Показательны выражения ЕГЭ

1.

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ · МАТЕМАТИКА
Формулы для показательных
выражений и уравнений
Свойства степеней · Понятные объяснения · Примеры с решениями
АЛГЕБРА

2.

01 · ОБЗОР
02 / 16
Что нужно знать к ЕГЭ
01
02
03
Смысл степени
Умножение и деление
Нулевая и отрицательная
Что означает aⁿ
aⁿ · aᵐ и aⁿ / aᵐ
a⁰ и a⁻ⁿ
04
05
06
Степень в степени
Дробная степень
Произведения и дроби
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ
Корни и aᵐ/ⁿ
(a·b)ⁿ и (a/b)ⁿ

3.

02 · СМЫСЛ СТЕПЕНИ
03 / 16
Что означает степень?
Представим, что мы умножаем число 2 само на себя 5 раз. Тогда говорят, что получается 2⁵.
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵
2
5
2⁵
основание
показатель
степень
число, которое умножаем
сколько раз умножаем
результат умножения

4.

03 · УМНОЖЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
04 / 16
Умножение степеней с одинаковым основанием
Если перемножаем одинаковые основания — степени складываются.
aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Пример
Умножим 2² и 2¹. Можно расписать их как 2·2 и просто 2.
При перемножении получится 2·2·2 = 2³. А 2 + 1 = 3 — степени сложились!
2² · 2¹ = 2·2·2 = 2³ = 2²⁺¹

5.

03 · ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
05 / 16
Деление степеней с одинаковым основанием
При делении степени вычитаются.
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Пример
Возьмём 2⁵ ÷ 2². Это (2·2·2·2·2) ÷ (2·2).
После сокращения остаётся 2·2·2 = 2³. А 5 − 2 = 3 — степени вычитались!
2⁵ ÷ 2² = 2⁵⁻² = 2³

6.

04 · НУЛЕВАЯ СТЕПЕНЬ
06 / 16
Число в нулевой степени
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
Почему так?
Если число поделить само на себя — получится 1.
По формуле деления степеней: a¹ / a¹ = a¹⁻¹ = a⁰.
Значит a⁰ = 1.
1 = a¹ / a¹ = a¹⁻¹ = a⁰

7.

04 · ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ
07 / 16
Число в отрицательной степени
Отрицательная степень — это единица, делённая на число в положительной степени.
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Почему так?
Представим a⁻ⁿ как a⁰⁻ⁿ. По формуле деления:
a⁰ / aⁿ = 1 / aⁿ.
Значит a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.
a⁻ⁿ = a⁰⁻ⁿ = a⁰ / aⁿ = 1 / aⁿ

8.

05 · СТЕПЕНЬ В СТЕПЕНИ
08 / 16
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются.
(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ
Пример
Возьмём (2³)². Это значит 2³ умножить ещё раз на 2³:
2³ · 2³. При умножении степени складываются: 3 + 3 = 6.
А 3 · 2 = 6 — показатели перемножились!
(2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶ = 2³·²

9.

06 · ДРОБНАЯ СТЕПЕНЬ
09 / 16
Дробная степень и корни
Корень n-й степени — это то же самое, что степень 1/n.
ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ
Пример
Число 9 = 3². Чтобы получить 3, нужно либо извлечь √9, либо разделить степень на 2 → 3²/² = 3¹.
Число 8 = 2³. Чтобы получить 2, извлекаем ³√8 или делим степень на 3 → 2³/³ = 2¹.
√(3²) = 3²/² = 3
³√(2³) = 2³/³ = 2

10.

07 · ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ
10 / 16
Произведение и дробь в степени
Степень «раздаётся» каждому множителю (числителю и знаменателю).
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
Работает и в обратную сторону!
Если есть умножение или деление разных оснований в одинаковых степенях — степень можно вынести:
aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
·
aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ

11.

08 · ШПАРГАЛКА
11 / 16
Все формулы в одном месте
Умножение
Деление
aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Нулевая
Отрицательная
a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Степень в степени
Дробная / корень
(aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ
ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ
Произведение
Дробь
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

12.

09 · ПРАКТИКА
Задачи для тренировки
Задача 1 · №1542
Найдите значение выражения (5⁴)⁶ : 5²²
Подсказка: сначала степень в степени, потом деление степеней.
Задача 2 · №19595
Найдите значение выражения 7²,⁸⁶ / 49⁰,⁹³
Подсказка: 49 = 7². Замените основание.
12 / 16

13.

09 · ПРАКТИКА
13 / 16
Задачи и уравнения
Задача 3 · №31349
a⁴,⁵ / (a¹,³ · a¹,²) при a = 11
Подсказка: в знаменателе сложить степени, потом вычесть.
Задача 4 · №36611
[(8c)³ · c⁻⁹] / (c⁻⁵ · 5c⁻¹)
Подсказка: раскройте (8c)³ и соберите степени c.
Уравнения 5–7
5) 36ˣ⁻⁵ = 1/6
6) 49ˣ⁻² = 1/7
7) 6¹⁺³ˣ = 36²ˣ

14.

10 · РЕШЕНИЯ
Решения задач 1–2
Задача 1 → 25
(5⁴)⁶ : 5²² = 5²⁴ : 5²² = 5² = 25
1) Степень в степени: 4·6 = 24
2) Деление: 24 − 22 = 2
3) 5² = 25
Задача 2 → 7
7²,⁸⁶ / 49⁰,⁹³ = 7²,⁸⁶ / (7²)⁰,⁹³ = 7²,⁸⁶ / 7¹,⁸⁶ = 7
1) 49 = 7² → 2) (7²)⁰,⁹³ = 7¹,⁸⁶ → 3) 2,86 − 1,86 = 1
14 / 16

15.

10 · РЕШЕНИЯ
Решения задач 3–7
Задача 3 → 121
a⁴,⁵ / (a¹,³ · a¹,²) = a⁴,⁵ / a²,⁵ = a². При a=11 → 121
Задача 4 → 102,4
(512 · c⁻⁶) / (5 · c⁻⁶) = 512/5 = 102,4
Уравнения
5) 36ˣ⁻⁵ = 1/6 → x = 4,5
6) 49ˣ⁻² = 1/7 → x = 1,5
7) 6¹⁺³ˣ = 36²ˣ → x = 1
15 / 16