Комплексные числа

1.

Комплексные числа
§1. Определение, изображение, формы записи
комплексного числа
К понятию комплексного числа привело стремление
решить уравнение х2 +1=0 и извлечь корень из
отрицательного числа.
Комплексным числом называется выражение вида
z=x+iy, где x, y– действительные числа, i − мнимая
единица (i2=−1).
1

2.

Числа x, y называются соответственно
действительной и мнимой частью комплексного
числа z и обозначаются x=Re z, y=Im z.
Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто
мнимым,
если y=0, то x+i0=x есть действительное число.
2

3.

Два комплексных числа считаются равными, если
равны их действительные части и равны их мнимые
части, т.е.
Комплексные числа z=x+iy и z = x - iy,
отличающиеся знаком мнимой части, называются
комплексно-сопряженными.
3

4.

Комплексное число изображается точкой М
плоскости с координатами x, y или ее радиусвектором OM .
Длина вектора OM называется модулем
комплексного числа z и обозначается |z|, r или ρ:
z r OM x 2 y 2 .
Угол φ между радиус-вектором OM
и положительным направлением
оси Ox называют аргументом комплексного числа z.
Угол φ определяется неоднозначно, с точностью до
слагаемого 2πk; договоримся брать то значение φ,
которое заключено между −π и π и обозначать его arg4z.

5.

Наряду с алгебраической формой комплексного
числа z=x+iy рассмотрим еще две формы записи.
Так как x r cos , y r sin , то комплексное число
z=x+iy можно записать в тригонометрической
форме:
z r cos i sin .
Введя функцию e cos i sin , комплексное число
можно записать в показательной форме:
z r e i .
i
Итак, имеем три формы записи комплексного числа
z x i y r cos i sin r e i .
5

6.

Пример. Записать комплексное число z 1 i 3
в тригонометрической и показательной формах.
6

7.

§2. Основные действия над комплексными
числами
Операции сложения, вычитания, умножения
комплексных чисел определяются следующим
естественным образом.
1. При сложении (вычитании) двух комплексных
чисел складываются (соответственно вычитаются) их
действительные и мнимые части, т.е.
z1 z 2 ( x1 x 2 ) i ( y1 y 2 )
7

8.

2. Умножение двух комплексных чисел в
алгебраической форме определяется по правилам
умножения двучленов с учетом равенства i2=−1, т.е.
z z ( x i y ) ( x i y ) ( x x y y ) i ( x y x y ).
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
Теорема. При умножении двух комплексных чисел в
тригонометрической форме их модули умножаются, а
аргументы складываются:
z1 z 2 r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .
Аналогично, в показательной форме
z 1 z 2 r1 e i r2 e i r1 r 2 e i ( ).
1
2
1
2
8

9.

3. Деление комплексных чисел
При делении двух комплексных чисел в
алгебраической форме нужно числитель и знаменатель
z1
( z 2 0) умножить на число, сопряженное
дроби
z2
знаменателю; тогда делителем будет действительное
число: z
x 1 i y 1 ( x 1 i y 1 ) ( x2 i y 2 )
1
z 2 x2 i y 2 ( x2 i y 2 ) ( x2 i y 2 )
( x 1 x2 y 1 y 2 ) i ( y 1 x2 x 1 y 2 )
x y
2
2
2
2
.
9

10.

2
5
i
Пример. Вычислить
.
7 3i
10

11.

Теорема. При делении двух комплексных чисел в
тригонометрической и показательной формах их
модули делятся, а аргументы вычитаются, т.е.
z1 r(1 cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1
cos ( 1 2 ) i sin ( 1 2 ) ,
r2
i 1
z1 r1 e
r1 i ( )
e
.
i
z 2 r2 e
r2
1
2
2
11

12.

4. Возведение в степень комплексного числа
Возведение в степень комплексного числа в
алгебраической форме осуществляется по правилам
возведения в степень двучлена с учетом того, что i2=−1,
i3=i2i=−i, i4=(i2)2=(−1)2=1 и т.д.
Например, используя формулу куба разности, получим:
(2 i) 3 2 3 3 2 2 i 3 2 i 2 i 3 8 12 i 6 i 2 11i.
12

13.

При возведении комплексного числа в бóльшую
степень удобно использовать его тригонометрическую
форму z r cos i sin .
Учитывая, что при умножении модули умножаются, а
аргументы складываются, получим формулу Муавра:
z n r n (cos n i sin n ) r n e in .
13

14.

Пример. Вычислить z6, если
z 3 i.
14

15.

5. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
определяется как действие, обратное возведению в
степень, т.е. n z w, если w n z.
При извлечении корня из комплексного числа z удобно
использовать тригонометрическую форму записи
комплексного числа.
Пусть z r (cos i sin ).
Тогда
15

16.

Придавая k значения 0, 1, 2,….,n−1, получим n
различных значений корня n−й степени из
комплексного числа.
При других значениях k получим значения корня,
совпадающие с уже найденными. Например, при k=n и
при k=0 значения корней совпадают:
2 n
2 n
n
wn r cos
i sin
n
n
n
r cos 2 i sin 2
n
n
r cos i sin w0 .
n
n
n
16

17.

Аналогично, wn 1 w1 , wn 2 w2 ,...
Таким образом, для любого z≠0 корень степени n из
числа z имеет n различных значений.
Пример. Решить уравнение z 3 1 0.
17

18.

Замечание. Если нужно извлечь корень квадратный,
то можно и не пользоваться соответствующей
формулой.
Например,
12 i 5 12 i 9 4 12 i (3 i) 2 2 2
(2 3 i ) 2 (2 3 i).
Если вы не догадались о таком способе, то можно
обозначить 12 i 5 x i y и возвести это
равенство в квадрат: 12 i 5 x i y 2 x 2 2 i x y y 2
18