Сұйықтықтардың ламинарлы қозғалысы

1.

Дәріс № 5. Сұйықтықтардың ламинарлы қозғалысы
Шамалы ғана жылдамдықта сұйықтықтар бір-бірімен араласпайтын параллель
ағыспен қозғалады. Ағыс жылдамдығы әр түрлі болады. Құбыр қабырғаларына
жақын маңда ағыстың қабырғаға жанасуынан жылдамдықтың мәні нөлге тең
болады. Құбырдың осі бойынша жылдамдық мәні максималь болады.
Осы айтылғандарды ескере отырып, ламинарлы ағыстағы жылдамдықтың
таралуын теория жүзінде анықтауға болады.
Сұйықтық ағысынан ойша ұзындығы L, радиусы r цилиндр бөліп аламыз. Құбыр
радиусын R арқылы белгілейміз (1-сурет). Сұйықтықтың орныққан қозғалысында
бөліп алынған цилиндрдің 1 – 1
және 2 – 2 қималарына әсер ететін күшті
қарастырамыз:
1-сурет. Сұйықтықтың ламинарлы қозғалысы кезіндегі
құбырдағы жылдамдықтардың таралуы

2.

Ағысқа қарама-қарсы үйкеліс күші әсер етеді. Ньютон заңына сәйкес ішкі үйкеліс
күші тең:
(1.1)
мұндағы
Динамика заңдарына сәйкес бір қалыпты қозғалыс үшін мынадай теңдікті жазуға
болады:
(1.2)
немесе
(1.3)
бұдан
(1.4)
мұндағы
(1.4)-ші өрнекті интегралдаймыз:
(1.5)
бұдан
(1.6)
Интегралдау константасын шекаралық жағдайлардан анықтаймыз. Егер ағыс
радиусын құбыр радиусына тең десек, онда құбыр қабырғасында жылдамдық мәні
нөлге тең. Олай болса:
(1.7)

3.

Табылған мәнді (1.6)-шы теңдеуге қойсақ:
(1.8)
Алынған теңдеуден r = R болған жағдайда құбыр қабырғасы маңында жылдам-дық
нөлге тең, ал r = 0 болған жағдайда, жылдамдық құбыр осі бойынша макси-маль
мәнге ие болады:
(1.9)
(1.8) және (1.9)-шы теңдеулерді салыстыру арқылы Стокстың параболалық заңы
алынады:
(1.10)
Бұл заңға сәйкес құбыр маңында жылдамдық нөлге тең болады да, ал құбыр осі
бойынша максималь мәнге ие болады.
Ламинарлы режимде сұйықтықтың мөлшерін анықтау үшін сыртқы радиусы
(r+dr) ішкі радиусы r элементарлы сақиналы қиманы қарастырамыз. Қиманың ауданы
dS = 2πrdr. Осы сақиналы қима арқылы сұйықтықтың көлемдік мөлшері өрнектеледі:
(1.11)
немесе (1.8)-ші теңдеуді ескеріп жазатын болсақ:
(1.12)
Алынған өрнекті интегралдау арқылы құбыр қимасының бүкіл көлемі үшін
сұйықтықтың жұмсалу мөлшерін табамыз:
(1.13)

4.

R орнына құбыр диаметрін қойып, өрнектесек:
(1.14)
Табылған теңдеулер (1.13, 1.14) түзу дөңгелек құбыр арқылы сұйықтықтың ламинарлы
қозғалысында оның мөлшерін анықтайды және Гаген-Пуазейли теңдеуі деп аталады.
Орташа жылдамдық пен максималды жылдамдық арасындағы қатынасты сұйықтықтың
көлемдік жұмсалу мөлшерін айқындайтын теңдеу мен (1.13)-ші теңдеуді салыстыра
отырып алуға болады. Сұйықтықтың көлемдік мөлшері анықталады:
(1.15)
бұдан
(1.16)
(1.10) және (1.16)-ші теңдеулерін салыстыру арқылы алынады:
(1.17)
Сонымен құбыр арқылы сұйықтықтың ламинарлы қозғалысында оның орташа
жылдамдығы құбыр осі бойынша жылдамдықтың жартысына тең болады.
Сұйықтықтың турбулентті қозғалысы
Турбулентті қозғалыста сұйықтықтың бөлшектері үлкен жылдамдықпен ретсіз, әр түрлі
бағытта қозғалады. Құбырдың көлденең қимасы арқылы жылдамдықтың таралуы
параболаға ұқсас қисық бойынша жүреді, алайда қисықтың ұшы жалпақтау болып келеді
де, ағыстың орташа жылдамдығы максималды мәнінен 0,8-0,9 құрайды (1.1-сурет).

5.

Турбулентті қозғалыста құбыр қабырғасына жақын маңда жылдамдық режимі
ламинарлы болады.
1-сурет. Сұйықтықтың турбулентті қозғалысы кезіндегі
құбырдағы жылдамдықтардың таралуы
Сұйықтық қозғалысының түрі сұйықтық жылдамдығына, құбырдың диаметріне,
сұйықтықтың тығыздығына және тұтқырлығына тәуелді болады.
Сұйықтықтың жылдамдығы мен құбыр диаметрі үлкен, ал тұтқырлығы азғантай
болса, ламинарлы қозғалыс турбулентті қозғалысқа оңай ауысады.
Рейнольдс аталған шамаларды өлшем бірлігі жоқ комплекске біріктіріп,
сұйықтықтың қозғалыс түрін сипаттайтын шаманы анықтады. Оны Рейнольдс (Re)
ұқсастық саны деп атайды.
(1.1)

6.

Сұйықтықтың құбыр арқылы қозғалысында Re≤2300 болса, онда қозғалыс
режимі ламинарлы, ал егер Re≥ 2300 болса, онда режим турбулентті болады.
Re>10000 болса, онда орныққан турбулентті режим қалыптасады. Re=2300÷10000
аралығында болса, онда қозғалыс режимі ауыспалы кезең аймағында болады.
Сұйықтықтардың қөлденең қимасы дөңгелек емес құбырлар мен каналдар үшін
Рейнольдс ұқсастық санын анықтайтын өрнектегі диаметр орнына эквивалентті
диаметрдің шамасын қояды. Эквивалентті диаметр анықталады:
(1.2)
мұндағы
Гидравликалық радиус ағыстың көлденең қимасы ауданының ағыспен
суландырылатын периметрге қатынасына тең. Эквивалентті диаметр
эмпирикалық ұғымды білдіреді, яғни оны тек практика жүзінде анықтауға
болады.