Неравновесные состояния и необратимые процессы. Броуновское движение

1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ

МОРОЗОВ АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

2. СВОЙСТВА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

- существенно нелинейная зависимость
от параметров состояния;
- большой уровень флуктуаций;
- сильная зависимость от предыстории;
- существенное влияние других
необратимых процессов;
- плохая предсказуемость.

3. ОПИСАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Примеры дифференциальных уравнений:
- второй закон Ньютона;
- уравнения Максвелла;
- уравнения гидродинамики;
- описание диффузии и теплопроводности;
- описание броуновского движения;
- уравнение Шредингера;
- уравнение радиоактивного распада.

4. ОПИСАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод описания основан на решении
дифференциального уравнения:
dX
F X ,t
dt
(1)
с начальным условием
X t t 0 X 0
(2)

5. ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Уравнение Фоккера-Планка:
f
p f
f
p
D
f
t
m r p p mkT
(3)
с начальным условием
f p, r, t t 0 f0 r, p
(4)

6. ПРОСТОЙ ПРИМЕР

Решить уравнение
dX
X F t
dt
(5)
с начальным условием
Решение
X t t 0 0
(6)
t
X t exp t F d
0
(7)

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Линейное интегральное уравнение
t
X t G t F d
(8)
0
Примеры ядер интегрального уравнения
1)
(9)
G t exp t
2)
G t 1 t
(10)
3)
G t 1 ln 1 t
(11)

8. ПРИМЕРЫ ФУНКЦИЙ ЗАБЫВАНИЯ

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
50

9. СОПОСТАВЛЕНИЕ БЕЛОГО И ФЛИККЕР ШУМОВ

3
2,25
1,5
0,75
0
0
20
40
60
80
100
Белый шум
G C
(12)
Фликкер шум
G A
(13)

10. СОПОСТАВЛЕНИЕ БЕЛОГО И ФЛИККЕР ШУМОВ

Белый шум G C
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
200
400
600
800
1000
600
800
1000
Фликкер шум G A
10
5
0
0
-5
-10
200
400

11. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Уравнение движения частицы в вязкой среде
dV
M
F t Fc t V t ,
(14)
dt
где
Fc t V t .
(15)
Спектральная плотность шума V T
GM 2 MkT .
(16)
Спектральная плотность флуктуаций скорости V t
GV 2
,
2
где 2 kT M , M .
(17)

12. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ШАРООБРАЗНОЙ ЧАСТИЦЫ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ

Сила вязкого трения
t
1 dV (t ) 3
3 dV ( ) d
3
. (18)
Fc (t ) 2 R
2 V (t )
R
d
t
R
3 dt
0
Спектральная плотность флуктуаций скорости
GV
G~
2 AB 2 3 A2 B 2 A2 B 2 A
(19)
.
2

13.

Графики спектральных плотностей,
задаваемые формулами (17) (кривая 2) и
(19) (кривая 1)

14. НЕМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Примеры немарковских процессов,
наблюдаемых в природе и технике:
- фликкер-шум, наблюдаемый в процессах,
имеющих различную физическую природу;
- флуктуации кинетических коэффициентов
(например, флуктуации коэффициентов
диффузии, вязкости и теплопроводности);
- результат интегрирования марковского
случайного процесса, в частности,
координата броуновской частицы,
вычисляемая как интеграл от её скорости;

15.

- отклик динамической системы при
воздействии на неё марковского случайного
процесса;
- результат измерений с помощью
динамической измерительной системы;
- радиотехнические сигналы при их
амплитудной и фазовой модуляции
совокупностью детерминированных и
случайных процессов;
- результат нахождения скользящего среднего
от процесса с независимыми значениями;
- результат фильтрации (как временной, так и
частотной) марковского случайного процесса.

16. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение Ито
dZ Zdt dW t ,
(20)
где W t - процесс с независимыми приращениями.
Интегральное представление
t
Z t exp( t )dW .
(21)
0
Уравнение для характеристической функции
g L
g L
L ; tL g L
t
L
(22)

17.

Решение уравнения
L tl L
g L 1 ,..., L ; t1 ,..., t L exp k exp tk ; d (23)
l 1 tl 1 k l
Для винеровского процесса W t
L
.
g L 1 ,..., L ; t1 ,..., t L exp
l k exp tl tk exp tl tk
2 l ,k 1
(24)
Для пуассоновского процесса W t
L tl L
g L 1 ,..., L ; t1 ,..., tL exp g k exp tk 1 d
l 1 tl 1 k l
(25)

18. НЕМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС, ЗАДАВАЕМЫЙ ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Связь плотности термодинамических потоков J i и
термодинамических сил X k
t
J i t Gik t , X k d .
При
(26)
0
Gik t , 2 Lik t
(27)
выражение (26) приобретает вид алгебраического
равенства
Ji
N
Lik X k
k 1
.
(28)

19.

Интегральное преобразование
t
Z t G t , dW .
(29)
0
Характеристическая функция
t L L
.(30)
g L 1 ,..., L ; t1 ,...,t L exp l G t l , ; d
l 1
0
Случаи винеровского и пуассоновского
процессов
min t l , t k
1 L
g L 1 ,..., L ; t1 ,..., t L exp
l k
G tl , G t k , d
2 l , k 1
0
.
t L
g L 1 ,..., L ; t1 ,...,t L exp g l G t l , 1 d
0 l 1
, (31)
.(32)

20. ФЛИККЕР-ШУМ

Если ядро интегрального преобразования
1
G t ,
t
,
(33)
то
g L 1 ,..., L ; t1 ,...,t L
(34)
L
1 L 2 t
tl t k
.
exp l ln 4 l k ln
2
t
t
t
t
t
l
k
l ,k 1
l 1
l k
Спектр шума
G t
2
.
(35)

21. НЕОБРАТИМЫЕ НЕМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В рамках теории немарковских процессов описаны:
- броуновское движение;
- диффузия;
- теплопроводность;
- тепловое излучение;
- люминесценция;
- реология;
- флуктуации кинетических коэффициентов.

22. НЕМАРКОВСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Уравнение для осциллятора
t
B
~
~
Z (t ) A 1
Z ( )d k X (t ) (t ).
t
0
(36)
Спектральная плотность флуктуаций координаты
GX
1
G . (37)
4 AB 2 7 A2 B 2 3 A2 B 2 5 ( A2 2k ) 2 kAB 2 3 k 2
Спектральная плотность для классического
осциллятора
G Xклас
1
4 ( A 2 2k ) 2 k 2
G~ .
(38)

23.

Графики спектральных плотностей,
задаваемые выражениями (37) (кривая 1) и
(38) (кривая 2) при R = 10 мкм

24.

Графики спектральных плотностей,
задаваемые выражениями (37) (кривая 1) и
(38) (кривая 2) при R = 100 мкм

25. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНОСТИ СОСТОЯНИЯ

Формула Найквиста
2
U
4 RkT f
(39)
Мера Кульбака
HU
где
f (U ) ln f (U ) f 0 (U ) dU (40)
2
1
U
f 0 (U )
exp 2
2 U
2 U
(41)

26. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ЯЧЕЙКА

1 – сосуды с электролитом, 2 – электроды,
3 – тонкая лавсановая пленка с отверстиями,
4 - электролит

27. ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКИХ ЯЧЕЕК с 19 мая по 1 сентября 2009 года

22
21,5
21
20,5
20
19,5
19
18,5
18
17,5
17
0
500
1000
1500
2000
2500
График зависимости температуры
3000

28. ИЗМЕНЕНИЕ МЕРЫ КУЛЬБАКА ФЛУКТУАЦИЙ НАПРЯЖЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКИХ ЯЧЕЙКАХ с 19 мая по 1 сентября 2009 года

0,000156
0,000155
0,000154
0,000153
0,000152
0,000151
0,00015
0,000149
0,000148
0,000147
0,000146
0
500
1000
1500
2000
2500
Графики зависимостей меры Кульбака
для двух установок
3000

29. РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Показано, что описание физических
процессов с помощью дифференциальных
уравнений имеет существенные ограничения.
2. Разработан метод описания необратимых
процессов как немарковских.
3. Проведено описание ряда необратимых
процессов с использование интегральных
преобразований.
4. Выполнены долговременные измерения
меры Кульбака флуктуаций напряжения на
электролитической ячейке.