Основные свойства функций и их графики

1. Основные свойства функций и их графики

2. Функция. Область определения. Область значений

Пусть X и Y— два множества.
Функция у=f(х) — это правило или закон
f, по которому каждому числу x X
ставится
в
соответствие
единственное число y Y .

3.

Если элементами множеств Х и У
являются действительные числа, т. е.
x , y , то функцию
f
называют
числовой функцией.
Переменная x называется при этом
аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой
переменной. Относительно величин x и
y
говорят, что они находятся в
функциональной зависимости.
f (c) – частное значение функции f при x c

4.

Область определения функции f(х)
(D(f(х)) – множество X, т.е. всевозможные
значения независимой переменной х.
Область значений функции f(х) (E(f(х)) –
множество, состоящее из всевозможных
чисел f(х) при x X .

5. Пример

1)
f ( x) 2 x
Область определения D( f ) [0; ) .
Область значений E ( f ) [2; ) .
2) y 5
x 3
Область определения D( y ) ; 3 (3; ).
Область значений E ( y) ; 0 (0; ) .

6. График функции

Графиком функции y y( x), x X R.
является множество всех точек x, y
плоскости Oxy , для каждой из которых
значение аргумента x является абсциссой, а
значение функции y - ординатой.

7. Способы задания функций одной переменной

Задать функцию - это значит указать
множество ее определения и правило, при
помощи которого по данному значению
независимой
переменной
находятся
соответствующие ему значения функции.
Три
основных
способа
задания
функции:
x
-1
0
1
2
1. Табличный.
y
1
0
1
4

8.

2. Графический.
y
y
M x, y
x
0
X
x

9.

3. аналитический, который имеет три
разновидности:
А) явный способ задания - с помощью одного
или нескольких аналитических выражений y y( x), x X R. . Например,
y 1 x2
x X 0, 1 ;
Б) неявный, т.е. с помощью уравнения
F ( x, y) 0, x X , y Y
В) параметрический.

10. Свойства функций

11. Возрастание и убывание функций

12.

13.

Монотонные функции — возрастающие,
убывающие,
неубывающие
и
невозрастающие.
Промежутки монотонности функции f(х) –
непересекающиеся промежутки из D( f ) , на
каждом из которых функция f(х) монотонна.

14. Четность и нечетность функции

15. Пример

1) f ( x) x 2 1 - четная
D( f ) R
f ( x) ( x) 2 1 x 2 1 f ( x)
2)
f ( x) x 3
- нечетная
D( f ) R
f ( x) ( x) 3 x 3 f ( x)

16. Периодичность функций

Функция f(х) периодическая — существует
такое числоT 0 (период), что:
1) Если x D( f ) , то ( x T ) D( f ) ;
2) f ( x T ) f ( x) .
Если Т – период f(х), то любое число nT – тоже
период f(х). Основной период — наименьший
из положительных периодов.

17. Нули функции

Это значения аргумента x, при которых
f(х)=0.
Геометрически нули функции — это
абсциссы точек пересечения графика
функции с осью ОХ.

18. Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства f(х) –
промежутки из D( f ) , на которых либо f ( x) 0 ,
либо f ( x) 0 .
Нули функции f(х) разбивают D( f )
промежутки знакопостоянства.
на

19. Экстремумы функции

Окрестность точки х0 — любой интервал,
содержащий точку х0.

20.

Точки экстремума — точки минимума и
максимума.
Минимум f(х) — значение f(xmin).
Максимум f(х) — значение f(хтах).
Экстремумы f(х) — минимум и максимум
f(х).
Точки экстремума f(х) разбивают D(f) на
промежутки
монотонности
f(x),
т.е.
промежутки возрастания или убывания
функции.

21. Пример

Точки х1 и х3 — точки максимума f(х).
Точка х2 — точка минимума f(х).

22. Свойства функций одной переменной

1. Четность и нечетность функции.
2. Периодичность функции.
3. Монотонность функции.
4. Ограниченность функции.

23. Основные элементарные функции :

1) Степенная функция y x , x D f , R;
2) Показательная функция y a x , a 0, ;
3) Логарифмическая функция
y log a x, a 0, a 1;
4) Тригонометрические функции
y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x, x D f
5) Обратные тригонометрические функции
y arcsin x, y arccos x, y arctg x, y arcctg x.

24. Графики элементарных функций

Степенная функция
Линейная при 1
y x , x D f , R;
Парабола при
2

25.

Кубическая парабола при 3

26. Обратная пропорциональность

1
y
x

27. Функция

y
x

28.

Показательная функция y a , a 0, a 1;
x

29. Показательная функция у = ех

Показательная функция у = ех,
где е = 2,71828 — число е,
называется экспоненциальной, или
экспонентой.
у = ех = ехр(х) —
«экспонента от x».

30. График у = ех

31.

Логарифмическая функция y log a x, a 0, a 1;

32. Тригонометрические функции

2
2
sin0 0,
sin 1,
sin 1,
2
2
sin 0,

33.

2
cos0 1,
cos 0,
cos 0,
2
2
cos 1,

34.

tg0 0, tg 1
4

35.

2
ctg 0, ctg 1
4
2

36. Обратные тригонометрические функции

arccos0 ,
2
arccos( 1) ,
arccos1 0,
arcsin0 0,
arcsin( 1) , arcsin1 ,
2
2

37.

arc tg0 0,

38.

arcctg0 ,
2

39.

Элементарными
функциями
называются все функции, которые можно
получить из основных элементарных
функций с помощью конечного числа
арифметических действий с применением
действительных
коэффициентов
и
образования сложной функции.

40.

Некоторые элементарные функции:
1) линейная функция y ax b.
2
y
ax
bx c.
2) квадратичная функция
3)
многочлены
с
действительными
коэффициентами (целые рациональные
функции)
Pn ( x ) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0
4)
дробно-рациональные
(рациональные дроби) –
многочленов: R( x ) Pn ( x )
Qm ( x )
функции
отношение

41.

5) иррациональные функции - функции в
которых используется операция извлечения
корня.
Некоторые неэлементарные функции:
1.
1, x 0,
y sign x 0, x 0,
1, x 0.
2. Дробная часть y {x} x [ x]

42. Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция
вида
Область определения функции, т.е. все
значения, которые может принимать х, – все
действительные числа.
Нули квадратичной функции – все значения х,
при которых у=0, т.е. корни квадратного
уравнения ах2+bх+с=0.

43.

График квадратичной функции
Любую квадратичную функцию
y ax bx c
2
можно представить в виде
y ax bx c a( x x0 ) y0
2
b
x0
2a
2
b 4ac
y0
4a
2

44.

График функции y a ( x x0 ) y0 —
парабола.
2
Вершина параболы y a ( x x0 ) y0 —
точка O( x0 ; y 0 ) .
Ось симметрии — прямая x x 0
Область значений — интервал [ y 0 ; ) ,
если a 0
или ( ; y 0 ] , если a 0
2

45. Свойства функции и вид ее графика определяются значениями коэффициента а и дискриминанта D = b2 –4ас.

46.

47.

• Пример. На рисунке приведен график
изменения суточной температуры

48.

Определите:
a) максимальное и минимальное значение
температуры;
b) в какое время температура была равна нулю;
c)
временные
промежутки,
на
которых
температура была положительная;
d) промежутки, на которых температура была
отрицательная;
e) наибольший промежуток времени, на котором
температура не меняла своего знака;
f) промежутки возрастания температуры;
g) промежутки убывания температуры.