Степенная и показательная функции

1.

Тема урока:

2.

Как алгебраисты
вместо АА, ААА, …
пишут А2, А3, …
так я вместо
1 1 1
, 2, 3
а а а
пишу а-1, а-2, а-3, …
Ньютон И.

3. СТЕПЕНЬ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Определите, основание, показатель и степень
2
5
6
3
4
(2а)
(3х + 6 )
13
3
х
1
5
1
4
6х
х+ 2
6

4.

Верны ли равенства?
a
n
m =n
a
m
1
a = −a
n
n

5.

Представьте степень с дробным показателем в виде
корня:
5
3
6
4
2
3
2
1
2
3
8
3
1
4
7 1, 2
8
4
−
2
3
1 , 25
.

6. Представить выражение в виде степени с рациональным показателем:

3
2
3
2
х
1
х
6
5
−2
6
3
а
4
4
5
16
5
2

7. Вычислить:

1
2
9 =
1
4
16 =
2
3
8 =
3
4
81 =

8. Вычислить:

1
4
2401
=
256
2
3
8
=
729
−2
3
343 =
216
−
1
3
=

9. Вычислить:

2
5
−
1
32
=
1
6561
−
5
8
=
1268 =
0
128
78125
−
1
−
2
121
4
7
=
=
1
2
121 =

10.

Нам знакомы функции:
у
Парабола
у = х2
у
Прямая
у=х
х
х
у
уВсе эти функции являются частными
случаями степенной функции
х
у = х3
Кубическая
парабола
х
1
у=
х
Гипербола

11.

Определение:
Степенной функцией
называется функция вида
где р – заданное
действительное
число
Свойства и график степенной функции
зависят от свойств степени с
действительным показателем, и в частности
от того, при каких значениях х и р имеет
смысл степень хр.

12.

Степенная функция:
Показатель р = 2n – четное натуральное
число у = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, …
D( y ) : x R
Е ( y) : у 0
у
у = х2
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)2n = х2n
Функция убывает на
промежутке
(− ;0]
Функция возрастает
на промежутке
[0;+ )
0
1
х

13.

Степенная функция:
Показатель р = 2n – четное натуральное
число у = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, …
y
у = х2
у = х4
у = х6
-1 0
1
2
x

14.

Степенная функция:
Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное
число у = х3, у = х5 , у = х7, у = х9, …
D( y ) : x R
Е ( y) : у R
Функция у=х2n-1 нечетная,
т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1
Функция возрастает на
промежутке
0
1

15.

Степенная функция:
Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное
число у = х3, у = х5 , у = х7, у = х9, …
y
у = х3
у = х5
у = х7
-1 0
1
2
x

16.

Степенная функция:
Показатель р = -2n – где n натуральное
число у = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, …
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
Функция у=х-2n четная,
т.к. (–х)-2n = х-2n
Функция возрастает на
промежутке (− ;0)
Функция убывает
(0;+ )
на промежутке
0
y=х
−2
1
1
y= 2
х

17.

Степенная функция:
Показатель р = -2n – где n натуральное
число у = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, …
y
у = х-2
у = х-4
у = х-6
-1 0
1
2
x

18.

Степенная функция:
Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное
число у = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, …
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
Функция у=х-(2n-1) нечетная,
т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1)
Функция убывает на
промежутке
(− ;0)
0
Функция убывает
на промежутке
(0;+ )
y=х
−1
1
1
y=
х

19.

Степенная функция:
Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное
число у = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, …
y
у = х-1
у = х-3
у = х-5
-1 0
1
2
x

20.

Степенная функция:
Показатель р – положительное действительное
нецелое число у = х1,3, у = х0,7 , у = х2,2, у = х1/3,…
D( y ) : x 0
у
у=х
Е ( y) : у 0
у=х
Функция возрастает на
промежутке
4
3
[0;+ )
0
1
1
3
х

21.

Степенная функция:
Показатель р – положительное действительное
нецелое число у = х1,3, у = х0,7 , у = х2,2, у = х1/3,…
y
у = х0,84
у = х0,7
у = х0,5
-1 0
1
2
x

22.

Степенная функция:
Показатель р – положительное действительное
нецелое число у = х1,3, у = х0,7 , у = х2,2, у = х1/3,…
y у=х
3,1
у = х2,5
у = х1,5
-1 0
1
2
x

23.

Степенная функция:
Показатель р – отрицательное действительное
нецелое число у= х-1,3, у= х-0,7 , у= х-2,2, у = х-1/3,…
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
у
Функция убывает на
промежутке
(0;+ )
0
1
х

24.

Степенная функция:
Показатель р – отрицательное действительное
нецелое число у= х-1,3, у= х-0,7 , у= х-2,2, у = х-1/3,…
y
у = х-2,3
у = х-3,8
у = х-1,3
у = х-0,3
-1 0
1
2
x

25. Понятие показательной функции

.
Функцию вида
y = ах, где а ≠ 1, a > 0
называют
показательной функцией

26.

Показательная функция часто используется при описании различных
физических процессов
1) Например, в теории межпланетных путешествий решается
задача об определении массы топлива, необходимого для
того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М
зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости
vo, с которой продукты горения вытекают из ракетного
двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и
притяжение Земли, то масса
топлива
определяется
формулой:
М = m(ev/vo-1) (формула
К.Э. Циолковского).
Например, для того чтобы
ракета с массой 1,5т имела
скорость
8000м/с,
надо
взять примерно 80т топлива.

27.

Показательная функция часто используется при описании различных
физических процессов
2) Радиоактивный распад вещества задаётся формулой
m = m0(1/2)t/tо, где m и mо – масса радиоактивного вещества
в момент времени t и в начальный момент времени t = 0; T период полураспада (промежуток времени, за который
первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
Когда радиоактивное
вещество распадается,
его количество
уменьшается.
Через некоторое время
остаётся половина
первоначального
количества вещества.
Чем больше период
полураспада, тем
медленнее
распадается вещество.

28.

Показательная функция часто используется при описании различных
физических процессов
3) Изменение атмосферного давления p в зависимости
от высоты h над уровнем моря описывается формулой
p = pо ∙ ak, где pо – атмосферное давление над уровнем
моря, а – некоторая постоянная.
Барограф метеорологический
анероидный
Погодная станция Oregon
Scientific

29.

Показательная функция часто используется при описании различных
физических процессов
3) Изменение атмосферного
давления p в зависимости от
высоты h над уровнем моря

30. График показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0

График показательной функции
y = ах, а ≠ 1, a > 0
y = ах, 0 < а < 1
y = ах, а > 1
у
у
.
1
1
0
х
0
х

31. Свойства показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0

Свойства показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0
1.
D(y) = (-∞; +∞),
E(y) = (0; +∞).
2. а) Нулей не имеет;
б) точка пересечения с осью ординат (0; 1),
т. к. у(0) = а0 = 1.
3. а) При а > 1 функция возрастает на R;
.
б) при 0 < а < 1 функция убывает на R.
4.
Ни четная функция, ни нечетная.
5.
Не ограничена сверху, ограничена снизу.
6.
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7.
Непрерывна. Выпукла вниз.
8.
an ∙ a m = a n + m
an : am = an − m
(an)m = anm
(ab)n = an ∙ bn
(a : b)n = an : bn