Интегральное исчисление функции одной переменной. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Метод замены переменной

1.

Тема. Интегральное исчисление функции
одной переменной. Первообразная функции.
Неопределенный интеграл. Метод замены
переменной. Метод интегрирования по частям.
Основные вопросы/план темы
1.Первообразная функции.
2. Неопределенный интеграл.
3.Основные свойства неопределенного интеграла.
4.Таблица основных интегралов.
5.Метод замены переменной.
6. Метод интегрирования по частям.

2.

Функция F(x) называется первообразной
функции f(x) на промежутке Х, если в
каждой точке х этого промежутка
F ( x) f ( x)

3.

4
x
F ( x)
4
Например, функция
является первообразной для функции
f ( x) x
поскольку
3
x
3
x
4
Для заданной функции f(x) ее первообразная
определена не однозначно.
4
Например, функции
4
x
1;
4
4
4
x
x
2 ; ...
const
4
4
тоже являются
функции х3.
первообразными
для

4.

В общем случае, если F(x) –
первообразная для функции f(x), то
функция вида F(x)+С тоже является
первообразной для f(x), поскольку
( F ( x) C ) F ( x) f ( x)

5.

Из геометрического смысла производной
вытекает, что
F (x)
есть угловой коэффициент касательной к
кривой y=F(x) в точке х.
Найти первообразную для функции f(x),
значит найти такую кривую y=F(x),
что угловой коэффициент
касательной к ней в произвольной
точке х равен значению f(x).

6.

Если F1(x) и F2(x) - первообразные
функции f(x) на некотором
промежутке Х, то найдется
такое число С, что будет
справедливо равенство:
F2 ( x) F1 ( x) C

7.

Из этой теоремы следует, что если F(x) –
первообразная для функции f(x), то
выражение
F ( x) C
задает все возможные первообразные для
функции f(x).

8.

Совокупность всех первообразных для
функции f(x) на промежутке Х
называется неопределенным
интегралом от функции f(x).
f ( x)dx F ( x) C
Функция f(x) называется
подынтегральной функцией.
Выражение f(x)dx называется
подынтегральным выражением.

9.

4
x
x dx 4 C
3
Интегрирование
является
операцией,
обратной дифференцированию.
Для проверки правильности результата
интегрирования надо продифференцировать
результат и получить подынтегральную
функцию.

10.

1
Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции.
f ( x)dx f ( x)

11.

f ( x)dx F ( x) C
F ( x) f ( x)

12.

2
Дифференциал от неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению.
d
f ( x)dx f ( x)dx

13.

d
f ( x)dx f ( x)dx dx
f ( x)dx

14.

3
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с
точностью до постоянного слагаемого.
dF
(
x
)
F
(
x
)
C

15.

Представим функцию F(x) как первообразную
некоторой функции f(x).
Тогда:
f ( x)dx F ( x) C
Отсюда
:
f ( x)dx dF ( x)
Следовательно:
dF( x) f ( x)dx F ( x) C

16.

4
Постоянный множитель можно выносить за
знак неопределенного интеграла.
k f ( x)dx k f ( x)dx

17.

Это
свойство
вытекает
производной функции F(x):
k F ( x)
из
свойства
k F ( x) k f ( x)

18.

5
Интеграл от алгебраической суммы
(разности) двух функций равен сумме
(разности) интегралов от этих функций:
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx

19.

Пусть
F(x) и G(x) – первообразные для
функций f(x) и g(x). Тогда
F ( x) G ( x)
F ( x) G ( x) f ( x) g ( x)

20.

1
n 1
x
x dx n 1 C
n
n 1

21.

2
1
dx
ln
x
C
x

22.

3
x
a
a
dx
C
ln a
x
a 0, a 1

23.

4
e dx e
x
x
C

24.

5
sin xdx cos x C

25.

6
cos xdx sin x C

26.

7
1
x
dx arcsin C
2
2
a
a x
a 0

27.

8
1
1
x
dx
arctg
C
2
2
a x
a
a
a 0

28.

9
1
1
x a
x 2 a 2 dx 2a ln x a C
a 0

29.

10
1
x a
2
dx ln x x a C
2
a 0

30.

11
1
cos 2 x dx tgx C

31.

12
1
sin 2 x dx ctgx C

32.

Вычисление интегралов с помощью основных
свойств неопределенного интеграла и
таблицы
интегралов
называется
непосредственным
или
элементарным
интегрированием.

33.

Вычислить интегралы:
1
2
(6
3
x
2sin x)dx

34.

(2sin x 6 3x
2
)dx
6dx 3x dx 2sin xdx
2
6 dx 3 x dx 2 sin xdx
2
6 x x 2cos x C
3

35.

2
3x x x 2
dx
2
x
4
3

36.

3x 4 x 3 x 2
dx
2
x
1
1
2
3 x x 2 2 dx
x
x
1
1
3 x dx xdx dx 2 2 dx
x
x
2
2
x
2
3
x
ln x C
2
x

37.

3
2
2 x
x 2 1 sin 2 dx

38.

2
2 x
x 2 1 sin 2 dx
1
2 x
2 2
dx sin
dx
x 1
2
1
2arctgx (1 cos x)dx
2
1
1
2arctgx x sin x C
2
2

39.

Метод замены
формулой:
переменной
описывается
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
1

40.

Где х=φ(t) – функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке.
Покажем справедливость этой формулы.
Найдем производную по t от левой и правой
части выражения (1):
f ( x)dx f ( x)dx
t
x
xt f ( x) (t )
f ( (t)) (t)dt
t
f ( (t )) (t ) f ( x) (t )

41.

Получили
одинаковый
результат,
следовательно по следствию из теоремы
Лагранжа
левая
и
правая
части
выражения (1) отличаются на некоторую
постоянную.
Т.к.
сами
неопределенные
интегралы
определены с точностью до произвольного
постоянного слагаемого, то эту постоянную
можно опустить.
Т.об,
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt

42.

Полученная
формула
показывает,
что
переходя к новой переменной, достаточно
выполнить
замену
переменной
в
подынтегральном выражении.
Удачная замена переменной позволяет
упростить исходный интеграл и в
некоторых
случаях
свести
его
к
табличному.

43.

Вычислить интегралы:
1
x( x 1)
12
dx

44.

x 1 t
x( x 1)
12
dx x t 1
dx dt
(t 1) t 12dt t 12dt t 13dt
t
t
( x 1)
( x 1)
C
C
13 14
13
14
13
14
13
14

45.

2
sin
4
x cos xdx

46.

sin
4
x cos xdx
sin x t
dt cos xdx
dt
1 5
1
t dt t C sin 5 x C
5
5
4

47.

Пусть F(x) – некоторая
первообразная для функции f(x).
Тогда
1
f (kx b)dx F (kx b) C
k

48.

Вычислить интегралы:
1
3
3 xdx

49.

3
k 1
4
3
3
3 xdx
(3 x) C
b 3
4

50.

2
1
4 x 3 dx

51.

k 4 1
1
4 x 3 dx b 3 4 ln 4 x 3 C

52.

Пусть функции u(x) и v(x)
определены и дифференцируемы на
промежутке Х и функция
u ( x) v( x)
имеет первообразную на этом
промежутке.

53.

Тогда функция
v ( x) u ( x)
тоже имеет первообразную на
этом промежутке и справедлива
формула
u( x) v ( x)dx u( x) v( x) v( x) u ( x)dx

54.

Найдем производную произведения данных
функций:
u( x) v( x)
u ( x) v( x) u ( x) v ( x)
Отсюда выражаем второе слагаемое в правой
части выражения:
u ( x) v ( x) u ( x) v( x) u ( x) v( x)

55.

Слагаемые
в
правой
части
имеют
первообразную на промежутке Х по условию
теоремы, следовательно, левая часть тоже
имеет первообразную на этом промежутке и
интегрируя равенство, имеем:
u( x) v ( x)dx u( x) v( x) dx u ( x) v( x)dx
u ( x) v( x)
u
(
x
)
v
(
x
)
dx
u
(
x
)
v
(
x
)
u
( x) v( x)dx

56.

Поскольку
u ( x)dx du
v ( x)dx dv
То последнее равенство часто записывают в
виде:
u
dv
u
v
v
du

57.

Вычислить интегралы:
1
x e
x
dx
u
dv
u
v
v
du

58.

u x
x e dx du dx
x
dv e dx
x
v e
x
x e e dx x e e C
x
x
x
x

59.

2
ln xdx

60.

u ln x
1
ln
xdx
du dx
x
dv dx
v x
x
x ln x dx x ln x x C
x

61.

3
x
2
cos xdx

62.

x
2
cos xdx
u x2
dv cos xdx
du 2 xdx
v sin x
x cos x 2 x sin xdx
2
u x
dv sin xdx
du dx
v cos x
x cos x 2 x cos x 2 cos xdx
2
x cos x 2 x cos x 2 sin x C
2

63.

Можно
показать,
что
формула
интегрирования по частям применима для
следующих типов интегралов:
x
x
n
n
e dx
ax
cosmxdx
x
n
x
sin mxdx
k
ln xdx
n

64.

x
k
arcsin xdx
x
k
arctgxdx
x
k
arccosxdx
x
k
arcctgxdx
Где a, m, k – действительные числа, n – целое
положительное число.