Признаки параллелограмма

1.

2.

Повторение
Параллелограммом называется четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно
параллельны.
В
А
С
D
АВIIDС, ADIIBC

3.

В
С
А
D
В
10. В параллелограмме
противоположные
стороны равны и
противоположные углы
равны.
С
20. Диагонали
параллелограмма
точкой пересечения
делятся пополам.
О
А
Свойства
параллелограмма
D

4.

Тренировочные задания на готовых чертежах.
Сколько параллелограммов можно увидеть на чертеже?
d
e
f
a
b
c
a II b,
b II c,
d II e,
e II f

5.

Точки М и Т лежат на противоположных сторонах
параллелограмма так, что точка О пересечения
диагоналей параллелограмма лежит на отрезке МТ.
Сколько процентов составляет длина отрезка МТ от
длины отрезка ОМ?
В
С
О
Т
М
А
D
Ответ: длина отрезка МТ составляет 200% от
длины отрезка МО.

6.

В
3
А
С
1
4
2
D
Дано: ABCD
четырехугольник
1 = 2, 3 = 4
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
1= 2.
Это НЛУ при прямых ВС и АD и секущей ВD.
Значит, BCIIAD.
3= 4.
Это НЛУ при прямых AB и DC и секущей AC.
Значит, АВIIСD.
Четырехугольник – параллелограмм по определению.

7.

В
1
А
3
4
С Дано: ABCD
2
D
четырехугольник
АD=ВС, АВ=СD.
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
АВС = СDА по третьему признаку равенства
треугольников
1= 2.
Это НЛУ при прямых АВ и СD и секущей АС.
Значит, АВIIСD.
3= 4.
Это НЛУ при прямых AD и BC и секущей AC.
Значит, АDIIBC.
Четырехугольник – параллелограмм по определению.

8.

Признаки параллелограмма
10. Если в четырехугольнике две стороны равны и
параллельны, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
Дано: АВ=СD, АВIICD.
В
С Доказать: АВСD –
параллелограмм.
Доказательство:
Построим диагональ АС.
1) АС – общая сторона
2) АВ=СD, по условию
А
D
3) ВАС = АСD, НЛУ при АВIIСD и секущей АС
АВС = СDА по двум сторонам и углу между ними
ВСА= САD. Это НЛУ при прямых ВС и АD и
секущей АС. Значит, ВСIIAD.
Четырехугольник – параллелограмм по определению.

9.

Дано: ABCD четырехугольник, АВ = СD,
B = 700,
ВСА = 600,
АСD =500.
Доказать: ВС = АD
С
600
D
500
700
В
А

10.

Дано: ABCD параллелограмм, точки М и N – середины
сторон АD и ВС
М
В
А
С Доказать: АМСN –
параллелограмм.
N
D

11.

Дано: ABCD параллелограмм, точки К, L, M, N –
середины сторон АВ, ВС, СD, DN.
Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках
пересечения прямых АL, BM, CN и DК – параллелограмм.
L
В
С
К
М
А
N
D

12.

Признаки параллелограмма
20. Если в четырехугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
Дано: АВ=СD, ВС=АD.
В
С Доказать: АВСD –
параллелограмм.
Доказательство:
Построим диагональ АС.
АС – общая сторона
АВ=СD, по условию
А
D
ВС=АD, по условию
АВС = СDА по трем сторонам
ВАС= АСD. Это НЛУ при прямых АВ и СD и
секущей АС.
Значит, АВIIСD.
АВ=СD, по условию.
Четырехугольник – параллелограмм по признаку 10.

13.

Доказать: ВРСА - параллелограмм
Р
С
В
650
М
500
А
К

14.

Дано: ABCD параллелограмм, ВЕ = DF.
Доказать: AECF– параллелограмм.
В
А
Е
F
С
D

15.

Дано: ABCD параллелограмм,
ВАМ = DCN
Доказать: AMCN– параллелограмм.
В
А
М
N
С
D

16.

30. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются
и точкой пересечения делятся пополам, то этот
четырехугольник – параллелограмм.
Дано: АС ВD О, О середина АС и ВD.
В
А
С Доказать: АВСD –
параллелограмм.
О
Доказательство:
АО=ОС, по условию
ВО=ОD, по условию
АОВ= СОD, как
D
вертикальные
АОВ = СОD по первому признаку
Отсюда, АВ=СD
ВАО= ОСD. Это НЛУ при прямых АВ и СD и
секущей АС. Значит, АВIIСD.
Четырехугольник – параллелограмм по признаку 10.

17.

Дано: в треугольнике АВС медиана АМ
продолжена за точку М до точки D на
расстояние, равное АМ, так, что АМ=МD.
А
С
Доказать: АВDC –
параллелограмм.
В
М
D

18.

Дано: ABCD параллелограмм,
АА1=СС1,
ВВ1 = DD1.
Доказать, что А1В1С1D1 – параллелограмм.
В
С
B1
C1
О
A1
А
D1
D

19.

Дано: ABCD параллелограмм,
АА1=СС1,
ВВ1 = DD1.
Доказать, что А1В1С1D1 – параллелограмм.
B1
С
В
О
C1
A1
А
D
D1

20.

Тренировочные задания на готовых чертежах.
В
1
4
3
А
2
Дано: ABCD
четырехугольник
С
1 = 2, 3 = 4
D
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
Докажите
По определению
параллелограмма
АВС = СDА по второму признаку равенства
треугольников
По признаку 10
По признаку 20

21.

В
Дано: ABCD
четырехугольник
С
1 = 2,
АD = BC
1
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
А
2
D
Выполните доказательство разными способами
По признаку 10
По признаку 20
По определению параллелограмма

22.

Дано: ABCD
четырехугольник
С
АВС = СDA
В
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
А
D
Выполните доказательство разными способами
По признаку 10
По признаку 20
По определению параллелограмма

23.

Дано: ABCD
четырехугольник
С
ВО = ОD, СО = ОА
В
О
А
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
D
Выполните доказательство разными способами
По признаку 10
По признаку 20
По признаку 30
По определению параллелограмма

24.

В
2
О
А
1
Дано: ABCD
четырехугольник
С
1 = 2; СО = ОА
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
D
Выполните доказательство разными способами
По признаку 10
По признаку 30

25.

В
1
Дано: ABCD
четырехугольник
С
1 = 2; СО = ОА
О
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
2
А
D
Выполните доказательство разными способами
По признаку 10
По признаку 30

26.

Дано: АВСD параллелограмм.
Длина одной из сторон
составляет 80% от длины
другой стороны.
Полупериметр равен 18 см.
Найти: длину меньшей стороны
этого параллелограмма, если
х
В
Дано: ABCD
четырехугольник
ВО = ОD, СО = ОА
Доказать: АВСD –
параллелограмм.
В
С
С
О
0,8х
А
D
х + 0,8х = 18
1,8х = 18 :1,8
х = 10
А
D

27.

№ 383
Дано: ABCD параллелограмм, BD – диагональ, BP=QD.
Доказать, что АPCQ – параллелограмм.
В
С
Р
О
Q
А
D