Методы интегрирования

1. Методы интегрирования

Неопределенный интеграл

2. Метод замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом
подстановки) заключается в преобразовании интеграла f x dx в
интеграл F u du , который легко вычисляется по какой-либо из основных
формул интегрирования.
Для нахождения интеграла f x dx заменяем переменную x новой
переменной u с помощью подстановки x u . Дифференцируя это
равенство, получим dx u du . Подставляя в подынтегральное
выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем
f x dx f u u du F u du.
После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с
помощью подстановки u x он приводится к переменной x.

3. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
1) 3x 2 dx .
5
Решение:
Введём подстановку 3x 2 u . Дифференцируя, имеем 3dx du , откуда
1
dx du
3
Подставив в данный интеграл вместо 3x 2 и
dx их выражения, получим:
1 5
1 u6
1 6
3x 2 dx 3 u du 3 6 C 18 u C.
5
Заменив u его выражением через x, находим:
1 6
1
6
3x 2 dx 18 u C 18 3x 2 C.
5

4. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
4
2) 2 x 1 x 2 dx .
3
Решение:
Введём подстановку 2 x 3 1 u . Дифференцируя, имеем 6 x 2 dx du ,
откуда x 2 dx 1 du. Таким образом,
6
5
5
1
1
u
1 5
1
3
2
4
3
2 x 1 x dx 6 u du 6 5 C 30 u C 30 2 x 1 C.
x dx
Решение:
3)
.
3
x2 1
4
Введём подстановку x 2 1 u . Дифференцируя, имеем 2xdx du ,
1 . Таким образом,
откуда xdx
du
2
2
1
1
u
1
1
2
3
x 1 x dx u du C 2 C
C.
3
2
2
2 2
4u
x2 1
4 x2 1
x dx
3

5. Метод замены переменной

Найдите следующие интегралы:
x 2 dx
4) 3
.
5x 1
Решение:
2
Введём подстановку 5 x 3 1 u . Дифференцируя, имеем 15 x dx du ,
откуда x 2 dx 1 du . Таким образом,
15
x 2 dx
1 du
1
1
3
ln
u
C
ln
5
x
1 C.
5x3 1 15 u 15
15
Задачи для самостоятельной работы:
1. 7 2 x dx ; 2. x 3 x dx ; 3.
3
2
5
x 3 dx
5x
4
3
5
.

6. Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства d u v u dv v du , получим
откуда
d u v udv v du;
u v u dv v du,
udv uv vdu.
(1)
С помощью этой формулы вычисление интеграла udv сводится к
вычислению интеграла v du , если последний окажется проще
исходного.

7. Интегрирование по частям

Найдите следующие интегралы:
1) x sin x dx .
Решение:
Пусть u x, dv sin x dx; тогда du dx , dv sin x dx , т.е.
Используя формулу (1), получим:
v cos x.
x sin x dx x cos x cos x dx x cos x sin x C.
ln x dx
2) 2 .
x
Решение:
dx
dx
dx
1
1
2
u
ln
x
,
dv
;
du
,
dv
x
dx
;
v
.
Пусть
тогда
2
2
x
x
x
x
x
Используя формулу (1), получим:
ln x dx
ln x
ln x 1
2
x 2 x x dx x x C.

8. Интегрирование по частям

Задачи для самостоятельной работы:
1) x cos x dx ;
x dx
2)
;
2
sin x

9. Определенный интеграл

Приложения определенного интеграла

10. Определенный интеграл

В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX, прямыми
x=a, x=b (a<b) и графиком
непрерывной неотрицательной
на отрезке [a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

11. Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем
отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через
полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно равна
сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n , его называют
n
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
b
f ( x)dx
a

12. Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)

Для непрерывной функции
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

13. Основные свойства определенного интеграла

a
f ( x)dx 0
a
b
dx b a
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

14. Основные свойства определенного интеграла

b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

15. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

16. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x),
осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

17. Геометрический смысл определенного интеграла

Замечание: Если функция изменяет знак на
промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

18. Физический смысл определенного интеграла

При прямолинейном движении перемещение s
численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости скорости v
от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

19.

Пример
Вычислить определённый интеграл:
Решение:
1
=
-2

20. Вычисление площадей и объемов

с помощью определенного интеграла

21. Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что f ( x) g ( x)
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек
пересечения графиков функций:
b
S ( f ( x) g ( x)) dx
a

22. Объем тела,

полученного в результате вращения вокруг оси
x криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной
функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a