Нелинейные уравнения

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Уравнения с одним
неизвестным

2.

• Нелинейные уравнения:
• алгебраические (содержащие только
алгебраические функции (целые,
рациональные, иррациональные)
• трансцендентные (содержащие другие
функции (тригонометрические, показапоказательные, логарифмические и
др.)).

3.

• 1. Метод деления отрезка пополам (метод
бисекции).
• Пусть мы нашли отрезок [ a, b] , на котором
функция меняет знак , т.е. на котором
находится значение корня x c , т. е.
с [ a, b]
• В качестве начального приближения корня c0
принимаем середину этого отрезка:
c0 (a b) / 2

4.

• Далее исследуем значения функции
концах отрезков [a, c0 ] и [c0 , b]
на
• Тот из отрезков, на концах которого F ( x)
принимает значения разных знаков, содержит
искомый корень; поэтому его принимаем в
качестве нового отрезка [ a 1, b1].

5.

• В качестве первого приближения корня
принимаем
c1 (a1 b1 ) / 2

6.

• Таким образом, k-е приближение вычисляется
как
ck (ak bk ) / 2

7.

• после каждой итерации отрезок, на котором
расположен корень, уменьшается вдвое, а
после k итераций он сокращается в 2k раз:
b a
bk ak k
2

8.

• Пусть приближенное решение x требуется
найти с точностью до некоторого заданного
малого числа 0 :
x x
• Взяв в качестве приближенного решения k-е
приближение корня: x ck , учитывая, что
получим
c ck
x c

9.

• Последнее неравенство выполнено, если
bk ak 2

10.

y
F (b)
a
c0
F (a)
c2
c1
b
x

11.

• метод деления отрезка пополам всегда
сходится, причем можно гарантировать, что
полученное решение будет иметь любую
наперед заданную точность.

12.

• 2. Метод хорд.
• Процесс итераций состоит в том, что в качестве
приближений корню уравнения принимаются
значения точек пересечения хорды с осью
абсцисс.
• ( Для определенности примем )
F (a) 0, F (b) 0

13.

• Сначала находим уравнение хорды ab:
y F (a )
x a
F (b) F (a ) b a

14.

• Для точки пересечения ее с осью абсцисс
получим уравнение
b a
c0 a
F (a )
F (b) F (a )

15.

• Далее, сравнивая знаки величин F (a) и F (c0 )для
рассматриваемого случая, приходим к выводу,
что корень находится в интервале (a, c0 ) так как
F (a) F (c0 ) 0 . Отрезок [c0 , b] отбрасываем.
и т.д.

16.

• В качестве условия окончания итераций
используется условие близости двух
последовательных приближений
ck ck 1

17.

y
c1
c0
b
x
a
b1

18.

• 3. Метод Ньютона (метод касательных).
• метод состоит в том, что на k-й итерации
проводится касательная к кривой у = F(x) и
ищется точка пересечения касательной с
осью абсцисс.

19.

• При этом не обязательно задавать отрезок [ a, b] ,
содержащий корень уравнения, а достаточно лишь
найти некоторое начальное приближение корня
x c0

20.

• Уравнение касательной, проведенной к кривой в
точке (c0 , F (c0 )) имеет вид
y F (c0 ) F (c0 )( x c0 )

21.

• Отсюда найдем следующее приближение корня
как абсциссу точки пересечения касательной с
осью х (у = 0):
c1 c0 F (c0 ) / F (c0 )

22.

• Аналогично формула для k-го приближения имеет
вид
ck ck 1 F (ck 1 ) / F (ck 1 )
• необходимо, чтобы F (ck 1 ) не равнялась нулю.

23.

y
c1
c2
c0
x

24.

• для погрешности корня
место соотношение
k c ck
k
F (c)
lim 2
k
2 F (c)
k 1
имеет

25.

• 4. Метод простой итерации.
• Для использования этого метода исход- исходное
нелинейное уравнение записывается в виде
x f ( x)

26.

• Пусть известно начальное приближение корня
x c0
• Подставляя это значение в правую часть
уравнения получаем новое приближение
c1 f (c0 )

27.

• Подставляя каждый раз новое значение корня в
уравнение получаем последовательность значений
ck f (ck 1 )

28.

• Итерационный процесс прекращается, если
результаты двух последовательных итераций
близки, т. е. если выполнено неравенство
ck ck 1