Гидростатиканың негізгі теңдеуі

1.

№ 8 дәріс
Гидростатиканың негізгі теңдеуі
Гидростатикада салыстырмалы түрде тыныштық күйде тұрған сұйықтықтардың
тепе-теңдігі қарастырылады. Бұл жағдайда сұйықтық көлемінің пішіні
өзгермейді, ішкі үйкеліс күштері болмайды. Эйлер дифференциалды теңдеулер
жүйесін жазатын болсақ:
(1.1)
Бұл теңдеулер жүйесінен тыныштықта тұрған сұйықтықтың қысымы z осі
бағытында ғана өзгеретінін көруге болады. Дербес туындыны
толық
дифференциалға алмастырып, теңдеудің екі жағын ρg-ге бөліп, теңдеудің барлық
мүшелерін – 1-ге көбейтсек алынады:
(1.2)
Теңдеуді (1.2) интегралдасақ, алынады:
(1.3)
Алынған теңдеу (1.3) гидростатиканың негізгі теңдеуі деп аталады. Теңдеудегі
белгілі бір ара-қашықтықты сипттайтын z шамасын нивелирлі биіктік деп атайды.
Бұл шама ұзындықтың өлшем бірлігімен сипатталады.
Физикалық мәні бойынша нивелирлі биіктік сұйықтықтың бірлік салмағына
келетін энергияны сипаттайды. Басқаша айтқанда нивелирлі биіктік еркін
таңдап алынған салыстырмалы жазықтықтағы берілген нүктенің меншікті
потенциалдық энергиясының орнын сипаттайтын геометриялық тегеурін деп
аталады.

2.

p/ρg шамасын гидростатикалық немесе пьезометрикалық тегеурін деп
атайды. Нивелирлі биіктік сияқты бұл гидростатикалық тегеурін физикалық мәні
бойынша сұйықтықтың бірлік салмағына келетін энергияны көрсетеді де,
берілген нүктедегі сұйықтық қысымының меншікті потенциалдық энергиясын
сипаттайды. Гидростатиканың негізгі теңдеуіне сәйкес, тыныштықта тұрған
сұйықтықтың қысымы мен орнының меншікті потенциалдық энергиясының
қосындысы тұрақты шама және бұл шама толық гидростатикалық тегеурінге
тең.
Бернулли теңдеуі:
(1.4)
Реалды сұйықтықтар үшін бұл теңдеу келесі түрде жазылады:
(1.5)
Реалды жағдайда энергияның шығыныдалуы жүреді.
Ағынға кедергілер
Аппарат немесе құбыр арқылы сұйықтықтың қозғалысы кезінде тегеуріннің
әлсіреуінен шығын болады. Ол сұйықтықтың қабырғаға үйкелуі нәтижесіндегі
кедергілер мен сұйықтықтың бағыты немесе жылдамдығы өзгерісінен болатын
тұрақты кедергілер қосындысынан құралады.
Көлденең құбыр бойынша сұйықтықтың қабырғаларға үйкелуі нәтижесінде
пайда болатын тегеуріннің әлсіреуін, тұтқыр сұйықтықтың еріксіз қозғалысын
сипаттайтын ұқсастық сандары арасындағы тәуелділікті өрнектейтін теңдеуден
анықтауға болады:

3.

(1.6)
Эйлер ұқсастық санын физикалық шамалар арқылы өрнектесек:
(1.7)
Бұдан ΔP қысымның әлсіреуіне сәйкес келетін кедергі өрнектеледі:
(1.8)
Егер
өрнегін кедергі немесе үйкеліс коэффициенті арқылы белгілесек,
онда практикалық есептеулерге қолайлы теңдеуге айналдырамыз. Бұл теңдеу
Дарси-Вейсбах теңдеуі деп аталады:
(1.9)
Үйкеліс коэффициенті Рейнольдс ұқсастық санының функциясы болып
табылады және қозғалыс режиміне қарай келесі теңдеулерден анықталады.
Сұйықтықтың ламинарлы қозғалысында (Re <2300):
(1.10)
Сұйықтықтың турбулентті қозғалысында (Re =3000÷100 000):
(1.11)
Қысымның әлсіреуін сұйықтықтың орын ауыстыруының метрімен өрнектеу
үшін Дарси-Вейсбах теңдеуін біраз өзгертіп қолданады:
(1.12)

4.

Ағынға тұрақты кедергілер
Ағынға тұрақты кедергілер ағынның жылдамдығы немесе бағыты өзгергеннен
пайда болады. Бұл кедергілер құбырдан ағынның шығуы немесе құбырға кіруі
кезінде, құбырдың тарылуы немесе кеңеюі кездерінде туындайды. Сондай-ақ
бұранда, ысырма, қысқыштар ағынның бағытын өзгертіп, тұрақты кедергілердің
пайда болуына әкеледі. Ағынға тұрақты кедергілерді ағып өтетін сұйықтық
бағанасының метрімен өрнектеп, келесі формуладан анықтайды:
(1. 13)
Тұрақты кедергілер коэффициенттерінің сандық мәндері тәжірибе жүзінде
анықталып, анықтамалық әдебиеттерде келтірілген.
Сонымен құбыр арқылы сұйықтықтың қозғалысында тегеуріннің толық
жоғалуы үйкеліс күшіне кететін кедергілер мен тұрақты кедергілерден
анықталады:
(1.14)
Түзу құбырларға қарағанда ирек құбырларда тегеуріннің әлсіреуі жоғары
болады және келесі теңдеуден анықталады:
(1.15)
Өлшем бірлігі жоқ коэффициент келесі теңдеуден табылады:
(1.16)

5.

Аппараттар арқылы сұйықтықтың қозғалысы
кезінде тегеуріннің жоғалуы
Түйіршіктермен, сақиналармен толтырылған аппарат арқылы сұйықтықтардың
қозғалысын сусымалы материалдар бөлшектерінің аралығындағы каналдармен
сұйықтықтың орын ауыстыруы жүретін кеуек орта арқылы қозғалыс ретінде
қарастырады. Олай болса, үйкеліс әсерінен болатын тегеуріннің әлсіреуін ДарсиВейсбах теңдеуі негізінде есептеуге болады. Ол үшін эквивалентті диаметрді
саптаманың сипаттамалары арқылы өрнектейді. Ол сипаттамаларға сан жүзінде
бос қимаға (м2/м2) тең бос көлем – (м3/м3), меншікті бет – σ (м2/м3) және жалған
жылдамдық – w жатады.
Саптаманың эквивалентті диаметрі өрнектеледі:
(1.17)
Жалған жылдамдықты біртұтас ағынның теңдеуін қолданып өрнектеуге
болады:
(1.18)
(1.19)
Алынған эквивалентті диаметр (1.17) мен жылдамдық (1.19) мәндерін ДарсиВейсбах теңдеуіне қойсақ:
(1.20)
Алынған (1.20) теңдеу арқылы саптамасы бар аппараттардағы сұйықтықтың
қозғалысы кезіндегі тегеуріннің жоғалуын анықтауға болады.