Основы теории подобия

1. ТЕПЛОМАССООБМЕН

Основы теории подобия
Вопрос 2
2016 год

2.

• Определение коэффициентов:
теплопроводности λ;
лучеиспускание (передача теплоты излучением) αиз;
коэффициента молекулярной диффузии D;
не представляет большой трудности вследствие стабильности
свойств различных материалов и их состояния.
• Определение коэффициентов теплоотдачи αк и массоотдачи
β является трудной задачей.
• Эти коэффициенты зависят от множества трудно
учитываемых факторов: от режима движения жидкости;
от свойств жидкости; от состояния поверхности; от
геометрической формы поверхности и т. п.

3.

• Для определения коэффициентов теплоотдачи αк и
массоотдачи β приходится прибегать к экспериментам на
типичных моделях при определенных условиях.
• Система понятий и законов, обосновывающих
возможность переноса результатов экспериментов с
одного объекта (модели) на другой (реальный),
называется теорией подобия.
• В основе теории подобия лежат следующие
понятия и положения.

4.

• Два физических процесса считаются подобными,
если они подчиняются одним и тем же физическим
законам и все величины 'i , характеризующие один
процесс, могут быть получены путем умножения
однородных с ним величин "i , характеризующих
другой процесс, на постоянные числа Ci, которые
называются константами подобия и одинаковы для
всех однородных величин:
'i Ci "i .
• Константами подобия – отношение однородных
физических величин в сходственных точках
модели и натурного объекта.

5.

• Простейшим случаем подобия двух объектов является
геометрическое подобие.
• Два треугольника
пропорциональны:
подобны,
если
их
стороны
l '1 l '2 l '3
Cl const
l"1 l"2 l"3
• Величина
Cl
называется
геометрического подобия.
константой

6.

• Каждая величина, характеризующая подобные объекты (или
явления), имеет свою константу подобия.
• Для геометрического подобия численное значение
геометрической константы подобия Cl может быть любым.
• Для сложных физических процессов, характеризуемых
многими величинами, взаимно влияющими друг на друга,
значения констант подобия произвольно выбрать нельзя.
Установим условие, ограничивающие выбор констант
подобия С.
Рассмотрим движение жидкости со скоростью ω на пути l за
время τ:
l .

7.

• Для сходственных (т.е. одинаково расположенных) частиц
подобных потоков
' l '
'
и
" l" .
"
• Введем константы подобия:
C
Cl
C
или
C C
Cl
1
Это и есть условие, ограничивающее выбор констант
подобия при рассмотрении сложных физических процессов.

8.

Вместо констант подобия подставим
характеризуемые ими величины.
' ' " "
K idem
l'
l"
l
idem обозначает «одно и тоже» и применяется для того,
чтобы подчеркнуть, что критерии для подобных
явлений должны быть одинаковыми.
• Записанное соотношение безразмерно и в общем
случае отлично от единицы. Данное соотношение
называется критерием подобия.

9.

• Критерия подобия устанавливаются из уравнений,
описывающих подобные процессы путем анализа
размерностей,
с
помощью
масштабных
преобразований и т.д.
• В качестве примера рассмотрим подобие двух
случаев
конвективного
теплообмена
между
жидкостью и плоской стенкой длиной l' и l''.

10.

• Для обоих случаев справедливы уравнения теплопроводности
через пограничный слой δ' и δ'' (закон Фурье)
T
qт
x
• и конвекции в движущейся массе жидкости (закон Ньютона)
qк T
где λ и α – средние значения
теплопроводности и теплоотдачи.
• При стационарном режиме
T
qт qк
T
x
коэффициентов
T
T x

11.

T
T x
–
дифференциальное
уравнение
одномерной, стационарной конвективной
теплоотдачи между жидкостью и стенкой
Произведем анализ размерностей
Отбросим знаки дифференцирования и пологая характерным
размером x = l, получим:
t
t l
l
откуда
idem
• Полученный безразмерный комплекс называется числом
Нуссельта
l
Nu

12.

l
Nu
В критерии Нуссельта под l подразумевается любой линейный
параметр, однозначно определяющий толщину пограничного
слоя (длина пластины, толщина пограничного слоя и т.п.).
• Величины λ и α берутся однозначно, т.е. или в обоих случаях
средние, или отнесенные к каким-то сходственным точкам.
• Основные критерии подобия, применяющиеся при решении
задач теплообмена, и их физический смысл.
• Аналогичные критерии с соответствующей заменой
коэффициентов и потенциалов применяются при решении
задач массоотдачи.

13. Число Рейнольдса

wd
Re
• где ω – скорость потока (м/с); d – эквивалентный
диаметр канала; ν – коэффициент кинематической
вязкости (м2/с).
• Критерий
Рейнольдса
характеризует
гидродинамический режим движения, являясь мерой
отношения сил инерции и вязкости. При малых силах
инерции и больших силах вязкости движение
ламинарное,
в
противоположном
случае
турбулентное.

14. Число Грасгофа

где
p gl t
3
Gr
2
1
p – коэффициент объемного расширения (К-1);
0 T p
p 1 T – для идеального газа; Δt – разность температур в двух
точках системы потока и стенки (К). Если ρж и ρс – плотности
жидкости в двух точках системы, то ж с
1
t
ж
273 t
• Критерий Грасгофа характеризует гидродинамическое
подобие при свободном движении жидкости. Отражает
соотношение между подъемной силой, заставляющей
всплывать нагретые частицы теплоносителя (архимедова сила),
и силой вязкостного трения, препятствующей подъему этих
частиц. Чем Gr выше, тем свободное движение интенсивнее.

15. Число Нуссельта

l
Число Нуссельта Nu
• где α – коэффициент конвективной теплоотдачи
(Вт/м2·К).
• Критерий Нуссельта характеризует отношение
между интенсивностью теплоотдачи и температурным
полем в пограничном слое потока.
• Чем
Nu
выше,
тем
интенсивнее
конвективного теплообмена.
процесс

16. Число Прандтля

Pr
сp
a
• где ср – теплоемкость жидкости при постоянном давлении
(Дж/кг·К);
• λ – коэффициент теплопроводности жидкости;
• a – коэффициент температуропроводности (м2/с).
• Критерий Прандтля характеризует физические свойства
жидкости и способность распространения тепла в жидкости.
Для газов Pr = 0,67÷1,0 и зависит только от атомности;
для жидкостей Pr = 1,0÷2500.

17.

• Критерии, составленные из величин, определяющий характер
процесса, но не включающие искомых величин, называются
определяющими, а критерии, включающие искомые
величины – неопределяющие.
• Определяющими называются величины, заданные в
условиях однозначности физических процессов, являющиеся
независимыми переменными.
• Например, при расчете конвективного теплообмена критерий
Нуссельта Nu является неопределяющим, поскольку в него
входит искомая величина α (коэффициент теплоотдачи).
Критерии Рейнольдса Re и Прандтля Pr в этих расчетах
определяющие.

18.

• Критерий Био (Bi) применяется обычно при исследовании
нестационарного процесса распространения теплоты в
твердом теле, условия взаимодействия которого с
окружающей
средой
(теплоносителя)
известны
(коэффициент теплоотдачи α задается).
• По условию задачи бывают известны также характерный
размер l и коэффициент теплопроводности λ.
Поэтому критерий Био является также определяющим.
• Температура, при которой определяются физические
параметры λ, а, ν и др., входящие в критерии подобия
называется определяющей температурой, а характерный
размер теплоносителя или канала δ, l, d – определяющим
размером.

19.

• Физический процесс полностью описывается некоторой
системой дифференциальных уравнений и присоединенных к
ним краевых условий в том случае, если эта система является
замкнутой, т.е. число уравнений равно числу неизвестных
величин и соблюдено условие единственности решений.
• В таком случае принципиально возможно получить решение
относительно любого из этих неизвестных, т.е. выразить
интеграл рассматриваемой системы уравнений в виде
некоторой функции
yi fi ( x1; x2 ; ...; xn ),
(4)
где yi – искомая неизвестная (зависимая) переменная величина;
xi – независимые переменные, входящие в основную систему
уравнений.

20.

• Для того чтобы выяснить, какие из входящих в
уравнение переменных являются независимыми,
необходимо определить краевые условия протекания
изучаемого процесса – условия однозначности:
1) геометрические условия
координатная система);
(форма
и
размер
тела,
2) физические условия (физические свойства среды и
тела);
3) временные условия, характеризующие
системы в начальный момент времени;
состояние
4) граничные условия, которые определяют условия
взаимодействия системы с окружающей средой.

21.

• Величины, входящие в условие однозначности,
задаются внешним образом по отношению к
основным уравнениям и являются независимыми
переменными, совокупность которых однозначно
определяет протекание данного физического
процесса.
• Все остальные переменные, входящие в основные
уравнения, являются зависимыми переменными.
• Величины xi в формуле (4) составлены из условий
однозначности.

22.

В основе теории подобия лежат следующие
три теоремы подобия
• 1-ая теорема. В сходственных точках подобных процессов
(например, a, b, c, d изображенные на рисунке) одноименные
критерии должны иметь одинаковые значения.

23.

• 2-ая теорема. Определяющие и неопределяющие критерии
подобных процессов связаны между собой уравнением
подобия (критериальным уравнением), которое является
безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой
задачи, справедливым для всех подобных процессов.
• Обозначим через Kо определяющие критерии, а через Kн –
неопределяющие, то критериальное уравнение в общей форме
будет иметь вид:
K нi fi ( K о1; K о 2 ; ...; K оn ).
(5)

24.

• 3-я теорема. Для того, чтобы два процесса были подобны,
необходимо и достаточно, чтобы они были качественно
одинаковы, т.е. их условия однозначности были подобны, а
определяющие критерии в сходственных точках равны.
• Поясним содержание 2-ой и 3-ей теорем.
• Вторая теорема является для практических целей самой
плодотворной.
• Смысл второй теоремы сводится к тому, что можно, не
интегрируя дифференциальные уравнения исследуемых
подобных процессов, получать расчетные формулы, заменяя
эти дифференциальные уравнения критериальными.

25.

• Это особенно выгодно в тех случаях, когда дифференциальное
уравнение не интегрируется.
• Тогда из этих уравнений аналитически определяют критерии
подобия и рассматривают их как новые переменные (каждый
из критериев состоит из нескольких переменных).
• Количество переменных при этом сокращается, что облегчает
исследование.
• Затем между критериями экспериментально устанавливается
функциональная зависимость – критериальное уравнение. Эти
уравнения получаются для строго определенных условий,
поэтому пользоваться ими можно лишь в том диапазоне
изменения определяющих критериев, который имел место в
опытах, т.е. в пределах, ограниченных условиями подобия.

26.

• Например, критериальное уравнение для теплоотдачи внутри
круглых труб при условиях, близких к изотермическим, имеет
вид
Nu 0,023 Re Pr .
0 ,8
• Это уравнение применимо при
и
0,4
(6)
Re 7 10 2 10
3
6
Pr 0,6 100.
Определяющим размером в числах Рейнольдса Re и Нуссельта
Nu является внутренний диаметр трубы, определяющей
температурой – температура потока t1 теплоносителя. В случае,
если температура потока t1 и стенки tст заметно отличаются друг
от друга, величину критерия Nu полученную из формулы (6),
надо умножить на специальную поправку.

27.

• Третья теорема устанавливает условия подобия:
• 1) подобие условий однозначности;
• 2) равенство определяющих критериев подобия
сходственных точках.
в
• Если определяющие критерии одинаковы, то критерии,
составленные из величин, не относящихся к условиям
однозначности, т.е. неопределяющие, тоже будут равны.
• Теория подобия широко используется при моделировании
самых различных процессов и явлений, особенно при
рассмотрении конвективного теплообмена и определения для
разных его случаев коэффициента теплоотдачи.