Наибольшее и наименьшее значение функции

1.

При нахождении наибольшего и наименьшего
значения функции нескольких переменных,
непрерывной на некотором множестве, следует
иметь в виду, что эти значения достигаются
функцией или в точках экстремума или на
границе множества.

2.

Найти наибольшее и наименьшее
значение функции
1
1
z
2
2
1 x 1 y
на круге с радиусом, равным 1,
с центром в начале координат.

3.

1
Найдем частные производные.
z
2x
z x
x
(1 x 2 ) 2
z
2y
z y
2 2
y
(1 y )

4.

2
Найдем критические точки.
z
2x
0
2 2
x
(1 x )
z
2y
0
2 2
y
(1 y )
Одна критическая точка (0,0).
x 0
y 0

5.

3
Найдем критические точки на границе области.
x y 1
2
2
y 1 x
2
2
1
1
1
1
z
2
2
2
2
1 x 1 1 x
1 x
2 x
2 x2 1 x2
3
3
2
2
2
2
4
(1 x )( 2 x ) 2 2 x x x
2 x2 x4

6.

4x 2x
2 x (2 x 1)
z
0
2
4 2
2
4 2
(2 x x )
(2 x x )
3
2
x1 0
1
x2
2
1
x3
2
1
x
2
1
y
2
- критические точки на границе
области.
1
x
2
1
y
2
1
x
2
1
y
2
1
x
2
1
y
2

7.

4
Найдем значения
точках.
z (0,0) 2
функции
1 4
1
z
,
2 3
2
1
1 4
z
,
2
2 3
3
z ( 1,0)
2
в
критических
1
1 4
z
,
2
2 3
1 4
1
z
,
2 3
2
3
z 1,0
2

8.

z наиб (0,0) 2
1
1
1
1
z наим z
,
,
z
2
2
2
2
1
1 4
1
1
z
,
,
z
2
2
2 3
2