Осевое растяжение сжатие. Лекция 3

Растяжение – сжатие такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N , а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, крутящие и изгибающие моменты) равны 0.

Рисунок 3.

1 а)б) 3.1 Понятие осевого растяжения (сжатия) 3.1.1 Внутренние усилия Внутренние усилия в любом сечении стержня определяются методом сечений.

Брус рассекают воображаемой плоскостью, перпендикулярной его оси, мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей, а ее действие на оставшуюся часть заменяют неизвестной силой N (рис.3.2).

После этого составляют единственное уравнение равновесия оставшейся части ΣZ =0, из которого и определяют значение N.

Рисунок 3.

2 Например, растяжение возникает в тросе любого подъемника (рис.3.1,а), в буксировочном тросе – при буксировке автомобиля, сжатие возникает в сооружении башенного типа (рис.3.1,б) под действием собственного веса, в колоннах, поддерживающих перекрытия и др.

3.2.

Правило знаков при определении внутренних усилий Продольная силаN в поперечном сечении прямого бруса численно равна алгебраической сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения.

СилуN принято считать положительной , если равнодействующая F внешних сил, действующих на рассматриваемую часть, растягивает стержень (рис.3.3,а).

В противном случае (при сжатии ) сила N считается отрицательной (рис.3.3,б).

а)б) Рисунок 3.3 В тех случаях, когда значения продольной силы в различных сечениях бруса неодинаковы, строят эпюру продольной силы, которая представляет собой график изменения силы N по длине бруса .

Эпюра необходима для расчета бруса на прочность.

Она позволяет быстро находить опасные сечения, где продольная сила достигает наибольших значений.

Задача №1.

Построить эпюру продольных сил (эпюру N) для стержня (рис.3.4,а), нагруженного в сечениях А,В,С сосредоточенными силами F1 = 2кН, F2 =5кН, F3 =3кН, направленными вдоль его оси.F2F3F1 Решение1.

Разделим стержень на участки (рис.3.4,а): 1 участок – ( 0 < z1 > а ) – участок АВ 2 участок – ( а < z2 > а + b) - участок ВСаb 1-й участок 2-й участокz1z2.

Определим продольную силуN1 в сеченииZ1 Для этого мысленно разрежем стержень по сечению z1 (рис.3.4,б).Составим уравнение равновесия:F1N1z3.

Определим продольную силуN2 в сеченииZ2..

Из равновесия левой части стержня (рис.3.4,в):N2- F1+ F2=0N2= F1- F2 = 2- 5 = - 3кН - СжатиеF1F2N2zF3N2zА АВВС Эпюра N, кН-µN 1см =2кН3 32+- База эпюрыа)б)в)4.

Аналогичный результат получим, рассматривая равновесия правой части стержня (рис.3.4,г)N2+F3=0N2 = -F3 = - 3кН - Сжатиег)д) Рисунок 3.45.

Построим эпюру N – эпюру продольных сил в масштабе µN (рис.3.4,д).N1- F1=0;N1= F1 = 2кН- Растяжение Заметим, что в сечениях А,В,С на эпюре получились разрывы, равные соответственно 2кН, 5кН и 3кН, т.

е.

равные тем силам, кот.

приложены к стержню в этих сечениях.

Из эпюры следует, что опасной является силаN2 =3кНС 3.3 Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса Отсутствие поперечных сил дает основание предположить, что касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса при осевом растяжении (сжатии) равны нулю.

Рассмотрим брус, работающий на осевое растяжение.

Для изучения картины деформации на его поверхность нанесем сетку из продольных и поперечных линий (рис.3.5).

Рисунок 3.5 После нагружения бруса поперечные линии остаются прямыми и перпендикулярными продольным линиям (продольной оси) бруса.

Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я.

Бернулли: сечения бруса, плоские и перпендикулярные его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации.

Представим брус условно состоящим из продольных материальных элементов бесконечно малого поперечного сечения.

Эти элементы будем называть волокнами.

Рисунок 3.

6 Согласно гипотезе плоских сечений, все волокна в рассматриваемом случае получают одинаковую деформацию.

Так как материал предполагается однородным, то одинаковым деформациям будут соответствовать одинаковые напряжения.

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса распределены равномерно (σ=const) и равны:AN=σ (3.1) гдеN -продольная сила в поперечном сечении;А - площадь поперечного сечения.

Знак нормальных напряжений: при растяжении – «плюс», при сжатии – «минус».

3.4 Деформации.

Закон Гука при растяжении (сжатии) Экспериментально установлено, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются (рис.

3.6).

При действии сжимающих сил происходит обратное явление - длина бруса уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются.

На рис.3.6 ℓ и b – продольный и поперечный размеры стержня до приложения силы F, аℓ/ и b/ размеры стержня, нагруженного силой F.

Увеличение длины бруса называется абсолютным удлинением, а уменьшение ее – абсолютным укорочением.

Обозначаются они - Δℓи измеряются в см, мм.

Величина Δ ℓ, зависящая от длины ℓ бруса, не дает общего представления о значительности продольной деформации.

Поэтому за характеристику деформаций растяжения и сжатия принимается величина относительной деформации.

ε = Δ ℓ /ℓ (3.2) Относительным удлинением или укорочением называется отношение величины абсолютного удлинения или укорочения к первоначальной длине бруса: Из ф-лы (3.3) следует, что величинаε- безразмерная.

Δℓ= ℓ/ - ℓ Абсолютное удлинение стержня (3.3) Относительное сужение (расширение) или поперечная деформация ε‘ = b'- b / b(3.4) Наблюдения за поведением твердых тел показали, что в большинстве случаев до определенных пределов нагружения деформации пропорциональны приложенным нагрузкам .

Впервые эта закономерность была высказана Р.

Гуком в 1660 г.

В дальнейшем это выражение было выражено математической зависимостью и получило название закона Гука: т.е.

удлинение стержня Δℓ пропорционально внешней силеF , длине стержняℓ , и обратно пропорционально площади поперечного сечения стержняА и модулю упругостиЕ.

(3.5) Величина ЕА в формуле (3.5) – жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Применительно к внутреннему усилию при осевом растяжении (сжатии): (3.6 ) где N – внутреннее усилие, (продольная сила) Окончательно Закон Гука можно сформулировать следующим образом: удлинение стержня прямо пропорционально продольной силе, его длине и обратно пропорционально жесткости (справедливо в пределах упругих деформаций).

Модуль упругости материала (модуль Юнга) имеет размерность напряжения.

Средние величины модуля Е для различных материалов приведены в справочной литературе.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и деформацией.

С учетом выражений (3.1) и (3.3) закон Гука при растяжении (сжатии) можно записать: σ =ε Е (3.7 ) Нормальные напряжения при растяжении (сжатии) прямо пропорциональны деформации.

Между поперечной и продольной деформациями при осевом растяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоянное отношение.

Абсолютная величина этого отношения называется коэффициентом Пуассона, обозначается -µ и характеризует упругие свойства материала: (3.8 ) Коэффициент Пуассона величина безразмерная и изменяется в пределах 0<µ <0,5 Учитывая, что продольная и поперечная деформации всегда имеют противоположные знаки, связь между ними выглядит следующим образом:ε/ = - με (3.9 ) При растяжении (сжатии) поперечные сечения бруса перемещаются в продольном направлении.

Перемещение является следствием деформации, но эти два понятия необходимо четко разграничивать.

Рисунок 3.7 Так, на рис.3.7,в,г деформируется (растягивается) только верхняя часть бруса, а нижняя перемещается как абсолютно твердое тело вниз на размер удлинения верхней части.

В случае, изображенном на рис.3.7,а,б, деформируется весь брус, поэтому перемещение любого его сечения совпадает с удлинением соответствующей части бруса.

Рисунок 3.8 Размеры и форма образца устанавливается ГОСТ 1497-84 3.5 Механические испытания материалов При проектировании и расчетах на прочность и жесткость необходимо знать свойства материалов, сведения о которых можно получить путем механических испытаний на растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

Для того чтобы результаты испытания одного и того же материала в разных лабораториях были сравнимы, образцы должны иметь стандартную форму и размеры.

Наиболее распространенным являются образцы цилиндрической формы (рис.3.8,а) или плоские прямоугольного поперечного сечения (рис.3.8,б).

Наиболее распространенным видом испытаний является испытание на растяжение.

Этому испытанию подвергаются небольшие образцы из исследуемого материала (рис.3.9) Рисунок 3.9 Испытание на растяжение проводят на специальных разрывных или универсальных машинах (головки образца закрепляют в захватах), создающих постепенно возрастающую нагрузку на образец.

Машины снабжены устройством для автоматической записи диаграммы растяжений , т.е.

графика зависимости между растягивающей силой F и удлинением образцаΔ ℓ.

Характер диаграммы растяжения зависит от свойств испытуемого материала, и значит для различных материалов диаграммы F(Δℓ) могут значительно отличаться друг от друга.

При изучении свойств материала удобнее пользоваться диаграммой растяжения в координатахσ и ε , где: (3.10) Этот график н6азывается диаграммой напряжений .

Для низкоуглеродистой строительной стали марки Ст3 он имеет вид, представленный на рис.3.10 Рисунок 3.10 Участок ОА– участок диаграммы на котором зависимость междуσиε носит линейный характер, что подтверждает справедливость закона Гука.

Наибольшее напряжение, до которого соблюдается этот закон (точка А) называется пределом пропорциональности -σpr.

Для указанной сталиσpr =195…200МПа.

Рисунок 3.10 Напряжение, соответствующее наибольшей деформации, которая полностью исчезает после разгрузки (точкаТ на диаграмме), называется пределом упругостиσе (старое обозначение σу).

Для Ст3 он составляет 205…210 МПа.

Участок АВ– участок упругости, когда в образце начинает появляться пластическая деформация до 0,05%.

На этом участке прямая пропорциональность между σ и ε нарушена и деформации растут быстрее напряжений.

Участок ВС представляет собой горизонтальную линию.

На этом участке деформации растут даже без увеличения нагрузки и материал, как говорят, «течет».

Участок диаграммы ВС называется площадкой текучести , а напряжение, соответствующее точкеВ – пределом текучести материала и обозначается σу( старое обозначение σт).

Предел текучести для стали Ст3 равен 215…255 МПа.

Участок СД соответствует зоне упрочнения.

Подъем диаграммы на этом участке показывает, что для дальнейшего деформирования образца необходимо увеличивать нагрузку.

ТочкаД диаграммы выражает наибольшее значение нагрузки на образец.

Напряжение, соответствующее этой точке, наз.

пределом прочности и обозначается σ и (с тарое обозначение σв).

Для стали Ст3 предел прочности – 345…390 МПа Участок ДК – участок образования шейки (зона местной текучести).

После точки Д в наиболее слабом месте образца начинает появляться местное сужение шейки (рис.3.11).

Рисунок 3.11А ист - площадь поперечного сечения образца в момент действия нагрузкиF Деформирование образца в дальнейшем происходит в основном только в месте образования шейки.

Площадь шейки быстро уменьшается, поэтому для дальнейшего деформирования образца требуется все меньшая и меньшая нагрузка.

И, наконец, при нагрузке, соответствующей точке К , происходит разрыв образца.

Диаграмму σ(ε) называют диаграммой условных напряжений.

Значения истинных напряжений определяются формулой: 3.6 Механические характеристики материала (3.11)1.

Предел пропорциональности σpr – наибольшее напряжение, при котором справедлив закон Гука: 2.

Предел текучести σу – напряжение, при котором деформации растут при постоянной нагрузке: (3.12) (3.13) 3.

Предел прочности σи – это отношение максимальной силы, которую выдерживает образец при испытании к начальной площади поперечного сечения образца (напряжение, вызванное наибольшей нагрузкой, предшествующей разрыву образца):4.

Пределом упругости σе называется напряжение, при котором образец получает весьма малую остаточную деформацию (порядка 0,001% - 0,005%