Tri-funkcii-celaya-chast-drobnaya-chast-i-funkciya-Dirihle

1.

МАТЕМАТИКА / ФУНКЦИИ
Три функции:
целая часть,
дробная часть
и функция Дирихле
От округления вниз до функции,
разрывной в каждой точке.
Определения · примеры · графики · свойства

2.

ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ / ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Целая часть: ближайшее целое снизу
— наибольшее целое число, не превосходящее
.
Ловушка с отрицательными
Двигаемся вниз, а не к нулю.
Обозначения:
,
; в программировании floor(x).
Ступень включает левый конец, но не правый.
2026
2

3.

ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ / СВОЙСТВА
Свойства и применение целой части
Число между соседними целыми
Целый сдвиг сохраняется
Целая часть задаёт левую границу единичного
промежутка, в котором лежит число.
Равенство верно для любого целого
отрицательного.
Подсчёт кратных
Где применяется
, в том числе
Деление с остатком и округление вниз. Для количества
цифр натурального числа в десятичной записи:
При натуральных
это количество положительных
кратных , не превосходящих .
2026
3

4.

ДРОБНАЯ ЧАСТЬ / ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дробная часть: то, что остаётся после целой
Всегда выполняется
Дробная часть целого числа равна нулю.
Число
Целая часть
Дробная часть
3{,}7
3
0{,}7
5
5
0
-2{,}3
-3
0{,}7
У отрицательного числа остаток тоже неотрицателен
Это расстояние от целой части до самого числа, а не просто цифры
после запятой.
2026
4

5.

ДРОБНАЯ ЧАСТЬ / ГРАФИК
График дробной части — пила
Период 1
2026
Линейный рост
Скачок вниз
На каждом промежутке
растёт от 0 почти до 1.
В целых точках функция разрывна и
принимает значение 0.
5

6.

ДИРИХЛЕ / СНАЧАЛА ПРИНЦИП
Принцип Дирихле: предметов
больше, чем мест
Если предметов больше, чем мест (или коробок), то хотя бы в
одно место попадёт не один предмет, а несколько.
5 перчаток и 4 цвета
Как минимум две перчатки одного цвета.
13 человек и 12 месяцев
У двух людей день рождения в одном месяце.
2026
6

7.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ / ОБОБЩЕНИЕ
Формулировка по-взрослому
Если
предметов разложить по
предметов. Скобки
местам и
, то хотя бы в одном месте окажется не меньше
означают округление вверх.
01
02
03
Предположим обратное
Посчитаем общее число
Получим противоречие
В каждом месте меньше, чем
предметов.
Тогда всего предметов не больше
.
Но предметов ровно . Значит,
нужное место существует.
Это логический факт для задач на раскладки и доказательств. В школьной программе встречается нечасто, на олимпиадах —
постоянно.
2026
7

8.

ФУНКЦИЯ ДИРИХЛЕ / ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция Дирихле: 1 на рациональных,
0 на иррациональных
D(x) = 1, если x — рациональное число; D(x) = 0, если x — иррациональное число.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Представимы дробью
Не представимы такой дробью
x = p/q, где p ∈ ℤ, q ∈ ℕ
√2, π
D(0) = D(1/2) = 1
D(√2) = D(π) = 0
Ещё её называют характеристической функцией множества рациональных чисел.
2026
8

9.

ФУНКЦИЯ ДИРИХЛЕ / СВОЙСТВА
Свойства функции Дирихле:
довольно забавные
Определена всюду
Нигде не непрерывна
График не изобразить точно
На всей числовой прямой для
любого есть значение: либо 0,
либо 1.
В любом промежутке есть и
рациональные, и иррациональные
числа. Значения всё время скачут
между 0 и 1.
Условно получатся две пунктирные
прямые на уровне 0 и 1, но точки
берутся вперемешку, сколь угодно
близко друг к другу.
Приближение к точке не приближает значения к одному числу
Какую бы малую окрестность мы ни выбрали, в ней остаются оба значения функции.
2026
9

10.

ФУНКЦИЯ ДИРИХЛЕ / ДВА ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Интеграл: нет по Риману, есть по Лебегу
Рассмотрим любой невырожденный отрезок
, где
.
Плотность точек и мера множества — разные вещи.
ПО РИМАНУ
ПО ЛЕБЕГУ
Не интегрируема
Интеграл равен нулю
На каждом маленьком промежутке минимум равен
0, а максимум равен 1.
Рациональных чисел «меньше»: точнее, их
множество счётно и имеет меру ноль.
Нижняя и верхняя суммы не сближаются при
измельчении разбиения.
2026
Функция равна нулю почти всюду, то есть вне
множества меры ноль.
10