Комплексные числа

1. Комплексные числа.

2. ПЛАН:

1. Основные понятия. Формы записи.
2. Действия над комплексными числами:
a) Сложение комплексных чисел;
b) Вычитание комплексных чисел;
c) Умножение комплексных чисел;
d) Деление комплексных чисел ;
e) Возведение в n-степень;
f) Извлечение корней из
комплексных чисел.

3. Основные понятия.

Определение.
Комплексным числом Z называется
z = a + bi ,
выражение вида
где a и b- действительные числа, а i - мнимая
единица, и
i 2 = -1
Например, Z1 = 6+2i или Z2 = 1-5i .
Число a называется действительной частью
комплексного числа и обозначается a=Re z,
а b - мнимой частью и обозначается b=Im z.

4. Основные понятия.

Два комплексных числа
называются равными
тогда и только тогда,
когда равны их
действительные и
мнимые части.
Два комплексных числа,
отличающихся лишь
знаком мнимой части,
называются комплексносопряженными.
z1 = a1 + b1i ;
z 2 = a 2 + b 2i
z1 = z2 a1 = a 2 ; b1 = b 2
z1 = a1 + b1i
z2 = a 2 - b 2i

5. Примеры.

Пример 1.
Пример 2.
z1 = 5 + 3i ;
z1 = 5 + 3i ;
z2 = 25 / 5 + 15 / 5i
z2 = 5 - 3i
a = 5 = 25 / 5
b = 3 = 15 / 5
Вывод : z1 = z2
Вывод : z1 и z2
комплексно сопряженные числа.

6. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число
можно изобразить точкой
плоскости xOy такой, что
x=Re z, y=Im z.
И, наоборот, каждую точку
координатной плоскости
можно рассматривать как
образ комплексного
числа.
Z = a+bi, М(a, b)
y
M(a ; b )
O
x

7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
M(x;y)
O
x
Плоскость, на которой
изображается
комплексные числа,
называется комплексной
плоскостью.
Ось абсцисс Ox называется
действительной осью.
Ось ординат Oy называется
мнимой осью.

8. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
r = OM
M(x;y)
φ
O
x
Комплексное число можно
задавать с помощью
радиус
вектора r = OM .
Длина вектора называется
модулем этого числа и
обозначается Z или r .
Величина угла между
положительным направлением
оси Ox и вектором r
называется аргументом этого
комплексного числа и
обозначается Arg Z или j.
Аргумент комплексного числа
определяется с точностью до
слагаемого 2pk.

9. Формы записи комплексных чисел.

1. Алгебраическая.
2. Тригонометрическая.
3. Показательная.
Любое комплексное число
можно записать в любой форме.

10. Формы записи комплексных чисел.

Модуль r и аргумент j можно
рассматривать как полярные
координаты вектора r = OM
Тогда получаем
Запись числa
z=a+bi
называется
алгебраической формой
комплексного числа.
Комплексное число z=a+bi
можно записать в виде
Запись числа z в виде
z=r(cosφ+isinφ)
называется
тригонометрической
формой
комплексного числа.
x = r cos j
y = r sin j
z = r cos j + ir sin j
Или
z = r (cos j + i sin j )

11. Переход от одной формы к другой.

От алгебраической формы
к тригонометрической
r = z = x2 + y 2
x
cos j =
r
y
sin j =
r
y
tgj =
x
Т.к. j = Arg z = arg z + 2pk
То
cos j = cos(arg z + 2pk )
sin j = sin(arg z )
От тригонометрической
формы к алгебраической
x = r cos j
y = r sin j

12. При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента,

т.е. j = arg z
Т.к. - p arg z p
то
y
arctg для точек I и IV четвертей;
tgj =
y
x
x
y
arg z = arctg + p для точек II четверти;
x
y
arctg x - p для точек III четверти.

13. Пример: Комплексное число изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме

z = 2 + 2i
x=2
y=2
y
r = 22 + 22 = 2 2
Для I четверти
2
φ
0
r = z = x2 + y 2
2
x
y
2
arg z = arctg = arctg = arctg1
x
2
p
j = arg z =
4
2 + 2i = 2 2 (cos
p
4
+ i sin
p
4
)

14. Комплексное число можно записать в показательной (или экспонентной) форме

z = re
ij
Где
r = z и j = arg z ij
В силу формулы Эйлера e = cos j + i sin j
функция e ij периодическая с основным
периодом 2π.
Для записи комплексного числа в показательной
форме надо определить главное значение
аргумента и модуль.

15. 2. Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных
чисел
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
Называется комплексное
число
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i
Разностью двух комплексных
чисел z = x + y i
1
1
1
z 2 = x2 + y 2 i
Называется комплексное
число
z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + ( y1 - y2 )i
Геометрически комплексные числа
складываются и вычитаются, как
векторы.

16. Сложение (вычитание) комплексных чисел

Примеры:
1. z1 = 4 + 2i
z 2 = -5 + 3i
z1 + z 2 = (4 - 5) + (2 + 3)i = -1 + 5i
2.
z1 = 3 - 5i
z2 = 2 - 7i
z1 - z2 = (3 - 2) + (-5 - (-7)i = 1 + 2i

17. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведением двух
комплексных чисел
Частным двух комплексных
чисел
z1 = x1 + y1i
z1 = x1 + y1i
z 2 = x2 + y 2 i
называется комплексное
число
z 2 = x2 + y 2 i
называется комплексное
число
z
xx +yy
y x -x y
z = 1 = 1 22 12 2 + 1 22 12 2 i
z2
x2 + y 2
x2 + y 2
z = z1 z2 = ( x1 x2 + y1 y2 ) + ( x1 y2 + y1 x2 )i
Формула получается путем
перемножения двучленов!
( x1 + y1i)( x2 + y2i)
На практике используют
умножение числителя и
знаменателя на число,
сопряженное ( x1 + y1i ) ( x - y i)
2
2
знаменателю! ( x2 + y2i ) ( x2 - y2i)

18. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведение:
Частное:
z1 = 1 + 2i
z1 = 1 + 2i
z2 = 3 + 4i
z2 = 1 + i
z1 z2 = (1 + 2i) (3 + 4i) =
1 + 2i (1 + 2i )(1 - i )
=
=
1+ i
(1 + i )(1 - i )
= 1 3 + 2i 3 + 1 4i + 2i 4i =
= 4 + 6i + 4i + 8i 2 = 4 + 10i - 8 =
= -4 + 10i
=
z1 z2 = -4 + 10i
i = -1
2
1 + 2i - i + 2 3 + i
=
1+1
2
z1 3 1
= + i
z2 2 2

19. Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение чисел
z1 = r1 (cos j1 + i sin j1 )
z2 = r2 (cos j 2 + i sin j 2 )
Частное чисел
z1 = r1 (cos j1 + i sin j1 )
z2 = r2 (cos j 2 + i sin j 2 )
Находим по формуле
Находим по формуле
z1 z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin( j1 + j2 ))
z1 r1
= (cos(j1 - j 2 ) + i sin( j1 - j 2 ))
z 2 r2
При умножении модули
перемножаются, а
аргументы складываются!
При делении модули
делятся, а аргументы
вычитаются!

20. Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение:
z1 = 3(cos
p
3
p
+ i sin
p
3
+ p ) + i sin(
z1 z 2 = 15(cos
z1 = 3(cos
)
3
z2 = 5(cos p + i sin p )
z1 z 2 = 3 5(cos(
Частное:
p
p
)
3
z2 = 5(cos p + i sin p )
p
3
+ p ))
4p
4p
+ i sin
)
3
3
3
+ i sin
z1 3
p
p
= (cos( - p ) + i sin( - p ))
z2 5
3
3
z1 3
2p
2p
= (cos( - ) + i sin( - ))
z2 5
3
3

21. Произведение и частное комплексных чисел в показательной форме.

z1 = r1e
i
p
ij1
z1 = 2e 2
ij 2
i
z2 = r2 e
z1 z2 = r1r2e
i (j1 +j 2 )
z1 r1 i (j1 -j 2)
= e
z 2 r2
p
z 2 = 3e 3
z1 z2 = 6e
i
5p
6
p
z1 2 6
= e
z2 3
i

22. Возведение комплексных чисел в степень.

Правило умножения комплексных чисел
позволяет возвести число в n-степень:
zn =
z
z
z
...
n
Получим Формулу Муавра:
z n = r n (cos nj + i sin nj )
Для показательной формы используют формулу:
z n = r n e inj

23. Возведение комплексных чисел в степень. Пример.

Найти (1 + 3i ) 9
Запишем число в тригонометрической форме:
r = 1 + 3 = 2,
arg z = arctg 3 =
z = 2(cos
p
3
+ i sin
p
3
p
3
,
)
z 9 = (1 + 3i ) 9 = 29 (cos 9
p
p
+ i sin 9 ) =
3
3
= 29 (cos 3p + sin 3p ) = 29 (-1) = -512.

24. Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме.

Определение.
Корнем n-й степени из комплексного числа z
называется комплексное число ω,
n = z
удовлетворяющее равенству:
n
z =
Данное действие выполняется над комплексными
числами в тригонометрической форме.
n
r (cos j + i sin j ) = r (cos
n
j + 2pk
+ i sin
n
Получим n различных корней!
j + 2pk
n
)

25. Извлечение корней из комплексных чисел. Пример.

Найти
, если
z = -1
В тригонометрической форме число имеет вид:
6
z
-1 = cos p + i sin p
- 1 = cos
p + 2kp
+ i sin
p + 2kp
Используем формулу:
6
6
Найдем 6 возможных корней, придавая k последовательно
значения 0,1,2,3,4,5:
p
p
p
p
3 1
k
=
1
,
z
=
cos
+
i
sin
=i
2
k = 0, z1 = cos + i sin =
+ i
2
2
6
6
2 2
6
5p
5p
3 1
k = 2, z1 = cos
+ i sin
=+ i
6
6
2 2
3p
3p
k = 4, z1 = cos
+ i sin
= -i
2
2
k = 3, z1 = cos
7p
7p
3 1
+ i sin
=- i
6
6
2 2
k = 5, z1 = cos
11p
11p
3 1
+ i sin
=
- i
6
6
2 2