волны

1.

Волны
Волна – процесс распространения колебаний в среде
Свойства волн:
1) переносят энергию и импульс;
2) не переносят вещество.
Волновое уравнение
Стержень
( x , t ) F
F
a
m – линейная плотность
k – линейный коэффициент
упругости (на ед. длины)
– продольное смещение
частицы среды
x
F =k
a
=k
a
x
F ( x) = k
x

2.

Волны
Волновое уравнение
Уравнение движения
F ( x + x )
F ( x)
2
m x 2
= F ( x + x ) − F ( x )
t x + x 2
x
x
2
m x 2
=k
−
t x + x 2
x
x
x + x
x
: m x → 0
2 2 2
−c
=0
2
2
t
x
c=
k
m
– скорость распространения упругих возмущений

3.

Волны
Волновое уравнение
Струна
y
y
T
T
Ty
( x , t )
T
x
x
m – линейная плотность
При << 1 T const
T – натяжение струны
– поперечное смещение
частицы струны
Ty = T sin = T tg = T
<< 1
x

4.

Волны
Волновое уравнение
Уравнение движения
T ( x + x )
y
2
m x 2
= Ty ( x + x ) − Ty ( x )
t x + x 2
T ( x)
x
x
2
m x 2
=T
−
t x + x 2
x x + x x x
: m x → 0
2 2 2
−c
=0
2
2
t
x
c=
T
m
– скорость распространения малых возмущений

5.

Волны
Волновое уравнение
2 2 2
−c
=0
2
2
t
x
– классическое волновое уравнение
Решение – бегущие волны
c
1)
2)
( x, t ) = (t x c)
c
( x, t ) = (t − x c)
– “правая” бегущая волна
( x, t ) = (t + x c)
– “левая” бегущая волна
x
x
Продольная волна: (смещение частиц) ║ x (направление движения волны)
Поперечная волна: (смещение частиц) ⊥ x (направление движения волны)

6.

Волны
Волновое уравнение
Гармоническая бегущая волна
= Acos (t x c)
= A cos( t kx )
k=
c
– гармоническая бегущая или
плоская монохроматическая волна
– волновое число (вектор)
y
x
=
c
=
– частота волны
2
T =
1
– длина волны
– период волны

7.

Волны
Упругие волны в твердых телах
Стержень
Для модели стержня
F
c
m = S
S
F
l
=E
S
l
k = ES
c=
E
Волны в стержне не являются строго продольными, наряду с продольным
смещением имеется и поперечное смещение частиц стержня

8.

Волны
Упругие волны в твердых телах
Неограниченная среда
а) продольная волна
Для модели стержня
F
c
S
m = S
F
l
= E
S
l
k = E S
E = K + 4 3 G
– модуль одностороннего сжатия
c =
K + 43 G

9.

Волны
Упругие волны в твердых телах
Неограниченная среда
а) поперечная волна
Для модели струны
y
Fy = S = GS
c S
= G
m = S
c⊥ =
G
T = GS
Fy = T – для струны
c c⊥
В неограниченной среде возмущение разделится на
продольное и поперечное, причем продольное возмущение
придет в точку наблюдения быстрее поперечного

10.

Волны
Упругие волны в газах и жидкостях
p
F
p + p
F
p
S
F = − S dp = − S
dp
dV
dV
dp dV
dp dL
F = S −V
=
S
−
V
dV V
dV L
Для модели стержня
dV dL
=
V
L
m = S
dp
k = S −V
dV
Сжатие и разрежение в волне протекает без существенного
теплообмена (адиабатически)

11.

Волны
Упругие волны в газах и жидкостях
Газ
pV = const
– уравнение адиабаты
dp
= p
dV
c=
−V
p
Жидкость
dp
K S = −V
dV S
– адиабатический модуль объемного сжатия
c=
KS

12.

Волны
Интерференция волн. Стоячие волны
1 ( x, t )
По принципу суперпозиции
2 ( x, t )
= 1 + 2
1 , 2
– когерентные волны, если их частоты равны
1 = 2
Интерференция:
При наложении когерентных волн возникает интерференция –
в одних точках усиление колебаний, в других – их ослабление.

13.

Волны
Интерференция волн. Стоячие волны
1 = a cos( t − kx )
= 1 + 2 = 2a sin kx cos t
2 = −a cos( t + kx)
A( x )
x
= 2a sin 2 cos t
узел
– уравнение стоячей волны
пучность
A( x ) = 0
– узел
| A( x ) | = 2a
– пучность
(n = 0, 1 , 2 ) – узлы стоячей волны
2
x = n+ 1
(n = 0, 1 , 2 ) – пучности стоячей волны
2 2
1)
x = n
2)
(
)

14.

Волны
Интерференция волн. Стоячие волны
Струна
L
L=n
n =
c= T m
n =
c
c
=
n,
n 2L
Колебания
(n = 1, 2, 3, ... )
2
2L
,
n
(n = 1, 2, 3, ... )
– собственные частоты струны
1 = c 2L – основная (первая) гармоника
n = n 1
– n–я гармоника

15.

Волны
Энергия упругих волн. Вектор Умова
Плотность энергии волны (в стержне)
u=
(t, x) = (t − x c)
t
1
u
=−
=−
x
c t
c
mu 2
u 2
dK =
dl =
dV
2
2
2
1
k 2
u 2
dU = k dl = 2 u dl =
dV
2 x
2c
2
= u 2
c2 =
– плотность энергии волны
=
k
d (K + U )
dV

16.

Волны
Энергия упругих волн. Вектор Умова
Плотность потока импульса (в стержне)
jp
c
F
S
F = −k
x
p – импульс правой части стержня
jp =
1 dp F
k
= =
u = cu
S dt S cS
= u – объемная плотность импульса
j p = c
– плотность потока импульса

17.

Волны
Энергия упругих волн. Вектор Умова
Плотность потока импульса (в стержне)
j
c
F
S
F = −k
x
E – энергия правой части стержня, A – работа силы упругости F
j =
1 dE 1 dA Fu
=
=
= cu 2
S dt S dt
S
dE = dA,
dA
= Fu
dt
= u 2 – объемная плотность энергии волны
j = c
– плотность потока энергии (вектор Умова)

18.

Волны
Эффект Доплера
0
источник
приемник
– частота приема (приемником)
= 0
1)
vист = vпр = 0
2)
vист и/или vпр 0
Правило знаков
vист
0 – частота излучения (источником)
vпр
0
– эффект Доплера

19.

Волны
Эффект Доплера
1)
хвост волны
0
vист
c t
хвост волны
c
c
=
vист t
2)
голова волны
с t − vист t с − vист
=
0 t
0
голова волны
vпр
c t
vпр t
= 0
c − vпр
c − vист
t =
c t − vпр t