Подобие физических явлений. Основы теории подобия. Примеры применения теории подобия для выбора условий испытаний моделей

1.

Лекция 3. Подобие физических явлений. Основы теории
подобия. Примеры применения теории подобия для выбора
условий испытаний и параметров моделей
Дополнительная литература по теме:
1. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике /
В.С. Авдуевский, Б.М. Галицейский, Г.А. Глебов и др. М.: Машиностроение, 1992. 528 c.
2. Шаповалов Л.А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. М.:
Машиностроение, 1990. 288 с.
3. Михеев М.А., Михеева И.М. М.: Энергия, 1977. 344 с.

2.

Геометрическое подобие и подобие физических величин
AB AC BC
n
ab
ac
bc
константы подобия
d / L/
d // L//
C1 ;
C2 .
d
L
d
L
d d / d //
i.
L L/ L//
C1 C2 .
инвариант подобия
x / / x y / / y C1 ; x // / x y // / y C2
u/a u/b
u // a u // b
Cu1
; Cu 2
;
ua
ub
ua
ub
Cu1 Cu 2 ; C 1 C 2 .
/a /b
// a // b
C 1
; C 2
.
a
b
a
b
ub u / b u // b
b / b // b
iu
; i
.
ua u / a u // a
a / a // a
1

3.

Теоремы подобия
1. К первой теореме подобия (примеры):
Re idem; Pr idem...
Безразмерные комплексы,
образованные из размерных величин
Определяемые величины
(температура, перепад температур)
Определяющие величины
( продолжительность нагрева, геометрические
размеры, физические свойства)
2. Ко второй теореме подобия (пример):
Nu f (Re, Pr, Gr...)
Условия однозначности
Геометрические свойства
Физические свойства
(форма и размеры тел) (характеристики материалов)
Краевые условия
(НУ, ГУ)
3. К третьей теореме подобия: подобие = условия однозначности + критерии подобия
2

4.

Условия полного подобия модели реальному объекту
1. Процессы в модели и образце относятся к одному
классу явлений.
2. Эти процессы описываются одними и теми же
уравнениями.
3. Соблюдается геометрическое подобие.
4. Краевые условия одинаковы.
5. Определяющие критерии подобия численно равны.
3

5.

Методы исследования сложных явлений на моделях
1. Теоретический анализ, на основании которого устанавливаются
физические величины, характеризующие рассматриваемое явление.
2. Составление условий однозначности и формулировка уравнений связи.
3. Выявление критериев подобия, выделение среди них определяемого
(который содержит искомую величину).
4. Проведение эксперимента и измерение величин, входящих в
установленные критерии подобия.
5. Обработка опытных данных, получение зависимости определяемого
критерия от определяющих (в критериальной форме). Найденная
зависимость может быть аппроксимирована в виде эмпирического
уравнения (критериального) с указанием пределов его применимости.
а) Метод анализа размерности.
б) Метод масштабных преобразований уравнений теплообмена в
прототипе и модели.
4

6.

Метод анализа размерности (алгебраический метод Рэлея)
[a ] P Q R S , где PQRS система единиц измерения
Пусть размерности N величин выражаются через K размерностей
основных единиц размерности (K<N)
( F , l , m) ? (1)
F l m Const (1а)
[ ] м с 1 ; [l ] м; [m ] кг; [ F ] кг м с 2 ( 2)
N 4; K 3; N K 1
м с 1 кг м с 2 м кг Const м0 с 0 кг 0 (3)
м1 с 1 2 кг м0 с 0 кг 0 (3а)
[ м] : 1 0
1
1
1
( 4)
[с] : 1 2 0 ; ;
2
2
2
[кг] : 0
F l
Const
(5)
m
Const - экспериментально
5

7.

Метод анализа размерности (продолжение)
Рассмотрим задачу о теплообмене при стационарном турбулентном течении
кг
теплоносителя (газа или жидкости) в трубе. N K 7 4 3
w u; [ w] 2
Дж
м
кг
Дж
Дж
кг
[ ] 2
; [u ] ; [ ] 3 ; [ c ]
; [ ]
; [ ]
; [ D ] м.
м К с
c
м
кг К
м К с
с м
f ( w, c, , , D)
кг м 2
[ Дж ]
с2
м с
C wx1c x 2 x 3 x 4 D x 5 , где C безразмерный коэффициент
x1
x2
x3
x4
Дж
кг Дж Дж кг
x5
С
(
м
)
2
м2 К с
м с кг К м К с с м
[ кг] : 0 x1 x 2 x 4,
[ м] : 2 2 x1 x 3 x 4 x5,
[с ] : 1 x1 x 3 x 4,
[ Дж ] : 1 x 2 x 3,
[ К ] : 1 x 2 x 3,
x 3 1 x 2, x 4 x 2 x1, x5 x1 1.
D
число Нуссельта;
w D u D
Re
число Рейнольдса;
c
Pr
число Прандтля.
Nu
C w x1c x 2 1 x 2 x 2 x1 D x1 1
w D c
D
C
1
x1
x2
Nu C Rea Prb
Константы C, a, b находятся при проведении
экспериментов. Так для цилиндрической трубы:
Nu 0,023 Re 0,8 Pr 0, 33
6

8.

Метод масштабных преобразований уравнений теплообмена
в прототипе и модели
Пример: уравнение стационарного конвективного теплообмена.
q
T
y
, где – q –тепловой поток в стенку; q T , q – коэф-т теплоотдачи.
ст
Рассмотрим две подобные в тепловом отношении системы (подобны тепловые
потоки). Соблюдается также геометрическое и гидродинамическое подобие.
T1
(
T
)
,
1
1
1
y
2 ( T ) 2 2 T2 ,
y 2
C
2
( T ) 2
y
; CT
; C y 2 ; C 2 .
1
( T )1
y1
1
C C y
C CT T1
C CT
C CT 1 ( T )1
1
C CT
1.
Cy
y
Cy
C
1 y1 2 y2
idem Nu.
1
2
Получили критерий подобия рассматриваемого процесса – число Нуссельта.
7

9.

Плоская поверхность твердого тела омывается жидкой или газообразной средой.
Добавятся уравнения энергии, движения и неразрывности. Аналогично слайду 7.
Из уравнения энергии:
T
T
T
C T C C T
T Ca CT
2T 2T
u
v
a 2 2 T u T u
v
2
t
x
y
x
y
C
t
C
x
y
Cl
t
l
2T
2T
a x 2 a y 2 .
C a Ct
Cu Cl
CT Cu CT Ca CT
1
;
1
2
2
Ct
Cl
Ca
Cl
Cl
at
ul
критерий
Фурье
;
Pe
критерий Пекле
l2
a
Из уравнения движения (например, проекция на OX):
Fo
u
u
p
u
2u 2u
OX :
u v g x
2 2
t
x
y
x
y
x
C
C u C C u
u
C u u u v C C g g x
Ct t
Cl x
y
Cl
2
2
2
2u
p C Cu u
2 2
2
x
y
C
x
l
2
C Cu C Cu
C Cu
ut
u2
Sh критерий Струхаля;
C C g Fr критерий Фруда;
Ct
Cl
l
Cl
gl
C Cu
C
CC
CC
ul
Eu 2 критерий Эйлера; u 2 u Re
критерий Рейнольдса
Cl
Cl g
u
Cl
Cl
2
2
8

10.

Основные критерии подобия
Гидродинамические критерии подобия
Число Рейнольдса
(Re)
Определяет соотношение между силами инерции и силами
трения в потоке
Число Эйлера
(Eu)
Характеризует соотношение сил давления и сил инерции в
потоке
Число Фруда
(Fr)
Характеризует отношение сил инерции и тяжести в потоке
Число Струхаля
(Sh)
Характеризует отношение времени к периоду релаксации
потока
Тепловые критерии подобия
Число Нуссельта
(Nu)
Характеризует отношение интенсивностей конвективного и
кондуктивного переноса тепла
Число Прандтля
(Pr)
Является критерием подобия температурного и скоростного
полей, а также характеризует свойства теплоносителя
Число Фурье
(Fr)
Характеризует отношение времени к периоду релаксации
поля температур в теле
Число Пекле
(Pe)
Характеризует соотношение между конвективным и
молекулярным переносом теплоты в потоке
9

11.

Обобщение опытных данных на основе теории подобия
1. Какие величины нужно измерять в опыте? – Все величины,
содержащиеся в числах подобия изучаемого процесса (1
теорема).
2. Как обрабатывать результаты опыта? – Результаты опыта
следует обрабатывать в числах подобия и зависимость между
ними представлять в виде
Уравнений подобия. Это позволит найти общую закономерность,
справедливую
для всех процессов, подобных изучаемому (2 теорема).
3. Какие явления подобны изучаемому? – Подобны те явления, у
которых подобны условия однозначности и равны определяющие
числа подобия (3 теорема).
10

12.

Например, располагая данными измерений коэффициента
теплоотдачи при вынужденном движении воздуха, по опытным
данным можно получить графическую зависимость от скорости:
f ( ) c1 n , где c1 и n постоянные
Справедливо лишь для частного случая! Для того, чтобы
результаты опытов можно было распространить на все
подобные процессы, обработка результатов опытов должна
производиться в числах подобия.
Так, для воздуха Pr=0,7. Можно записать уравнение подобия:
Nu f (Re) или l f ( l / )
Nu C Re a
Обобщенная формула позволяет установить, какое влияние на
коэффициент теплоотдачи оказывают такие величины, как
геометрический размер, к-т вязкости среды без проведения
дополнительных измерений. И для всех подобных процессов!
11