Комплексные числа

1. Комплексные числа.

Панарад А.Ю.
Кафедра Алгебры, Геометрии и Анализа.
ДВФУ

2. ПЛАН:

1. Основные понятия. Формы записи.
2. Действия над комплексными числами:
a) Сложение комплексных чисел;
b) Вычитание комплексных чисел;
c) Умножение комплексных чисел;
d) Деление комплексных чисел ;
e) Возведение в n-степень;
f) Извлечение корней из комплексных
чисел.

3. Основные понятия.

Определение.
Комплексным числом называется выражение
вида
, z i
где и - действительные числа, а i - мнимая
единица, и
2
i 1
Например, = 6 i или = 1-5i .
Число называется действительной частью
комплексного числа и обозначается Re z,
а мнимой частью и обозначается Im z.

4. Основные понятия.

Два комплексных числа
называются равными
тогда и только тогда,
когда равны их
действительные и
мнимые части.
Два комплексных числа,
отличающихся лишь
знаком мнимой части,
называются комплексносопряженными.
z1 1 1i ;
z 2 2 2i
z1 z 2 1 2 ; 1 2
z1 1 1i
z 2 2 2i

5. Примеры.

Пример 1.
z1 5 3i ;
Пример 2.
z 2 25 / 5 15 / 5i
z 2 5 3i
5 25 / 5
3 15 / 5
Вывод : z1 z 2
z1 5 3i ;
Вывод : z1 и z 2
комплексно сопряженные числа.

6. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число
можно изобразить точкой
плоскости xOy такой, что
x Re z, y Im z.
И, наоборот, каждую точку
координатной плоскости
можно рассматривать как
образ комплексного
числа.
= i, М(
y
M( ; )
O
x

7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
M(x;y)
O
x
Плоскость, на которой
изображается
комплексные числа,
называется комплексной
плоскостью.
Ось абсцисс Ox называется
действительной осью.
Ось ординат Oy называется
мнимой осью.

8. Геометрическое изображение комплексных чисел.

y
r OM
M(x;y)
φ
O
x
Комплексное число можно
задавать с помощью
радиус
вектора r OM .
Длина вектора называется
модулем этого числа и
обозначается ф фили r .
Величина угла между
положительным направлением
r
оси Ox и вектором
называется аргументом этого
комплексного числа и
обозначается Arg или
Аргумент комплексного числа
определяется с точностью до
слагаемого

9. Формы записи комплексных чисел.

1. Алгебраическая.
2. Тригонометрическая.
3. Показательная.
Любое комплексное число
можно записать в любой форме.

10. Формы записи комплексных чисел.

Модуль r и аргумент можно
рассматривать как полярные
координаты вектора
r OM
Тогда получаем
x r cos
y r sin
Комплексное число z= i можно
записать в виде
z r cos ir sin
Или
z r (cos i sin )
Запись числa
z= i
называется
алгебраической формой
комплексного числа.
Запись числа z в виде
z=r(cosφ+isinφ)
называется
тригонометрической
формой
комплексного числа.

11. Переход от одной формы к другой.

От алгебраической формы
к тригонометрической
r z x2 y2
x
y
cos
sin
r
r
y
x
Т.к. Arg z arg z 2 k
tg
То
cos cos(arg z 2 k )
sin sin(arg z )
От тригонометрической
формы к алгебраической
x r cos
y r sin

12. При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента, т.е.

arg z
Т.к.
то
arg z
arctg
arg z arctg
arctg
y
tg
x
y
для точек I и IV четвертей ;
x
y
для точек II четверти ;
x
y
для точек III четверти.
x

13. Пример: Комплексное число изобразить на плоскости и записать в тригонометрической форме

z 2 2i
x 2
y 2
y
2
φ
0
r z x2 y2
2
x
r 22 22 2 2
Для I четверти
y
2
arg z arctg arctg arctg1
x
2
arg z
4
2 2i 2 2 (cos i sin )
4
4

14. Комплексное число можно записать в показательной (или экспонентной) форме

z re
i
Где
arg z
r z и
В силу формулы Эйлера
e i cos i sin
функция
i периодическая с основным периодом
e
2π.
Для записи комплексного числа в показательной
форме надо определить главное значение аргумента
и модуль.

15. 2. Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных
чисел
z1 x1 y1i
z 2 x2 y 2 i
Называется комплексное
число
z1 z 2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
Разностью двух комплексных
чисел z1 x1 y1i
z 2 x2 y 2 i
Называется комплексное
число
z1 z 2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
Геометрически комплексные числа
складываются и вычитаются, как
векторы.

16. Сложение (вычитание) комплексных чисел

Примеры:
1. z1 4 2i
z 2 5 3i
z1 z 2 (4 5) (2 3)i 1 5i
2.
z1 3 5i
z 2 2 7i
z1 z 2 (3 2) ( 5 ( 7)i 1 2i

17. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведением двух
комплексных чисел
Частным двух комплексных
чисел
z1 x1 y1i
z1 x1 y1i
z 2 x2 y 2 i
называется комплексное
число
z 2 x2 y 2 i
z z1 z 2 ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 y1 x2 )i
Формула получается путем
перемножения двучленов!
( x1 y1i )( x2 y2i )
называется комплексное число
z1 x1 x2 y1 y2 y1 x2 x1 y2
i
2
2
2
2
На практике
z2
x2 используют
y2
x2 y 2
z
умножение числителя и
знаменателя на число,
сопряженное знаменателю!
( x1 y1i ) ( x2 y2i )
( x2 y 2 i ) ( x2 y 2 i )

18. Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведение:
Частное:
z1 1 2i
z1 1 2i
z 2 3 4i
z2 1 i
z1 z 2 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i )(1 i )
1 i
(1 i )(1 i )
1 3 2i 3 1 4i 2i 4i
4 6i 4i 8i 2 4 10i 8
4 10i
z1 z 2 4 10i
i 1
2
1 2i i 2 3 i
1 1
2
z1 3 1
i
z2 2 2

19. Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение чисел
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
Находим по формуле
z1 z 2 r1r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
При умножении модули
перемножаются, а
аргументы складываются!
Частное чисел
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
Находим по формуле
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z 2 r2
При делении модули
делятся, а аргументы
вычитаются!

20. Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение:
i sin )
3
3
z 2 5(cos i sin )
z1 z 2 3 5(cos( ) i sin( ))
3
3
z1 3(cos
4
4
z1 z 2 15(cos
i sin )
3
3
Частное:
i sin )
3
3
z2 5(cos i sin )
z1 3
(cos( ) i sin( ))
z2 5
3
3
z1 3(cos
z1 3
2
2
(cos( ) i sin( ))
z2 5
3
3

21. Произведение и частное комплексных чисел в показательной форме.

z1 r1e
i 1
z 2 r2 e
i 2
z1 z 2 r1r2 e
i ( 1 2 )
z1 r1 i ( 1 2)
e
z 2 r2
z1 2e
i
z 2 3e
z1 z 2 6e
z1 2
e
z2 3
i
i
i
2
3
5
6
6

22. Возведение комплексных чисел в степень.

Правило умножения комплексных чисел
позволяет возвести число в n-степень:
z n z z z ...
n
Получим Формулу Муавра:
z n r n (cos n i sin n )
Для показательной формы используют формулу:
z n r n e in

23. Возведение комплексных чисел в степень. Пример.

Найти (1 3i ) 9
Запишем число в тригонометрической форме:
r 1 3 2,
arg z arctg 3 ,
3
z 2(cos i sin )
3
3
z 9 (1 3i )9 29 (cos 9
i sin 9 )
3
3
29 (cos 3 sin 3 ) 29 ( 1) 512.

24. Извлечение корней из комплексных чисел в тригонометрической форме.

Определение.
Корнем n-й степени из комплексного числа z называется
комплексное число ω, удовлетворяющее равенству:
n z
Данное действие выполняется над комплексными
n
z
числами в тригонометрической форме.
n различных
корней!
2 k
2 k
n
r (cos i sin ) r (cos
i sin
)
n
n
Получим
n

25. Извлечение корней из комплексных чисел. Пример.

6
Извлечение корней из
комплексных чисел.
Пример.
Найти
z , если z 1
В тригонометрической форме число имеет вид:
1 cos i sin
6
1 cos
2k
2k
i sin
6
6
Используем формулу:
Найдем 6 возможных корней, придавая k последовательно
значения 0,1,2,3,4,5:
3 1
k
1
,
z
cos
i
sin
i
2
k 0, z1 cos i sin
i
2
2
6
6
2 2
5
5
3 1
k 2, z1 cos
i sin
i
6
6
2 2
3
3
k 4, z1 cos
i sin
i
2
2
k 3, z1 cos
7
7
3 1
i sin
i
6
6
2 2
k 5, z1 cos
11
11
3 1
i sin
i
6
6
2 2