Натуральные числа

1.

Натуральные числа
Множество X называется индуктивным, если вместе с каждым числом x X ему
принадлежит также и число x 1 . Множеством натуральных чисел
называют
наименьшее индуктивное множество, содержащее число 1.
Свойства натуральных чисел
1. Сумма и произведение натуральных чисел – натуральные числа.
2. Если n и n 1 , то n 1 .
3. Если m, n и n m , то n 1 m .
4. В любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный
элемент.
5. Аксиома индукции. Натуральное число n 1 непосредственно следует за натуральным
числом n (или, что то же самое, число n 1 предшествует числу n ), т.е. нет натуральных
чисел x , удовлетворяющих условию n x n 1 .
Метод математической индукции:
Пусть A n – зависящее от n утверждение. Если доказано, что выполняется A 1 и из
справедливости A n вытекает справедливость A n 1 , то A n справедливо n .
З а м е ч а н и е . Индукция может начинаться с любого числа n0 . Тогда утверждение A n
верно n , n n0 .
1

2.

Целые числа
Действительное число z называется целым, если существуют такие n1 , n2 , что z n1 n2 .
Свойства целых чисел
1. Сумма и произведение целых чисел – целые числа.
2. Если n , то n 1 .
3. Если m, n и n m , то n 1 m .
4. Целое число n 1 непосредственно следует в за целым числом n , т.е. нет целых чисел x ,
удовлетворяющих условию n x n 1 .
Рациональные числа
Действительное число a называется рациональным, если существуют z1 , z2 , z2 0
такие, что a
z1
( z1 и z2 не определены однозначно числом a ).
z2
Множество
замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления на
ненулевой элемент.
Иррациональные числа
\
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.
Необходимость введения иррациональных чисел доказал Пифагор (570-496 г. до н.э) через
теорему о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.
2

3.

Теорема о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.
Диагональ единичного квадрата на координатной плоскости не может измеряться
рациональным числом. Другими словами, 2 не может быть рациональным числом.
Докажем от противного.
m
m
Пусть 2 , где
– несократимая дробь, m, n
n
n
.
Способ 1. Возможны три варианта:
m – четное,
n – нечетное.
m – нечетное,
n – четное.
n – нечетное,
m – нечетное.
Обозначим:
m 2k , n 2l 1 .
Тогда
Обозначим:
Обозначим:
m 2k 1, n 2l 1 .
Тогда
2 2l 1 2k ,
2
2l 1
2
2
2k 2 ,
m 2k 1, n 2l .
Тогда
2
2
2 2l 2k 1 ,
«четное» «нечетное».
2 2l 1 2k 1 ,
«четное» «нечетное».
2
2
«нечетное» «четное».
В каждом случае получили противоречие.
m
m2
Способ 2. Возводя 2
в квадрат, получим: 2 2 , т.е. 2n 2 m 2 . Отсюда
n
n
2
получаем: m 2 , а значит, m 2 , поэтому можно записать m 2k , k . Следовательно,
m
2
2
,
но
тогда
и
,
а
это
противоречит
условию
о
несократимости
дроби
. 3
2
k
2
n
n
2
n

4.

Расширенная числовая ось
Соотношения, принятые между числами x
1. x .
,
3. x
,
,
x
,
и символами , .
x
x
0.
4. x x ,
x x ,
x x ,
x x .
2.
если x 0;
если x 0,
если x 0;
если x 0.
Для символов , определены действия:
1. ,
2. ,
.
.
4

5.

Подмножества точек числовой оси (числовые промежутки):
– интервал: a, b x x
df
a x b ;
– отрезок или сегмент: a, b x x
df
a x b ;
–полуинтервалы: a, b x x
a x b ,
a, b x x
a x b ;
df
df
– лучи: a, x x
a x ,
, a x x
x a ,
df
a, x x
a x ,
, a x x
x a ;
df
df
df
– вещественная ось: , x x
df
конечные
промежутки
бесконечные
промежутки
.
5

6.

Окрестности
0
1) -окрестность точки a :
B a, = a , a ;
2) проколотая -окрестность точки a :
0
B a, = a , a \ a ;
3) -окрестность бесконечности:
, , ;
4) -окрестность плюс-бесконечности:
, ;
5) -окрестность минус-бесконечности:
, .
6

7.

ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Множество X
ограничено сверху (снизу), если
c
x X x c ( x c ).
c – верхняя (нижняя) грань множества X или мажоранта (миноранта)
множества X .
Множество ограничено, если оно ограниченно и сверху, и снизу.
Элемент a X называется наибольшим или максимальным (наименьшим
или минимальным) элементом множества X , если
x X x a ( x a ).
Обозначения: a max X max x ( a min X min x ).
x X
x X
Лемма. Если в числовом множестве есть максимальный (минимальный)
элемент, то он единственный.
Справедливость леммы следует из аксиом порядка и определения максимального (минимального) элементов.
З а м е ч а н и е . Существуют множества, не имеющие максимального (мини7
мального) элемента.

8.

Точной верхней (нижней) гранью ограниченного множества X называется
наименьшее (наибольшее) из чисел, ограничивающих множество X
сверху
(снизу).
Обозначения:
sup X или sup x
( inf X или inf x )
«супремум X »
(«инфимум X »):
x X
x X
s sup x
x X
i inf x
x X
1) x X
x s,
2) 0 x X x s или s s x X s x .
1) x X i x ,
2) 0 x X x i или i i x X x i .
Верхней гранью неограниченного сверху (снизу) множества X принято
считать « » (« »).
8

9.

Теорема (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху (снизу)
множество имеет и притом единственную точную верхнюю (нижнюю) грань.
Докажем, что непустое ограниченное сверху множество X
ственную точную верхнюю грань.
Пусть Y y y
имеет един-
и x X , y x множество верхних граней множества X . По усло-
вию X и ограничено, а значит, и Y .
Так как X и Y , то, в силу аксиомы полноты,
d x X y Y x d y ,
причем число d Y .
С другой стороны, y Y , d y
« d – минимальный элемент множества Y , причем единственный».
Существование и единственность точной нижней грани ограниченного снизу
множества доказывается аналогично.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Аксиома полноты. Принцип непрерывности Дедекинда.
Каковы бы ни были непустые множества A
и B , у которых для любых
двух элементов a A и b B выполняется неравенство a b , существует такое число ,
что a A b B a b .
9

10.

Свойства точных граней
1. sup x x X inf X ,
inf x x X sup X .
2. sup x y x X , y Y sup X sup Y ,
inf x y x X , y Y inf X inf Y .
3. sup x y x X , y Y sup X inf Y .
4. Если 0 , то
sup x x X sup X , inf x x X inf X .
5. Пусть X x x 0 , Y y y 0 . Тогда
sup xy x X , y Y sup X sup Y ,
inf xy x X , y Y inf X inf Y .
10

11.

Теорема Архимеда. Если h
x
, h 0 , то
k 1 h x kh .
!k
Следствия:
1. 0 n
2. Если число x
3. a, b
4. a, b
5. x
0
1
.
n
таково, что 0 x и n
a b r
a b r
!k
a r b .
\
x
1
, то x 0 .
n
a r b .
k x k 1.
6. Числовую прямую можно покрыть не более чем счетным количеством непересекающихся интервалов.
П р и м е р . Множество всех правильных дробей:
m
A m, n и 0 m n ,
n
не имеет наименьшего и наибольшего элементов; inf A 0 , sup A 1 . 11

12.

Системой вложенных отрезков называют множество S отрезков таких, что
I1 , I 2 S I1 I 2 или I 2 I1 .
Лемма о вложенных отрезках, или принцип Коши-Кантора
Пусть S – система вложенных отрезков, тогда x I S x I .
Система вложенных отрезков называется последовательностью вложенных
отрезков, если они занумерованы и n k I n I n k .
Последовательность вложенных отрезков называется стягивающейся, если
в ней есть отрезки сколь угодно малой длины.
Лемма о последовательности стягивающихся отрезков
Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку
и притом единственную.
13

13.

Теорема Кантора о мощности отрезка
Множество точек отрезка несчетно.
Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии)
В любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется
конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.
Точка a называется предельной точкой множества X ,
если в любой ее окрестности содержится бесконечное количество точек
множества X , или, что то же самое, в любой ее окрестности есть хотя
бы одна точка множества X , отличная от a .
Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса)
Всякое бесконечное ограниченное множество
по крайней мере, одну предельную точку.
X
имеет,
16