Решение задач с помощью дробно-рациональных выражений 8 класс

1. Решение задач с помощью дробно-рациональных выражений 8 класс

2.

«Успех – это не пункт
назначения.
Это движение».
Т. Фастер.

3.

Если обе части уравнения являются рациональным
выражением,
то
такие
уравнения
называют
рациональным уравнением.
Рациональные уравнения
Целые рациональные уравнения
2х 3
5 х;
5
2
х 6 х 8 0;
х 5 х 9
.
4
6
Дробно-рациональные уравнения
2х 3
4 х;
5 х
х2 6х 8
0;
х 2
х 5 х 9
.
4х
6

4.

• Задачи на движение по
местности.
• Задачи на движение по воде.
• Задачи на работу.
• Задачи на нахождение
дробей и т.д.

5.

s – расстояние, v – скорость, t - время
s = vt
t=s:v
v=s:t
s=v:t
t=s∙v
t:v=s
v=t:s
v∙t=s
выход

6. Устные упражнения:

• При каких значениях переменной
существует данная дробь
• а) 3 6a б) a 1
?
3 6a
a 4
2

7. Решение уравнений.

В а р и а н т 1.
В а р и а н т 2.
2 х 1 3х 4
х 7
х 1
2х 3 х 5
2х 1 х 3
В а р и а н т 3.
В а р и а н т 4.
1 3х 5 3х
1 2х 1 2х
1 5х 2 х
х 1
х

8. О т в е т ы:

I вариант: х1 1, х2 27( х 7; х 1 )
II вариант: х 0,2
( х 0,5 ; х 3 )
2
х
9
III вариант:
IVвариант: х1 1, х
2
( х 0,5; х 0,5 )
0,5 ( х 1 ; х 0).

9.

Велосипедист от озера до деревни ехал со
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
скоростью 10 км/ч.
ушло у него–на со
дорогу
от озера до
скоростью
15Сколько
км/ч,времени
а обратно
скоростью
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
10
км/ч. отСколько
времени
ушло
у а обратно
него –на
Велосипедист
озера до деревни
ехал со скоростью
15 км/ч,
со
скоростьюот
10 км/ч.
Сколько
ушло у если
него на дорогу
от озера
до
дорогу
озера
до времени
деревни,
на весь
путь
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
Пусть
х ч – время, затраченное
на дорогу
от озера
s – расстояние,
v – скорость,
t - время
до деревни. Какое из уравнений соответствует
условию
s = задачи?
vt
Скорость
Время
Расстояние
От озера
15 км/ч
хч
От
деревни
10 км/ч
(1 – х) ч
15х км
1ч
10(1 – х) км

10.

Скорость
Время
Расстояние
От озера
15 км/ч
хч
15х км
От деревни
10 км/ч
(1 – х) ч
10(1 – х) км
Расстояние
15х км одно и =
то же, 10(1
т.е одинаковое.
– х) км
А. 15х = 10(1 – х)
Б.
15
10
1
+
х
1–х
В.15х + 10(1 – х) = 1
Г. 15(1 – х ) = 10х
верно
неверно
v:t
s2 = t
s1неверно
t2 = v2 t1
v1неверно
выход

11.

Лыжник
от озера
до
деревни
ехал
со
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
скоростью 10 км/ч.
ушло у него–на со
дорогу
от озера до
скоростью
15Сколько
км/ч,времени
а обратно
скоростью
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
12
км/ч. отСколько
времени
ушло
у а обратно
него –на
Велосипедист
озера до деревни
ехал со скоростью
15 км/ч,
со
скоростью 10 км/ч.
Сколько времени
него на дорогу
обратную
дорогу,
если ушло
на увесь
путьот озера
тудадо и
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
обратно велосипедист затратил 3 ч?
s – расстояние,
– скорость,
t - время
Пусть
х ч – время наvобратную
дорогу.
Какое из
уравнений соответствует условию задачи?
s = vt
Скорость
Время
Расстояние
От озера
15 км/ч
(3 – х) ч
От деревни
12 км/ч
хч
15(3 – х) км
3ч
12х км

12.

Скорость
Время
Расстояние
От озера
15 км/ч
(3 – х) ч
15(3 – х) км
От деревни
12 км/ч
хч
12х км
Расстояние
15(3 – х) одно
км и то
= же, т.е 12х
одинаковое.
км
А. 15(3 – х) = 12х
Б.
15
+ 12 3
х
3–х
В.15х + 12(3 – х) = 3
Г. 15х = 12(3 – х)
верно
неверно
v:t
t2 v2 t1
v1неверно
t2 = v2 t1
v1неверно
выход

13.

Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
скоростью 10
км/ч. Сколько времени
ушло у него
на дорогу от
до
больше
скорости
второго,
поэтому
наозерапуть
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
длиной 20
кмдоему
наа обратно
20 мин
Велосипедист
от озера
деревнипотребовалось
ехал со скоростью 15 км/ч,
– со
скоростью 10чем
км/ч. Сколько
времениЧему
ушло у него
на дорогу скорости
от озера до
меньше,
второму.
равны
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
велосипедистов?
Пусть
х км/ч – скорость
первого велосипедиста.
s – расстояние,
v – скорость,
t - время
Какое из уравнений соответствует условию
tзадачи?
=s:v
Расстояние
(км)
Первый
велосипедис
т
Второй
велосипедис
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
20
х
20
на 3 км/ч
х больше
20
20
на 3 км/ч
х – 3меньше
х–3

14.

Расстояние
(км)
Первый
велосипедист
Второй
велосипедист
20
20
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
х
20
х
х–3
20
х–3
20
1 на 20 мин
Время первого велосипедиста
20 мин =
ч=
ч
3
60
меньше, чем время
второго.
20
20 1
t
t
–
неверно
А. х
1
2
х–3
3
20
1
20
верно
Б. х – 3 – х 3
20
20
В. х – 3 – х 20
неверно
20
мин!
Г.20х – 20(х – 3) =20
s∙v
неверно
выход

15.

Велосипедист
озера до деревни
ехал со скоростью
– со
Скоростьот первого
пешехода
на 115 км/ч,
км/ча обратно
больше
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
скорости
второго,
навелосипедист
путь длиной
деревни, если
на весь путьпоэтому
туда и обратно
затратил 15ч?км
Велосипедист
от озера до деревнина
ехал со
км/ч, а обратночем
– со
ему потребовалось
15скоростью
мин 15меньше,
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
второму.
Чему
равны
скорости
пешеходов?
деревни, если
на весь
путь туда
и обратно велосипедист
затратил 1 ч?
Пусть х км/ч – скорость первого пешехода. Какое
t = s : v условию задачи?
из уравнений соответствует
Расстояние
(км)
Первый
пешеход
Второй
пешеход
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
5
х
5
х больше
на 1 км/ч
5
5
х – 1меньше
на 1 км/ч
х–1

16.

Расстояние
(км)
Первый
пешеход
Второй
пешеход
5
5
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
х
5
х
х–1
5
х–1
1 15 мин меньше,
Время первого пешехода на
15 мин =
ч
4
чем время второго.
5
1
5
верно
А. х – 1 – х 4
5
1
5
t1 t2
неверно
Б. х – х – 1 4
5
5
неверно
15 мин!
В. х – 1 – х 15
Г. 5х – 5(х – 1) = 15
неверно
s∙ v
выход

17.

Расстояние по реке между двумя деревнями
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
скоростью
км/ч. На
Сколяько
времени
ушлоиу него
на дорогумоторная
от озера до
равно
2 10км.
путь
туда
обратно
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
лодка
затратила
мин.
равна
собственная
Велосипедист
от озера до 22
деревни
ехалЧему
со скоростью
15 км/ч,
а обратно – со
скоростью 10 лодки,
км/ч. Сколько
временискорость
ушло у него на течения
дорогу от озерареки
до
скорость
если
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч? н
равна 1 км/ч?
Пусть х ч – собственная скорость лодки. Какое из
t = s :условию
v
уравнений соответствует
задачи?
По
течению
Против
течения
Расстояние
Скорость
2 км
(х +1) км/ч
2 км
(х – 1) км/ч
Время
2
ч
х+1
2 ч
х–1

18.

По
течению
Против
течения
Расстояние
Скорость
2 км
(х + 1) км/ч
2 км
(х – 1) км/ч
Время
2
ч
х+1
2
ч
х–1
22 и против
На весь путь по течению
течения
11
22 мин =
ч=
ч
60
лодка затратила
22
30мин.
А. 2(х + 1) + 2(х – 1) = 22
s∙v
неверно
2
11
2
Б. х + 1 + х – 1 30
х+1 х–1
11
–
В.
2
30
2
2
2
+
Г. х + 1 х – 1 22
верно
неверно
v:s
22 мин
неверно
выход

19.

Моторная лодка курсирует между двумя
Велосипедист
от озера
до деревни ехалмежду
со скоростью
15 км/ч, а обратно
– со
пристанями,
расстояние
которыми
по реке
скоростью 10 км/ч. времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если
4туда
км.и обратно
На путь
по течению
уходитотна
3
наравно
весь путь
велосипедист
затратил 1уч?нее
Велосипедист
озера
до деревни
ехал со скоростью
15путь
км/ч, а против
обратно – сотечения.
скоростью 10 Чему
км/ч.
мин
меньше,
чем
на
Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до деревни, если на весь путь
равна скорость
течения
реки,затратил
если1 известно,
что
туда и обратно
велосипедист
ч? н
скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч?
Пусть х ч – скорость течения реки. Какое из
t = s :условию
v
уравнений соответствует
задачи?
По
течению
Против
течения
Расстояние
Скорость
4 км
(18 + х) км/ч
4 км
(18 – х) км/ч
Время
4 ч
18 + х
4
ч
18 – х

20.

По
течению
Против
течения
Расстояние
Скорость
4 км
(18 + х) км/ч
4 км
(18 – х) км/ч
Время
4
ч
18 + х
4
ч
18 – х
3 3 мин
Время по течению на
меньше, чем
1
3 мин =
ч=
ч
60 течения.
время против
20
4 – 2 1
верно
А. 18 – х 18 + х
20
18 – х – 18 + х
3
неверно
Б.
v: s
4
4
4 – 2 1
t
t
неверно
В. 18 + х 18 – х
1
2
20
Г. 4(18 + х) – 4(18 – х) = 3
s∙ v
неверно
выход

21.

Велосипедист
озерапоселка
до деревни ехал
со скоростью 15доехал
км/ч, а обратно
От городаот до
автомобиль
за 3– со
ч.
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
Если
быеслионна весь
увеличил
скорость
на 25
км/ч,
деревни,
путь туда и обратно
велосипедист
затратил
1 ч? то
Велосипедист
деревнипуть
ехал со на
скоростью
км/ч, а обратно
– со
затратил от
быозера
надо этот
1 ч 15меньше.
Чему
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
равно
расстояние
оттуда
города
довелосипедист
поселка?
деревни,
если на весь путь
и обратно
затратил 1 ч?
Пусть х км – расстояние от города до поселка.
v = s : t условию задачи?
Какое уравнение соответствует
Расстояние
(км)
Проехал
Мог проехать
х
х
Время
(ч)
Скорость
(км/ч)
3
х
3
2
на 1 ч меньше
х
2

22.

Расстояние
(км)
Проехал
Мог проехать
х
х
Время
(ч)
Скорость
(км/ч)
3
х
3
2
х
2
Увеличится
Времени
на путь скорость
затраченоавтомобиля
больше, значит
25 км/ч. меньше.
скоростьнадвижения
х
х
верно
А. 2 – 3 25
х
х
неверно
Б. 3 – 2 25
v1 v2
2 – 3
:
25
неверно
В. х
t
s
х
3 – 2
выход
:
25
неверно
В. х
t
s
х

23.

От дома до школы Коля обычно едет на
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
скоростью 10 км/ч.со
Сколько
времени ушло у него
до
велосипеде
скоростью
10 на дорогу
км/ч.от озера
Чтобы
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
приехать в школу раньше на ¼ ч, ему надо ехать
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
10 км/ч. Сколько
времени
ушло равно
у него на дорогу
от озера доот
соскоростью
скоростью
12 км/ч.
Чему
расстояние
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
дома до школы?
Пусть х км – расстояние от дома до школы. Какое
t=s:v
уравнение соответствует условию задачи?
Расстояние
(км)
Едет
Надо ехать
х
х
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
10
х
10
12
х
12

24.

Расстояние
(км)
Ехал
Надо ехать
х
х
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
10
х
10
12
х
12
Скорость движения меньше, значит времени
Приедет раньше на ¼ часа.
на путь затрачено больше.
х
х
1
–
верно
А. 10
4
12
х
х
15
–
неверно
15 мин
Б. 10
12
х
х
1
–
неверно
t2 t1
А. 12
4
10
х
х
выход
неверно
t2 t1
Б. 12 – 10 15

25.

Задачи ГИА - 2010
Вариант 1.
Какова
скорость
автобуса?
Вариант 2.
Какова
скорость
автобуса?
Вариант 3.
Какова
скорость
велосипедиста?

26.

Велосипедист
озера до деревни
скоростью
15 км/ч, аскорости
обратно – со
Скоростьотавтобуса
наехал
25сокм/ч
меньше
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
автомобиля.
Расстояние
от велосипедист
города до
поселка
деревни, если на весь
путь туда и обратно
затратил
1 ч?
Велосипедист
от озера до деревни
со скоростью
15 км/ч, а обратно
автобус проезжает
за ехал
3 ч,
а автомобиль
за 2– со
ч.
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
Какова
автобуса?
деревни,скорость
если на весь путь
туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
Пусть скорость автобуса х км/ч. Какое из
соответствует
условию
sуравнений
– расстояние,
v – скорость,
t -задачи?
время
s = vt
Скорость
Время
Автобус на 25 км/ч
меньше 3 ч
х км/ч
Автомобильна (х
25+км/ч
больше 2 ч
25) км/ч
Расстояние
3х км
2(х + 25) км

27.

Автобус
Скорость
Время
Расстояние
х км/ч
3ч
3х км
2ч
2(х + 25) км
Автомобиль (х + 25) км/ч
Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.
А. 3х = 2(х + 25)
верно
Б. 2х = 3(х – 25)
неверно
v1 t2
В. 2х = 3(х + 25)
неверно
v1 t2
Г. 3х = 2(х – 25)
неверно
v2 t2
выход

28.

Велосипедист
озера до деревни
скоростью
15 км/ч, аскорости
обратно – со
Скоростьотавтобуса
наехал
27сокм/ч
больше
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
велосипедиста.
отвелосипедист
города до
поселка
деревни, если на весь Расстояние
путь туда и обратно
затратил
1 ч?
Велосипедист
от озерапроезжает
до деревни ехал за
со скоростью
км/ч, а обратно
велосипедист
5 ч, а 15
автобус
за 2– со
ч.
скоростью 10 км/ч. Сколько времени ушло у него на дорогу от озера до
Какова
автобуса?
деревни,скорость
если на весь путь
туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
Пусть скорость автобуса х км/ч. Какое из
соответствует
условию
sуравнений
– расстояние,
v – скорость,
t -задачи?
время
s = vt
Скорость
Автобус
Время
на 27 км/ч
больше 2 ч
х км/ч
27–км/ч
меньше 5 ч
Велосипедист на (х
27) км/ч
Расстояние
2х км
5(х – 27) км

29.

Скорость
Время
Расстояние
Автобус
х км/ч
2ч
2х км
Велосипедист
(х – 27) км/ч
5ч
5(х – 27) км
Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.
А. 5х = 2(х – 27)
неверно
v1 t2
Б. 5х = 2(х + 27)
неверно
v1 t2
В. 2х = 5(х + 27)
неверно
v2 t2
Г. 2х = 5(х – 27)
верно
выход

30.

Скорость велосипедиста на 36 км/ч меньше
Велосипедист от озера до деревни ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно – со
скоростью 10мотоциклиста.
км/ч. Сколько времениРасстояние
ушло у него на дорогу
от озера додо
скорости
от города
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
поселка отвелосипедист
за а обратно
6 ч,– соа
Велосипедист
озера до деревни ехал проезжает
со скоростью 15 км/ч,
скоростью 10 км/ч. Сколько
на дорогу от
озера до
мотоциклист
за времени
2 ушло
ч. у него
Какова
скорость
деревни, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч?
велосипедиста?
Пусть скорость велосипедиста х км/ч. Какое
sуравнение
– расстояние,
v – скорость,
t -задачи?
время
соответствует
условию
s = vt
Скорость
Время
Расстояние
Велосипедист на 36 км/ч
меньше 6 ч
х км/ч
6х км
Мотоциклист на (х
36+км/ч
больше 2 ч
36) км/ч
2(х + 36) км

31.

Скорость
Время
Расстояние
Велосипедист
х км/ч
6ч
6х км
Мотоциклист
(х + 36) км/ч
2ч
2(х + 36) км
Расстояние одно и то же, т.е одинаковое.
А. 6х = 2(х – 36)
неверно
v2 t2
Б. 6х = 2(х + 36)
верно
В. 2х = 6(х – 36)
неверно
v1 t2
Г. 2х = 6(х + 36)
неверно
v1 t2
выход