32e9dba20b7f443aaeb34ece3153c039

1.

Параллельные
плоскости
Геометрия – 10
Каратанова М.Н. МБОУ СОШ № 256 ГО ЗАТО Фокино Приморский край

2.

Повторение
Продолжите фразу:
Если две плоскости имеют общую точку, то ....
β
M a
α
… они имеют общую прямую, на
которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
М ;
= а
М ;
М а

3.

Повторение
Продолжите фразу:
Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает её, то …
… линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
β
a
α
b
a ;
a ;
b ;
b а.

4.

Повторение
Продолжите фразу:
Отношение площадей подобных треугольников ...
… равно квадрату коэффициента подобия.
S ABC
2
=k
S A1B1C1
AB
BC
AC
=
=
=k
A1 B1 B1C1 A1C1

5.

Повторение
Свойства средней линии треугольника
1.
В
Средняя линия параллельна одной из
сторон треугольника и равна её
N
половине:
М
А
С
2.
Три средние линии треугольника
делят его на 4 равных треугольника,
подобных данному.
N
В
М
А
1
MN AC ; MN = AC.
2
K
С
1
k=
2

6.

Параллельные плоскости
Определение
Две плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются
α
β

7.

Параллельные плоскости
Взаимное расположение плоскостей
ПЛОСКОСТИ
пересекаются
параллельны
β
β
a
α
α

8.

Параллельные плоскости
Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
b
M
a
α
b₁ M₁
β
a₁
Дано : a , b , a b = M ;
a1 , b1 , a1 b1 = M 1 ;
a a1 , b b1.
Доказать : .
Доказательство:
Пусть = с, тогда

9.

Параллельные плоскости
Признак параллельности двух плоскостей
Доказательство (7):
β
α
b
M
с
b₁ M₁ a₁
a
Пусть = с, тогда
1) a , а , = c
a c
2) b , b , = c
b c
3) имеем a b, −
− это противоречие

10.

Параллельные плоскости
Ещё один признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны другой плоскости,
то эти плоскости параллельны.
Дано : m
n = K , m , n , m , n .
Доказать : .
Доказательство (4):
m
α
β
K
n
c
Допустим, = с,
m , n ,
m с, n с.
невозможно по теореме
о параллельных прямых.
.

11.

Решение задач
Задача 1
Дано: A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в одной плоскости,
O – общая середина.
Решение (8):
Доказать: (A1B1C1) ∥ (A2B2C2)
A1
B1
A1B1 ∩ A1C1 = A1, A2B2 ∩ A2C2 = A2
C1
А1О = А2О
B2 В О = В О А1 В1 А2 В2
1
2
параллелограмм
O
А1 В1 А2 В2
Аналогично из A1C1A2C2:
A2
А1С1 А2С2
C2
(A1B1C1) ∥ (A2B2C2)
по признаку параллельности плоскостей

12.

Решение задач
Задача 2(а)
Дано: B ⊄ ADC; M ∈ BA, BM = MA; N ∈ BC, BN = NC;
P ∈ BD, BP = PD.
Доказать: МРN ∥ ADC
Доказательство (7):
MP
–
средняя
линия
∆ABD
B
PN – средняя линия ∆BCD
MN – средняя линия ∆ABC
N
M
MN MP = M
P
C
A
AC AD = A
МРN ADC
MN AC
MP AD
D

13.

Решение задач
Задача 2(б)
Дано: B ⊄ ADC; M ∈ BA, BM = MA; N ∈ BC, BN = NC;
P ∈ BD, BP = PD. S ACD = 40
Найти: S MNP
Решение (6):
B
M
A
1
1
1
MN = AC , MP = AD, PN = DC
2
2
2
N
P
C
∠MNP = ∠ACD,
МРN ∥ ADC ∠MPN = ∠ADC,
∠NMP = ∠CAD.
⇒ ∆MNP ∼ ∆ACD
D
S MPN
= k 2 S MPN = 10
S ABC

14.

Источники:
Фон презентации
Комната без мебели
Презентации к урокам