Тема 2

1. Тема 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ к.э.н., доцент Ильиных Ю.М.

1

2. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а

В средне- и долгосрочных финансовокредитных операциях, если проценты не
выплачиваются сразу после их
начисления, а присоединяются к сумме
долга, для наращения, как правило,
применяют сложные проценты (compound
interest). База для начисления сложных
процентов (в отличие от простых) не
остается постоянной — она
увеличивается с каждым шагом во
времени, абсолютная сумма
начисляемых процентов возрастает и
процесс увеличения суммы долга
происходит с ускорением.
2

3. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты

на один период начисления.
Присоединение начисленных
процентов к сумме, которая
послужила базой для их
начисления, часто называют
капитализацией процентов.
3

4. Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые

проценты), т.е. применяется
сложная годовая ставка наращения.
S = P • (1 + i)
n
Ставку наращения по сложным процентам
обозначим как i.
4

5. Проценты за этот же период равны

I = S − P = P • (1 + i) − 1
n
5

6. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, следующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а

знаменатель — (1 + i).
Последний член прогрессии
равен наращенной сумме в конце
срока ссуды.
6

7. Величину называют множителем наращения по сложным процентам.

q = (1 + i ) n
Величину
называют
множителем наращения по
сложным процентам.
7

8. Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и n. Следует отметить, что при большом сроке наращения

даже небольшое
изменение ставки заметно влияет на величину
множителя. В свою очередь очень большой срок
приводит к устрашающим результатам даже при
небольшой процентной ставке. Здесь уместна
следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на
котором расположена центральная часть Нью-Йорка,
был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.Стоимость
земли этого острова 350 лет спустя оценивалась
примерно в 40 млрд. долл., т.е. первоначальная
сумма увеличилась в 1,666 х 109 раз. Такой рост
достигается при ставке всего 6,3 % годовых.
8

9. Переменные ставки Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать "классическую" схему, например с помощью

Переменные ставки
Неустойчивость кредитно-денежного рынка
заставляет модернизировать "классическую" схему,
например с помощью применения плавающих
ставок (floating rate). Rогда значения переменных
ставок фиксируются в контракте, общий множитель
наращения определяется как произведение частных
множителей
S = P(1 + i1 ) (1 + i2 ) ...(1 + ik )
n1
n2
nk
где
i1, i2, ..., ik— последовательные во
времени значения ставок;
n1, п2, ..., nk — периоды, в течение которых
"работают" соответствующие ставки.
9

10.

Начисление процентов при дробном
числе лет
Часто срок для начисления процентов не
является целым числом.
При этом применяются два метода.
Согласно первому, назовем его общим,
расчет ведется непосредственно по
формуле
S = P • (1 + i)
n
10

11.

Второй, смешанный, метод предполагает
начисление процентов за целое число
лет по формуле сложных процентов и
по формуле простых процентов за
дробную часть периода:
S = P • (1 + i) • (1 + b • i)
a
где
а + b = n;
а — целое число периодов;
b — дробная часть периода.
11

12.

Наращение процентов т раз в году;
номинальная и эффективная ставки
Номинальная ставка. В современных условиях
проценты капитализируются обычно не один, а
несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и
т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки
практикуют даже ежедневное начисление процентов.
12

13.

Пусть годовая ставка равна у, а число
периодов начисления в году равно т.
Таким образом, каждый раз проценты
начисляются по ставке j/m. Ставку j
называют номинальной (nominal rate).
Формулу наращения теперь можно представить
следующим образом:
j
N
S = P • (1 +
)
m
где N — общее количество периодов начисления;
j — номинальная годовая ставка (десятичная
дробь).
13

14.

Эффективная ставка.
Введем теперь новое понятие —
действительная, или эффективная, ставка
процента (effective rate). Эта ставка
измеряет тот реальный относительный
доход, который получают в целом за год от
начисления процентов. Иначе говоря,
эффективная ставка — это годовая ставка
сложных процентов, которая дает тот же
результат, что и m-разовое начисление
процентов по ставке j/m. Обозначим
эффективную ставку через i. По
определению множители наращения по двум
видам ставок (эффективной и номинальной
при m-разовом начислении) должны быть
равны друг другу:
14

15.

(1 + i )
n
j
= 1 +
m
mn
откуда
j
i = 1 +
m
m
−1
Как видим, эффективная ставка при т > 1 больше номинальной, при т
= 1 i =j.
Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении
процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых
обязательств участвующих сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в
финансовом отношении.
15

16.

Дисконтирование по сложной ставке
процента
Применим математическое
дисконтирование по сложной ставке
процента.
S
n
P=
=
Sv
(1 + i )n
v n = (1 + i ) − n = 1 n
q
Величину v n называют дисконтным множителем (discount factor).
16

17.

Для случаев, когда проценты
начисляются т раз в году, получим:
S
mn
P=
=
Sv
mn
(1 + j / m )
v
mn
= (1 + j m)
− mn
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют
современной величиной (present value), или современной
стоимостью S. Современная стоимость может быть рассчитана
на любой момент до выплаты суммы S.
17

18.

Разность S - P, в случае когда Р
определено дисконтированием,
называют дисконтом (discount).
Обозначим последний через D:
D = S − P = S (1 − v )
n
D = S − P = S (1 − v mn )
18

19.

Учет по сложной учетной ставке
В практике учетных операций иногда применяют
сложную учетную ставку (compound discount rate). В
этих случаях процесс дисконтирования происходит с
замедлением, так как каждый раз учетная ставка
применяется не к первоначальной сумме (как при
простой учетной ставке), а к сумме, уже
дисконтированной на предыдущем шаге во времени.
Дисконтирование по сложной учетной ставке
осуществляется по формуле
P = S (1 − d )
n
где d — сложная годовая учетная ставка.
19

20.

Номинальная и эффективная учетная
ставка.
По аналогии с номинальной и эффективной
ставкой процентов введем понятия
"номинальная" и "эффективная учетная
ставка". Обозначим номинальную учетную
ставку как f. Пусть дисконтирование
производится не один, a m раз в году, т.е.
каждый раз по ставке f/m. В этом случае
f
P = S (1 −
)
m
mn
где f — номинальная годовая учетная ставка (nominal discount rate).
20

21.

Эффективная учетная ставка
характеризует результат
дисконтирования за год.
d = 1 − (1 − f m)
m
Для одних и тех же условий операции
эффективная учетная ставка меньше
номинальной.
21

22.

Наращение по сложной учетной
ставке. Выше мы имели дело с
наращением на основе сложной ставки
процентов (ставки наращения). Однако
это не единственный возможный метод.
Иногда наращение достигается и с
( )
помощью
сложной учетной ставки.
.
1− d
−n
P
P
S=
; S=
.
n
mn
(1 − d )
(1 − f / m )
Множитель наращения при использовании сложной
ставки d, очевидно, равен 1 − d − n
(
)
22

23.

Величина процентной ставки. Приведем
формулы для расчета ставок i, j, d, f для различных
условий наращения процентов и дисконтирования.
Они получены при решении уравнений,
определяющих S и Р, относительно искомых ставок.
При наращении по сложной годовой ставке процентов и
по номинальной ставке процента т раз в году
находим
(
)
i = n S / P − 1; j = m mn S / P − 1
При дисконтировании по сложной учетной ставке и
по номинальной учетной ставке
(
d = 1− P / S ; f = m 1−
n
mn
P/S
)
23

24.

24