
10000 x − 0,02
pt
− pt
= ln( x − 0,02) − ln C x − 0,02 = Ce 10000
−
10000
pt
x ( t ) = 0,02 + Ce 10000 .
−
10

11.

Учитываем начальное условие х = 0,1% при t0 = 0:
0,1 = 0,02 + С 1 С = 0,08.
Тогда решение принимает вид:
− pt
x ( t ) = 0,02 + 0,08e 10000 .
Для ответа на вопрос задачи используем дополнительное условие:
х = 0,04% и t = 20 мин:
− p 20
−p
−p
0,04 = 0,02 + 0,08e 10000 0,02 = 0,08e 500 e 500 = 0,25
−p
м3
= ln 0,25 p = −500 ln 0,25 p −500( −1,386) 693,147
.
500
мин
− pt
Ответ: x( t ) = 0,02 + 0,08 e 10000 ,
м3
p 693,147
.
мин
11

12.

Для решения некоторых уравнений можно применять метод
выделения полных дифференциалов.
12

13.

Задача №3. (Ф197).
Решить уравнение
ydy = ( xdy + ydx ) 1 + y 2 .
13

14.

Решение
Заметим, что d ( xy ) = xdy + ydx .
Перепишем исходное уравнение в виде
ydy = 1 + y 2 d ( xy ).
Делим его на
1 + y2 ,
d ( xy ) −
получим
ydy
1 + y2
= 0 d ( xy ) − d ( 1 + y 2 ) = 0.
Интегрируя это уравнение, находим общий интеграл
xy − 1 + y 2 = C .
2
Ответ: xy = 1 + y + C .
14

15.

Задача №4.
Решить уравнение
2 xy ln y dx + ( x 2 + y 2 y 2 + 1 )dy = 0.
15

16.

Решение
Здесь M ( x , y ) = 2 xy ln y , N = x 2 + y 2 y 2 + 1.
M ( x , y )
y
N ( x , y )
= 2 x ln y + = 2 x (ln y + 1);
= 2x
y
y
x
Таким образом
M ( x , y ) N ( x , y )
.
y
x
Ищем интегрирующий множитель = (х)
M N
−
d ln y x 2 x (ln y + 1) − 2 x
2 x ln y
=
=
=
= ( x , y ).
2
2
2
2
2
2
dx
N
x + y y +1 x + y y +1
16

17.

Следовательно, интегрирующего множителя (х) нет.
Ищем интегрирующий множитель = (у).
N M
−
d ln x y 2 x − 2 x (ln y + 1) 1 − ln y − 1
1
=
=
=
=− .
dy
M
2 xy ln y
y ln y
y
Интегрирующий множитель (у) существует.
d ln
1
1
1
=−
d ln = d ln ( y ) = .
dy
y
y
y
17

18.

Уравнение
2 xy ln ydx x 2 + y 2 y 2 + 1
+
dy = 0
y
y
является уравнением в полных дифференциалах.
x2
2 x ln ydx +
dy + y y 2 + 1 dy = 0.
y
18

19.

Запишем последнее уравнение в виде
d ( x 2 ln y ) + y y 2 + 1 dy = 0
2
d
(
x
ln y ) +
1
2
2
y
+
1
d
(
y
+ 1) = 0
2
x 2 ln y +
x 2 ln y +
3
1 t2
2 3
2
t = y2 + 1
1
t dt = C
2
3
1
= C x 2 ln y + ( y 2 + 1) 2 = C .
3
Ответ:
3
1
x 2 ln y + ( y 2 + 1) 2 = C .
3
19

20.

Задача №5. (Ф165).
Решить интегральное уравнение
x
y( x ) = y( t )dt + x + 1.
(1)
0
20

21.

Решение
Продифференцируем обе части уравнения по х. Используем
известную формулу для производной от интеграла с переменным
верхним пределом
x
d
f
(
t
)
dt
= f ( x)
dx
x0
для любой непрерывной функции f(x).
Получим линейное дифференциальное уравнение
y (x) = y(x) + 1.
(2)
Положив х = 0 в исходном уравнении, будем иметь
0
y(0) = y( t )dt + 0 + 1 y(0) = 1.
0
21

22.

Таким образом, непрерывное решение исходного интегрального
уравнения является решением задачи Коши
y = y + 1;
y(0) = 1.
(3)
(4)
Заметим, что интегрируя уравнение (3) с начальным условием (4)
придем к исходному интегральному уравнению.
Решим уравнение (3):
dy
= y+1
dx
dy
x
=
dx
ln
y
+
1
=
x
+
ln
C
y
=
Ce
− 1.
y+1
22

23.

Учтем начальное условие (4):
y(0) = 1 = C – 1 C = 2.
Решением задачи Коши является функция
у = 2ех − 1.
(5)
Непосредственной подстановкой в исходное интегральное уравнение
убеждаемся, что функция у = у(х), представимая по формуле (5),
является решением интегрального уравнения
x
t
x
2e − 1 = ( 2e − t ) + x + 1 2e x − x + x + 1 − 2.
0
Ответ: решение интегрального уравнения имеет вид у(х) = 2ех − 1.
23

24.

Задача №6.
Решить уравнение
dy 2 y
3
+
+ 2 y2 =
.
2
dx x
x
24

25.

Решение
Будем искать частное решение уравнения Риккати в виде yч =
k
.
x
2 k
k2
3
y = −
−
+ +2
=
x2
x2 x x
x2 x2
k
2k 2 + k − 3 = 0 k1,2 =
k
− 1 1 + 24 − 1 5
3
=
, k1 = 1, k 2 = − .
4
4
2
Следовательно, исходное уравнение имеет частные решения
1
3 −1
3
y1 = , y2 = − x = − .
x
2
2x
25

26.

Оставляем первое из этих решений (второе отбрасываем).
После замены y = z +
1
x
исходное уравнение сводится к уравнению
Бернулли.
y = z −
1
x
2
,
2
2
1
1
3
z
z −
+ z + + 2 z + =
z + 6 + 2z 2 = 0
x
x
x
x2 x
x2
1
Уравнение Бернулли
dz
z
+ 6 + 2 z 2 = 0.
dx
x
(0)
26

27.

1 способ
Подстановка Бернулли: z = uv , u v + uv = z .
u v + uv + 6
uv
dv
u
− 2u 2v 2 = 0 u + v u + 6 + 2u 2v 2 = 0
x
dx
x
du
u
+6 =0
dx
x
(1)
du
dx
1
u = −6 x ln u = −6 ln x u = x 6 .
27

28.

Подставляем u в (1):
1 dv
2 2
dv − 2 2
dv
dx
1
x − 6+1
+
v =0
=
v −
= 2
+ =2
+ C1
6 dx
12
6
2
6
dx x
v
−6+1
x
x
v
x
1 2 − 5C1 x 5
5 x5
+ =
, 5C1 = C v =
5
v
− 5x
− 2 + Cx 5
z = uv =
1
( −5 x 5 )
x 6 2 − Cx 5
=
5 x5
1
(Cx 5 − 2) x 6
=
5
(Cx 5 − 2) x
1
5
1 Cx 5 + 3
y= z+ =
+ =
.
5
6
x (Cx − 2) x x Cx − 2 x
Ответ: y =
Cx 5 + 3
6
Cx − 2 x
,
1
y= .
x
28

29.

2 способ (Метод Лагранжа).
dz
z
+ 6 + 2 z 2 = 0,
dx
x
dz 6 z
+
=0
dx x
z =
(0)
dz
6
C1 ( x )
=
−
dx
ln
z
=
−
6
ln
x
+
ln
C
z
=
1
z x
x6
C1 ( x ) x 6 − 6 x 5C1
x12
= C1 ( x )
1
x6
−
6 x 5C1
C ( x ) 6C1
= 1
−
,
12
6
7
x
x
x
подставляем z в (0)
29

30.

dC1
2C12
dC
2
−
+
+
=0
=−
− 1=
dx
6
7
7
12
6
2
6
dx
x
x
x
x
x
C1
x
C1
−
6C1
6C1
1
2
C1
z=
=−
5x
C1 ( x )
x6
5
2C12
+ C0
1
C1
=
5C 0 x 5 − 2
5x
5
, 5C 0 = C C1 =
5 x5
Cx 5 − 2
1
5
1 Cx 5 + 3
=
y= z+ =
+ =
.
5
5
6
x
x
x (Cx − 2)
x (Cx − 2)
Cx − 2 x
5
Ответ: y =
Cx 5 + 3
Cx 6 − 2 х
, y=
1
.
x
30

31.

3 способ
dz
z
+ 6 = −2 z 2 ,
dx
x
1−
= 2, z = u
z = −
u
u2
−
du
u
=6
dx
x
u
u2
+6
1− 2
=u
(0)
1
= ,
u
1
1
du
u
= −2
−
+ 6 = −2
ux
dx
x
u2
(1)
du
dx
6
6
=
6
u
=
Cx
u
=
C
(
x
)
x
u x
u = C x 6 + 6Cx 5 , подставляем в (1):
31

32.

Cx 6
− C x − 6Cx + 6
= −2
x
6
C=
5
C2 x5 − 2
5 x5
dC =
2
x
6
dx C =
−2
5x
5
+ C1
6
C
x
− 2x
1
5
, u = Cx 6 = 2
, z= =
5
u C2 x6 − 2 x
1
5
1 Cx 5 + 3
y= z+ =
+ =
.
6
6
x C 2 x − 2 x x Cx − 2 x
Ответ: y =
Cx 5 + 3
Cx 6 − 2 x
, y=
1
.
x
32

33.

Задача №7.
Найти у(х) из уравнения
2
x
xy − y = y 3 sin 2 , y(1) = .
y
33

34.

Решение
Разделим обе части уравнения на у2 и затем положим x = y u(x).
1
x
x
x
y − = y sin 2 − = y sin 2
y
y
y
y
y2
x
y − xy x
1
x
− = −
=
y −
y
y
y2
y2
− ( u) = y sin 2 u −
−
udu
sin 2 u
du x 2
udu
= sin u −
= xdx
2
dx u
sin u
= ud (ctg u) = u ctg u −
cos x
dx = u ctg u − ln sin u .
sin x
34

35.

x2
Получаем: u ctg u − ln sin u =
+C
2
x
x
x x2
ctg − ln sin =
+ C.
y
y
y
2
2
Учтем, что y(1) = :
1
1
1
ctg − ln sin = + C C = − .
2
2
2 2
2
Ответ:
x 1 − x2
x x
ln sin − ctg =
.
y
y
y
2
35

36.

Задача №8.
Решить уравнение
( x 2 cos( x + y ) + y )dx + ( x 2 cos( x + y ) − x )dy = 0.
36

37.

Решение
M ( x , y ) = x 2 cos( x + y ) + y ,
N ( x , y ) = x 2 cos( x + y ) − x .
N ( x , y )
M ( x , y )
= 2 x cos( x + y ) − x 2 sin( x + y ) − 1.
= − x 2 sin( x + y ) + 1,
x
y
Условие M ( x , y ) N ( x , y ) .
y
x
Ищем интегрирующий множитель (х)
M ( x , y ) N ( x , y )
−
y
x
= ( x ),
N ( x, y)
( x ) = e
( x )dx
37

38.

( x ) =
− x 2 sin( x + y ) + 1 − 2 x cos( x + y ) + x 2 sin( x + y ) + 1
2
x cos( x + y ) − x
=
2(1 − x cos( x + y ))
2
=−
x ( x cos( x + y ) − 1)
x
2
−
x dx
1
( x ) = e
= e − 2 ln x =
,
2
x
После умножения на =
=
1
x
2
=
1
x
2
.
исходное уравнение примет вид
y
1
cos( x + y ) +
dx + cos( x + y ) − dy = 0.
x
x2
(4)
38

39.

Особое решение х = 0.
Получим уравнение в полных дифференциалах.
Следовательно, существует такая функция U(x, y), что
y
U
=
M
(
x
,
y
)
=
cos(
x
+
y
)
+
1
x
x2
U = N ( x , y ) = cos( x + y ) − 1 ,
1
y
x
интегрируем относительно у второе уравнение системы,
1
y
U ( x , y ) = N 1 ( x , y )dy = cos( x + y ) − dy = sin( x + y ) − + ( x ).
x
x
39

40.

Определим функцию (х), используя полученную функцию U(x, y) и
первое уравнение системы:
U ( x , y )
y
= cos( x + y ) +
+ ( x ) ( x ) = 0 ( x ) = C1 .
2
x
x
y
x
Тогда U = sin( x + y ) − + C1 .
Так как интеграл уравнения в полных
дифференциалах определяется формулой U(x, y) = С2, то
sin( x + y ) −
y
+ C1 = C 2 .
x
Ответ: sin( x + y ) −
y
= C , x = 0.
x
40

41.

Замечание 1.
Уравнению (4) можно придать вид cos( x + y )(dx + dy ) +
ydx − xdy
x
2
= 0,
из которого легко усматривается, что левая часть уравнения (4) есть
y
x
дифференциал функции sin( x + y ) − .
Замечание 2.
При умножении исходного уравнения на
=
1
x
2
теряется решение
х = 0.
41

42. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

42