Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

• 1. Два комплексных числа
z1 a1 b1i
и
z 2 a2 b2 i
• равны тогда и только тогда, когда
a1 a2 и
b1 b2
,
• т.е. когда равны и действительные и
мнимые части комплексных чисел.

2. Замечание

• Понятия
• «больше»,
• «меньше»
• для комплексных чисел не определяются.
• Записи
i 0 , 1 i 2
• и им подобные лишены всякого смысла.

3.

• Формула сложения комплексных чисел в
новых обозначениях записывается так:
• z1 z 2 a1 b1i a2 b2 i a1 a2 b1 b2 i
.
(1)
• Она дает правило сложения комплексных
чисел в алгебраической форме.

4.

• Умножение комплексных чисел, заданных в
алгебраической форме, производится
следующим образом:
• z1 z 2 a1 b1i a2 b2 i a1a2 b1b2 a1b2 a2 b1 i . (2)

5.

• Положив в этой формуле
a1 a2 0
,
b1 b2 1
,
• получим важное соотношение
i i 1

6.

• или, применяя для произведения
i i
• сокращенное обозначение
i i i ,
2
• имеем:
i 2 1
.

7. Пример 1.

• Найти сумму и произведение комплексных
чисел
z1 a bi
и
z 2 a bi
.
• Решение.
• z1 z 2 a bi a bi 2a
,
2
2
2
z
z
a
bi
a
bi
a
abi
abi
bi
a
b
• 1 2
.
2

8. Определение 1.

• Комплексное число
a bi
• называется сопряженным к числу
z a bi
• и обозначается
z
.

9. Утверждение.

• Для любых комплексных чисел
• имеют место равенства:
• 1)
z z
• 2)
z z1 z z1
,
• 3)
z z1 z z1
,
• 4)
z
1
z
,
1
.
• Все равенства доказываются
непосредственной проверкой.
z, z1

10.

• Деление комплексных чисел в
алгебраической форме производится
согласно следующей формуле:
z 2 a2 b2 i a1a2 b1b2 a1b2 a2 b1
i
2
2
2
2
z1 a1 b1i
a1 b1
a1 b1
.

11.

• Произведем преобразование
• другим способом.
z2
z1
• Умножим числитель и знаменатель на
z1
,
• получим:
z 2 z 2 z1 a2 b2i a1 b1i a1a2 b1b2 a1b2 a2b1
2
i
2
2
2
z1 z1 z1 a1 b1i a1 b1i
a1 b1
a1 b1

12.

• Другими словами, чтобы найти частное
двух комплексных чисел надо
• числитель и знаменатель
• умножить на число, сопряженное к
знаменателю.

13. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

• Возьмем на плоскости декартову систему
координат XOY и изобразим комплексное
число z a bi
• точкой плоскости с координатами
φ
a, b

14.

• В итоге комплексному числу
z
• будет сопоставлена точка М плоскости.
• Соответствие между комплексными
числами и точками координатной
плоскости XOY биективно, поэтому иногда
множество комплексных чисел
отождествляют с множеством точек
координатной плоскости.

15. Определение 2.

• Расстояние от точки О координатной
плоскости XOY до точки М,
изображающей комплексное число z ,
• называют модулем числа z
• и обозначают в виде z .

16. Определение 2.

• Наименьший угол, на который нужно
повернуть ось ОХ против часовой стрелки
z
до совпадения ее направления с
• направлением вектора ОМ, называется
аргументом числа
z 0
• и обозначается в виде Argz .
• Для
z 0
• аргумент не определяется.

17. Определение 2.

φ
• Непосредственно из рисунка видно, что
модуль числа z a bi
• находится по формуле:
z r a 2 b2

18.

• Аргумент числа
z a bi
• определяется из формулы
b
tg
a
• при
• a 0 ;

19.

Argz определяется неоднозначно,
• а с точностью до слагаемого, кратного 2 :
Argz arg z 2k ,
k 0, 1, 2, ...
arg z
• где
• есть главное значение Argz ,
• определяемое условиями
arg z

20.

b
arctg ,
a
arctg b ,
a
b
arg z arctg ,
a
,
2
,
2
если x 0,
если x 0, y 0,
если x 0, y 0,
если x 0, y 0,
если x 0, y 0.

21.

• Из изображения комплексного числа
φ
• следует, что
• a r cos
,
b r sin ,
• и, следовательно,
z a bi r cos ir sin r cos i sin .

22.

• Запись комплексного числа в виде
z r cos i sin
• называется тригонометрической формой
комплексного числа.

23. Теорема

• Для любых комплексных чисел
• z1 r1 cos 1 i sin 1
и
z2 r2 cos 2 i sin 2
• справедливы равенства:
• 1) z1 z2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2 ;
• 2) z1n r1n cos n 1 i sin n 1 , n N .

24. Теорема

• Если
z2 0
,
• то справедливо равенство:
• 3)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z 2 r2
.
• Доказательство равенств провести в
качестве упражнений.

25.

• Формула
z r cos n i sin n
n
n
• называется формулой Муавра
• в честь английского математика
• А. де Муавра (1667 – 1754).

26.

• Наряду с этой формулой им же была
выведена и формула извлечения корня
степени из комплексного числа ,
z r cos i sin
• т. е. формула нахождения всех корней
уравнения
x z
n
• относительно неизвестного x.

27.

• Пусть
n
z cos i sin
• возведем обе части равенства в степень n
• и, воспользовавшись, формулой Муавра
получим:
• cos n i sin n r cos i sin
n
.

28.

• В силу равенства двух комплексных чисел
получаем равенства:
r
n
и
n 2 k
• или
n r и
2 k
n

29.

• где k – некоторое целое число,
n
r - арифметический корень из
действительного неотрицательного числа
r.

30.

• Таким образом,
n
2 k
2 k
z n r cos
i sin
,
n
n
• причем
• k 0, 1, 2, ..., n 1 .
k Z
,

31. Пример.

• Найти все значения корня
3
2 2.i
• Имеем в тригонометрической форме число
2 2i 8 cos i sin
4
4
• Согласно формуле
• 2 2i
3
3
2 k
2 k
6
8 cos 4
i sin 4
3
3
k 0, 1, 2
.
2
2
8 cos k i sin k
12 3
12 3
,

32.

• Получим три значения:
z 0 8 cos i sin 2 cos15 i sin 15
;
12
12
2
2
z1 6 8 cos i sin 2 cos135 i sin 135 ;
12 3
12 3
4
4
z 2 6 8 cos i sin 2 cos 255 i sin 255 .
12 3
12 3
6

33.

• Переведем комплексное число, записанное в
тригонометрической форме
в алгебраическую форму.
cos15 cos 45 30 cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3
2 1
6 2
2 2
2 2
4
;

34.

sin 15 sin 45 30 sin 45 cos 30 cos 45 sin 30
2 3
2 1
6 2
;
2 2
2 2
4
2
• cos135 cos 90 45 sin 45
;
2
2
• sin 135 sin 90 45 cos 45
;
2
• cos 255 cos 270 15 sin 15
6 2
2
6 2
sin 255 sin 270 15 cos15
2
.
;

35. Поэтому

6 2
6 2
3 1
3 1
z0 2
i
i
4
4
2
2
2
2
1 i
z1 2
i
2
2
6 2
6 2
3 1
3 1
z 2 2
i
i
4
4
2
2

36.

• Применение формулы Муавра к
преобразованиям тригонометрических
выражений.

37. Пример

• Выразить
• через
tg 5
tg
• Имеем соотношение
• cos 5 i sin 5 cos i sin 5

38.

• Возведя правую часть в 5-ую степень,
получим
cos 5 i sin 5 cos 5 5i cos 4 sin
10 cos 3 sin 2 10i cos 2 sin 3
5 cos sin 4 i sin 5

39.

• пользуемся тем, что
i 2 1
i 3 i
i4 1
i5 i

40.

• Из равенства чисел, получим
cos 5 cos 10 cos sin 5 cos sin
5
3
2
4
sin 5 5 cos sin 10 cos sin sin
4
2
3
5

41.

• откуда
5 cos 4 sin 10 cos 2 sin 3 sin 5
tg5
5
3
2
4
cos 10 cos sin 5 cos sin
5tg 10tg 3 tg 5
1 10tg 2 5tg 4
• мы поделили числитель и знаменатель на
cos 5

42.

• В качестве упражнения преобразовать в
сумму
B sin sin 2 ... sin n