Оптимизация рациона питания

1. Оптимизация рациона питания

2. Основная цель исследования:

Составить меню
оптимально
дешевое и
рациональное

3. Основная задача исследования

С использованием
методов линейного
программирования из
имеющихся в
распоряжении видов
продуктов составить
меню, в котором
удовлетворялись бы
потребности организма в
питательных веществах,
причем стоимость его
была бы минимальной

4. Задача №1 (о пищевом рационе)

Директору столовой нужно составить меню. В его
распоряжении имеется 5 видов продуктов: хлеб, овощи,
фрукты, мясо, рыба. Известно, что килограмм хлеба стоит
с1 рублей, килограмм овощей -с2 рублей и т.д. Известно
также, что килограмм хлеба содержит а11 кг белков, а12 кг
жиров и а13 кг углеводов и т. д. (содержание, белков, жиров и
углеводов в килограмме каждого вида продуктов указано в
таблице на рисунке 1). Требуется так составить меню,
чтобы в нем содержалось не менее в1 кг белков, не менее в2
кг жиров и не менее в3 кг углеводов, причем стоимость его
была бы минимальной.

5. Таблица 1

стоимост
ь 1 кг
1 с1
2 с2
белки
жиры
углеводы
хлеб
овощи
а11
а21
а12
а22
а13
а23
3 с3
фрукты а31
а32
а33
4 с4
5 с5
мясо
рыба
а42
а52
в2
а43
а53
в3
а41
а51
в1

6. Решение: 1 этап. Составление математической модели.

Пусть х1 –количество хлеба которое войдет в
меню, тогда х2 –количество овощей и т. д. Тогда
общая стоимость меню L, выразится
равенством
5
L x1 , x2 , x3 , x4, x5 ci xi
1
Ограничения на питательность меню
выражаются системой неравенств
а11 x1 а21 x2 а31 x3 а41 x4 а51 x5 в1,
а12 x1 а22 x2 а32 x3 а42 x4 а52 x5 в2 ,
а x а x а x а x а x в .
33 3
43 4
53 5
3
13 1 23 2

7. 2 этап. Работа с составленной моделью

Наша задача приняла вид: найти неотрицательные
значения переменных x1 , x2 , x3 , x4 , x5
которые удовлетворяли бы системе неравенств и
обращали в минимум функцию
L x1 , x2 , x3 , x4, x5 ci xi
5
1
Это задача линейного программирования. Решить
ее можно с помощью компьютера.

8. Задача №2 (о диете)

Даме необходимо похудеть, за помощью она
обратилась к директору столовой. Директор
посоветовал перейти на рациональное питание,
состоящее из двух продуктов P и Q. Суточное
потребление этих продуктов должно давать не более
14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300
калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном
килограмме этого продукта содержится 15 единиц
жира и 150 калорий, а на упаковке килограмма продукта
Q- 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При
этом цена 1 кг продукта Р равна 15 рублей, а 1 кг
продукта Q- 25 рублей. Так как дама была стеснена в
средствах, то ее интересовал вопрос: в какой
пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы
выдержать условия диеты и истратить как можно
меньше денег.

9. Таблица 2

продукты
стоимость 1 кг
продукта( руб)
жиры
калории
Р
15
15
150
Q
25
4
200
14
300

10. Решение: 1этап.Составление математической модели.

Пусть х -это количество продукта Р, а
у -количество продукта Q, тогда
общая стоимость меню выразится
равенством z=15x+25y.
Ограничения на питательность
выразятся системой неравенств:
15 x 4 y 14,
150 x 200 y 300,
x 0, y 0.