лекция 2

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Теорема Гаусса в вакууме
Поток вектора напряженности электростатического поля –число точек
пересечения линий напряженности с поверхностью.
Если линии напряженности идут перпендикулярно поверхности (рис.7),
то поток вектора напряженности электрического поля dФ через эту
поверхность определяется формулой dФ=EdS, если они
угол
составляют
d
=
EdS
cos
=
EdS
dS
=
dS
n
с нормалью к поверхности,
то
, где
(рис.8). Поток вектора E через произвольную
поверхность S запишется в
виде
= EdS = EdS cos .
S
S
Рис. 7
Рис. 8
Рассмотрим поток вектора E от точечного заряда q через сферу радиусом
q
q
q
2
R1 (рис.9)
= EdS = E dS =
S=
4 r = .
2
2
4
r
4
r
0
.
0
0
S
S

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Рис.9
Такой же поток (число точек пересечения линий напряженности электрического поля) будет через сферу радиусом R2 и через любую замкнутую
поверхность S без складок, охватывающую этот заряд. Можно показать,
что поток не изменится и через поверхность со складками.
Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов qi ,, то
поток равен сумме потоков их полей через замкнутую поверхность
= i =
i
q
i
i
0
.
Получена теорема Гаусса, которая формулируется следующим образом:
поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую
поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри объема,

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

ограниченного этой поверхностью, деленной на электрическую
постоянную 0 .
Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно
заряженной плоскости
Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Заряд по
условию распределится по плоскости с поверхностной плотностью :
=
dq
.
dS Из соображений симметрии задачи вектор напряженности E бу-
дет перпендикулярен плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде
цилиндра с осью перпендикулярно плоскости и основаниями площадью S,
параллельными плоскости и расположенными относительно нее симметрично. Поток вектора напряженности через такую поверхность состоит из
потока через два основания и потока через боковую поверхность цилиндра
(рис. 10). Поток через боковую поверхность равен нулю, поскольку линии
напряженности идут вдоль этой поверхности, не пересекая ее. В силу симметрии задачи напряженность поля во всех точках оснований цилиндра
будет одинаковой и ее можно вынести за знак интеграла.

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Рис.10
2 EdS = 2E dS = 2ESосн .
Sосн
Sосн
Цилиндр вырезает из плоскости площадь, равную площади его основания
Sосн с зарядом q = Sосн . Запишем теперь теорему Гаусса:
Sосн
Ф = 2ESосн =
.
0
Модуль напряженности электростатического поля оказался не зависящим
от расстояния от плоскости, т.е. поле однородно с напряженностью равной
E=
.
2 0

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно
заряженной нити
dq
=
. В силу симЗаряд на нити распределится с линейной плотностью
d
метрии задачи линии напряженности будут идти перпендикулярно нити
(рис. 11). Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом r,
длиной , площадью основания S и осью симметрии вдоль нити.
Рис.11
Поток вектора напряженности через такую поверхность состоит из потока
через два основания и через боковую поверхность цилиндра. Поток через
основания равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают.
= EdS = 2 EdS cos + EdS cos0 = EdS.
2 S
S
S
S
цил
осн
бок .пов
бок .пов

6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

В силу симметрии задачи напряженность поля во всех точках боковой
поверхности будет одинаковой и ее можно вынести за знак интеграла
=
EdS = E dS = ES
бок .пов
Sбок .пов
= E 2 r .
Sбок .пов
Поверхность цилиндра вырезает участок нити длиной с зарядом q = .
Записывая теорему Гаусса, получим:
E 2 r =
, E=
.
0
2 0r
Примеры решения задач
Задача 8.(34) Параллельно протяженной плоскости, равномерно
заряженной с поверхностной плотностью заряда =1 мкКл/м2 расположена длинная нить с линейной плотностью заряда = нКл/см. Найдите
силу, с которой электрическое поле плоскости действует на каждый метр
длины нити.
Решение. Будем считать, что электрическое поле создается

7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

заряженной плоскостью с напряженностью поля E = .
2 0
Сила F , которая действует на заряд одного метра заряженной нити равна
Задача 9.(37) На двух длинных параллельных нитях находящихся
на расстоянии r = 18 см равномерно распределены одноименные заряды с
линейными плотностями 1,73 10 –8 Кл/м. Найдите напряженность
электростатического поля в точке, удаленной от первой и от второй нити
на расстояние 18 см.
Решение. Векторы напряженности электростатического поля от
каждой нити (рис. 12) равны E1 = E2 =
и в рассматриваемой точке
2 0 r
направлены вдоль прямых, соединяющих нить с точкой под углом 60° друг
к другу.

8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Рис.12
Суммарная напряженность равна
E=2
Кл
cos30 = 3
.
2 0 r
м
Задача 10.(38) Длинный тонкостенный цилиндр равномерно
заряжен с поверхностной плотностью заряда = 0,177 мкКл/м2. Найдите
напряжен-ность электрического поля в точке, находящейся от поверхности
цилиндра на расстоянии в 9 раз большем его радиуса R .
Решение. Заряд цилиндра длиной равенq = 2 R = , где
= 2 R - линейная плотность заряда, R - радиус цилиндра. Применяя теорему Гаусса, можно показать, что напряженность электростатического поля заряженного цилиндра так же зависит от расстояния r от его оси
(r R ) , как напряженность бесконечной равномерно заряженной нити

9. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

. Рассматриваемая точка находится на расстоянии r=10R от оси
2 0 r
кВ
E
=
=
=
2
.
цилиндра и напряженность в ней
2 010 R 10 0
м
E=
Задача 11.(43) Тонкая прямая длинная нить равномерно заряжена с
линейной плотностью заряда =0,1 мкКл/м. Найдите потенциал поля
нити на расстоянии r=1м от нее, приняв потенциал равным нулю на
расстоянии r0= 50 см от нити.
Решение. Напряженность и потенциал электрического поля
d
связаны соотношением E = − , откуда d = − Edr. Подставляя в это
dr
равенство напряженность электрического поля, создаваемого длинной
равномерно заряженной нитью и интегрируя, получим
.
dr
=−
nr + C.
2 0 r
2 0
Потенциал обращается в ноль при r = r0 : = −
nr0 + C = 0, откуда
2 0
C
=
nr0 и формула для потенциала примет вид
константа
2
= −

10. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

=
r
n 0 = −1, 25кВ.
2 0
r
Задача 12.(49) Две большие параллельные плоскости равномерно
заряжены разноименными зарядами с поверхностными плотностями
1=+10 нК л м2 и =−30
нК л м2. Найдите потенциал электрического поля в
2
точке, находящейся между плоскостями на расстоянии 17,7 мм от
плюсовой пластины, потенциал которой принять равным 1=100 В.
Решение. В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей напряженность
электрического поля между плоскостями (рис.
13) равна E p = E1 + E2 ,где E1 = 1 2 -0 напряженность поля первой плоскосн м2 плоскости. Разти, E2 = 2 2 0 - напряженность поля, создаваемого второй
ность потенциалов и напряженность электростатического поля между
пластинами связаны соотношением
1 + 2
1 + 2
1 − 2 = Edr =
dr =
r,
2 0
2 0
0
0
r
r
Где r - расстояние от от левой пластины
до точки. Потенциал 2 равен
Рис 13

11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

левой пластины до точки. Потенциал равен
1 + 2
2 = 1 −
r = 60В.
2 0
Задача 13. (51) В одной из вершин квадрата закреплен
отрицательный точечный заряд −20 нКл, а в двух соседних с ней
вершинах – положительные точечные заряды по 10 нКл каждый. Найдите,
чему равна сторона квадрата a, если потенциал электрического поля в
незанятой вершине равен 59 В. Потенциал в бесконечности считать
равным нулю.
Решение. Отрицательный заряд расположен в вершине квадрата
по диагонали от незанятой вершина и создает в ней потенциал, равный
1 =
− q1
q2
. Два другие заряда создают равные потенциалы 2 =
.
4 0 a
4 0 a 2
Суммарный потенциал в незанятой вершине равен
=
откуда
q1
1
a=
2q2 −
= 90см.
4
2
2q2
q1
q1
1
−
=
2
q
−
,
2
4 0 a 4 0 a 2 4 0 a
2

12. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Задача 14.(52) Тонкий стержень согнут в кольцо и заряжен с
линейной плотностью заряда = 1,77 нКл/м. Найдите потенциал на оси
кольца на расстоянии от его центра, равном диаметру кольца. Потенциал
на беско-нечности принять равным нулю.
Решение. Бесконечно малый элемент кольца, который можно считать точечным зарядом, создает в рассматриваемой точке потенциал
d
d =
, , где R – радиус кольца, h – расстояние по оси от центра
R 2 + h2
кольца до точки h=2R. Интегрируя по d , получим
=
d
2 R
=
+C =
+ C.
4 0 R 5 4 0 R 5
2 0 5
При h → , потенциал обращается в 0 и С = 0. Окончательно
=
2 0 5
= 44,7 В.
Задача 15. (53)Тонкий диск радиусом R = 10 см равномерно
заряжен с поверхностной плотностью заряда =17,7 нКл/м2. Найдите
потенциал в центре диска, считая потенциал на бесконечности равным
нулю.

13. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Решение. Выделим на диске бесконечно тонкое кольцо радиусом r
и толщиной dr. Потенциал в его центре равен
d =
dq
2 rdr dr
=
=
.
4 0r
4 0r
2 0
Весь диск создает в центре потенциал
dr R
=
= 100В.
0 2
2 0
0
=
R

14. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ напряженность равномерно заряженного по объему шара