Свободное движение твердого тела. (Лекция 5, Кафедра теоретической механики)

1.

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный
Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Кафедра теоретической механики

2. План лекции

Задача механики сводится только к тому,
чтобы раскрыть происходящие явления,
а не к тому, чтобы доискиваться их
причин.
Густав Кирхгоф
Введение
Сферическое движение твердого тела
Угловые скорость и ускорение при сферическом
движении
Скорость и ускорение точек при сферическом
движении
Произвольные движения твердого тела
Сложное движение твердого тела
Заключение

3. На предыдущих лекциях

Мы уже изучили:
- Кинематику точки
- Простейшие движения твердого тела:
поступательное и вращательное
- Плоское движение твердого тела.
При этом мы представили его как сумму
простейших движений. Сделали мы это с помощью
введения вспомогательной системы координат
Ax1 y1 :
Y
y1
B
x1
A
O
X

4.

Введение
Пусть теперь тело совершает произвольное
пространственное движение.
Для его изучения также возьмем одну точку A за полюс
и введем вспомогательную систему координат
Ax1 y1 z1 : Ax1 || Ox, Ay1 || Oy , Az1 || Oz ,
В системе Ax1 y1 z1 точка A-
неподвижна, т.е тело будет
совершать движение с одной
неподвижной точкой. Такое
движение называется
сферическим.
Произвольное движение представляется в виде суммы
двух движений: Поступательного вместе с полюсом A и
сферического вокруг полюса A.

5. Цель лекции

Сначала изучить сферическое
движение твердого тела, а потом
уже и произвольное
пространственное движение.

6. Практические примеры

7.

Задание движения твердого тела
Плоское движение
xA xA (t )
yA yA (t )
(t )
Поступательное движение
xA xA (t )
yA yA (t )
z A z A (t )
Поступательное движение полностью определится движением полюса
Сферическое движение твердого тела

8.

Сферическое движение твердого тела
Движение твердого тела, имеющего
неподвижную
точку,
называют
сферическим движением или вращением
вокруг неподвижной точки.
При сферическом движении любая точка
тела будет находится на сфере с центром O.

9.

Задание сферического движения твердого тела
Oxyz
O
- неподвижная система
координат
- подвижная система
координат
три степени свободы
три угла Эйлера
- угол прецессии
- угол нутации
- угол собственного вращения

10.

Построение подвижной системы координат
1. Изобразить линию узлов ОК
(линию пересечения плоскостей
Oxy и O ,
т.е. повернуть Ox на угол
вокруг оси Oz
2. Повернуть Oz на угол вокруг
оси OK
3. Повернуть OK на угол вокруг
оси O
Закон сферического движения
(t ) (t ) (t )

11.

Мгновенная ось вращения
Вспомним: МЦС для плоского движения.
Для сферического движения – роль МЦС играет
мгновенная ось вращения – она проходит через точку
О и скорости ее точек равны нулю.
Утверждение (без доказательства).
В
каждый
момент
времени
сферическое движение
можно
представить как вращение вокруг
мгновенной оси вращения.

12.

Задание угловой скорости тела
ω κ e m
- угловая скорость, направлена
вдоль мгновенной оси вращения
m, e, κ - единичные векторы осей
O , OK , Oz
ω1 κ
- угловая скорость прецессии
ω 2 e
- угловая скорости нутации
ω3 m - угловая скорости
собственного вращения

13.

Проекции угловой скорости на подвижные оси
1 2 3 ,
1 2 3 ,
1 2 3 .
1 sin sin , 2 cos , 3 0
1 sin cos , 2 sin , 3 0
1 cos , 2 0, 3
sin sin cos ,
sin cos sin ,
cos
кинематические
уравнения Эйлера.

14.

Нахождение углового ускорения
d
d
dl
ε l
l l
dt
dt
dt
l
-изменение угловой скорости
по величине
ε
l -изменение угловой скорости
ω
по направлению
ε
-направлен по
годографу ω
касательной
к
ω
Направления ω и
ε
в общем случае не совпадают!

15.

Нахождение скорости и ускорения точек
v ω r
dv dω
dr
a
r ω
dt dt
dt
ε r ω v
a r ε r - вращательное ускорение
a ω v -осестремительное ускорение (направc
лено к мгновенной оси вращения)
a
a a
c 2
r 2
2a a cos a a
c
r
c r
Итог: Обе задачи кинематики для сферического
движения твердого тела нами решены.

16.

Пример
Дано: VC , высота и радиус
основания конуса
Найти: ω ε v A v B a A a B
Решение
v c / CD, v A 0, v B ω OB
a A a A a A , aB aB aB
c
a A 0,
c
r
a B ω v B
a A ε OA ,
r
c
r
c
a B ε OB
r
d
dl
ε l ; 1 ; 1 v c / CE
dt
dt

17.

Произвольное движение твердого тела
Шесть степеней свободы
rM (t ) rA (t ) ρ(t )
xA xA (t ), y A y A (t ), z A z A (t )
(t ), (t ), (t )
Произвольное движение представляется в виде
суммы двух движений: Поступательного вместе с
полюсом A и сферического вокруг полюса A.

18.

Скорости и ускорения точки при произвольном
движении
drM drA dρ
vM
vA ω ρ
dt
dt
dt
Скорость любой точки произвольно двигающегося
тела равна сумме скорости полюса и скорости
сферического движения тела вокруг полюса.
dv M dv A dω
dρ
aM
ρ ω
dt
dt dt
dt
aM a A ε ρ ω ω ρ
Ускорение любой точки при произвольном движении
твердого тела равно сумме ускорения полюса и
вращательного и осестремительного ускорений точки
при ее сферическом движении вокруг полюса.

19.

Сложное движение твердого тела
Если
тело
движется
относительно подвижных осей, а
эти оси совершают движение по
отношению
к
неподвижным
осям,
то
результирующие
движение
тела
называется
сложным.
Движение тела относительно неподвижной системы
называют абсолютным, его движение относительно
подвижной системы– относительным, а движение
вместе с подвижной системой отсчета – переносным.
При поступательном движении
v a v r ve

20.

Частные случаи сложного движения твердого тела
1. Сложение поступательных движений
Пусть тело движется поступательно относительно системы O1 x1 y1 z1
со скоростью v r
А система O1 x1 y1 z1 движетсяOxyz
поступательно относительно
со скоростью v e
Тогда
va vr ve

21.

Частные случаи сложного движения твердого тела
2. Сложение вращений вокруг параллельных осей
(вращения в одну сторону)
;
v A v Ar v Ae
r
1
e
2
v B v Br v Be
vA 2 AB, v B 1 AB
МЦС – С
vB
vA
ω
BC AC
1 2
1 AC 2 BC
Результирующее движение – мгновенное вращение вокруг
оси, параллельной данным, с угловой скоростью
1 2

22.

Частные случаи сложного движения твердого тела
3. Сложение вращений вокруг параллельных осей
(вращения в разные стороны)
1 2
1 2
МЦС – С
1 AC 2 BC
1 2
Результирующее движение – мгновенное вращение
вокруг оси, параллельной данным, с угловой
скоростью
1 2

23.

Частные случаи сложного движения твердого тела
4. Пара вращений
(вращения в разные стороны, при этом 1 2 )
r 2 ; e 1
МЦС не существует
v vA vB ωAB
1 2
Результирующее движение является мгновенно
поступательным.
Пример: Движение педали велосипеда DE

24.

Частные случаи сложного движения твердого тела
4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
r 1 e 2
v O 0 абсолютное
дижение сферическое
v M v Mr v Me
v Mr ω1 r v Me ω2 r
v M ω1 ω2 r
Результирующее движение – мгновенное вращение
вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью
ω ω1 ω2

25. Заключение

1. Рассмотрено сферическое движение твердого
тела.
2. Выведены формулы для определения угловой
скорости и углового ускорения.
3. Определены скорости и ускорения отдельных
точек .
4. Произвольное движение твердого тела
представлено как сумма поступательного
вместе с полюсом и сферического вокруг
полюса.
5. Рассмотрены частные случаи сложного
движения твердого тела.

26. Вопросы для самоконтроля

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Какое движение твердого тела называется сферическим ?
Приведите примеры сферического движения.
Как определяются углы Эйлера ?
Задание сферического движения посредствам углов Эйлера
единственное возможное или нет ?
Что называется мгновенной осью вращения ?
Совпадает ли направление угловой скорости и углового
ускорения тела, совершающего сферическое движение ?
Каким образом можно представить произвольное движение
твердого тела?
Сложное движение – это какой-то особый вид движения ?
Если да, то какой ?