Определение показательной функции
График показательной функции у у= а , а>1
График показательной функции у у= а , 0<a<1
Свойства показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0
График показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0
Свойства сравнения выражений вида ах, а ≠ 1, a > 0
Показательные уравнения
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Показательные неравенства
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
716.50K
Категория: МатематикаМатематика

Определение показательной функции

1. Определение показательной функции

• Показательной функцией называется функция
х
у = а , где а – заданное число, а>0,a ≠ 1.
Примеры:
х
1
у
3
у 0, 4
х
у 2
у 5
х
у
3
х
х

2. График показательной функции у у= а , а>1

График показательной функции у
х
у= а , а>1
Построим график
показательной функции
У
у=2х
у=4х
у 2 , а 2.
х
В этой же системе
координат построим
графики функций
у=(1,5)х
у 4 , а 4
х
у 1,5 , а 1,5.
х
1
0
Х

3. График показательной функции у у= а , 0<a<1

График показательной функции у
х
у= а , 0<a<1
Построим график
показательной функции
х
1
1
у , а .
2
2
В этой же системе
координат построим
графики функций
а1 = У
2
а =0,25
а2=
3
у 0, 25 , а 0, 25
х
х
2
2
у , а .
3
3
1
0
Х

4. Свойства показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0

Свойства показательной функции y = ах, а ≠
1, a > 0
D(y) = (-∞; +∞),
E(y) = (0; +∞).
2. а) Нулей не имеет;
б) точка пересечения с осью ординат (0; 1),
т. к. у(0) = а0 = 1.
3. а) При а > 1 функция возрастает на R;
.
б) при 0 < а < 1 функция убывает на R.
4. Ни четная функция, ни нечетная.
5. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
7. Непрерывна. Выпукла вниз.
8. an ∙ am = an + m
an : am = an − m
(an)m = anm
(ab)n = an ∙ bn
(a : b)n = an : bn

5. График показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0

График показательной функции
y = ах, а ≠ 1, a > 0
y = ах, 0 < а
<1
y = ах, а >
1
у
у
.
1
1
0
х
0
х

6. Свойства сравнения выражений вида ах, а ≠ 1, a > 0

Свойства сравнения выражений вида ах, а ≠
1, a > 0
1. Если 0 < а < 1 или а > 1, то равенство ar = as
справедливо тогда и только тогда, когда r = s.
2. Если 0 < а < 1, то
a) неравенство ax > 1 справедливо ⟺ x < 0;
.
б) неравенство ax < 1 справедливо
⟺ x > 0.
3. Если а > 1, то
a) неравенство ax > 1 справедливо ⟺ x > 0;
б) неравенство ax < 1 справедливо ⟺ x < 0.
4. Если а > 1, то
a) неравенство af(x) > ah(x) справедливо ⟺ f(x) > h(x);
б) неравенство af(x) < ah(x) справедливо ⟺ f(x) < h(x).
5. Если 0 < а < 1, то
a) неравенство af(x) > ah(x) справедливо ⟺ f(x) < h(x);
б) неравенство af(x) < ah(x) справедливо ⟺ f(x) > h(x).

7. Показательные уравнения

Уравнения вида af(x) = аh(х), где а ≠ 1, a
>0
называют показательными уравнениями

af(x) = аh(х)
f(x) =
h(х)
Методы решения показательных уравнений:
1. Функционально-графический
метод.
2. Метод уравнивания показателей.
3. Метод введения новой

8. Показательные уравнения. Примеры

Пример 1
2x 4
2
64
22x 4 26
2x 4 6
x 5
Ответ : 5
Пример 2
1
3
2 x 3,5
Пример 3
5
1
3
2 x 3,5
1
1
3
3
2x 3,5 0,5
x 2
Ответ : 2
x 2 3 x
5 3 x 8
x 2 3x 3x 8
0,5
x 2 6x 8 0
x1 2,
x 4
2
Ответ : 2; 4

9. Показательные уравнения. Примеры

Пример 4
0,2
x 0,5
5
1
5
5
4x 2х 1 24 0
5 0,04 x 2
x 0,5
0,5 x 0,5
Пример 5
:5
0,5
1
5
25
5 5
5 x 51 2x 4
2 x 2
x 2
2
2
2 х
2 2х 24 0
х 2
2 2х 24 0
Пусть 2х t , где t 0 тогда
t 2 2t 24 0
5 x 55 2 x
t1 6,
t 4
2
x 5 2x
t1 6 не уд ет условию t 0
x 5
Вернемся к исходной переменной
Ответ : 5
2х 4
х 2
Ответ : 2

10. Показательные уравнения. Примеры

Пример 6
2 x х 2 2
2
5
2x
2
x х 2 2
Пусть 2
5
2
t t 6 0
2
3
t
,
1
2
t 2 4
х 2 2
ОДЗ :
6
х2 2 0
t, t 0
х2 2
х 2
х ( ; 2 ] [ 2 : )
3
не уд ет условию t 0
2
Вернемся к исходной переменной
t1
2
x х 2 2
4
2
x х 2 2
2
x х2 2 2
х2 2 2 х
х 2 2 4 4х х 2
4х 6
х 1,5
2
Ответ : 1,5.

11. Показательные уравнения. Примеры

Пример 7
х
64 х 23 х 3 12 0
6
х
3х 3
х
6
х
3
2 2
2 2
6
х
3
х
12 0
12 0
3
х
2 8 2 12 0
3
х
Вернемся к исходной переменной
3
х
2 2
3
1
х
или
х 3
Пусть 2 t , t 0
t 2 8t 12 0
t1 2,
t 6;
2
3
Ответ : 3;
.
log 2 6
3
х
2 6
3
log 2 6
х
3
х
log 2 6

12. Показательные уравнения. Примеры

2
х
3
2
9х 2 9
81
27 х
2
х
2
9
9
9
9
2
81
3
27
27 х
9
2 9х 9
9
27 х 2 9 х 9 0
9 27
Пример 8
Вернемся к исходной переменной
3х 3
х 1
Пусть 3 х t , где t 0, тогда
t 3 2t 2 9 0
t 3 3t 2 t 2 9 0
t 2 t 3 t 3 t 3 0
t 3 t 2 t 3 0
t 3
2
t t 3 0 нет корней
Ответ : 1.

13. Показательные уравнения. Примеры

Пример 9 (однородное уравнение)
52x 1 13 15 х 54 9 х 1 0
5 5
2x
5 52x

13 15 54
0
9
13 15 х 6 9х 0
х
Разделим на 9х , тогда
5 5

2x
5
5
3

х
х
13 15
6 9
0
х
х
9
9
х
5
13 6 0
3
5t 2 13t 6 0
3
t1 5 ,
t 2 2
Вернемся к исходной переменной
х
х
3
5
5
3
х 1
или
5
2
3
х log 5 2
3
х
5
Пусть t , где t 0, тогда
3
Ответ : 1; log 5 2.
3

14. Показательные уравнения. Примеры

Пример 10 (составление отношения)
4 x 3 х 1 4 х 1 3x
4 x 4 х 1 3 x 3x 1
4 x 1 4 1 3x 1 3 1
4 x 1 3 3x 1 4
: 3 х 1 3 , т.к . 3х 1 3 0
4x 1 3 3x 1 4
х 1
х 1
3 3 3 3
x 1
4
4
3
3
x 1 1
x 2
Ответ : 2.

15. Показательные уравнения. Примеры

+
Показательные уравнения.
Примеры
=4
Пример 11 (скрытая замена переменной)
x
x
2 3 2 3 4
Заметим , что 2 3 2 3
2 3 2 3
4 3 1
х
х
1
1
Пусть 2 3 t , где t 0, тогда 2 3
х
t
2 3
уравнение примет вид :
1
t 4,
t
t
t 2 4t 1 0, D 16 4 12
t1
4 2 3
2 3
2
t2
4 2 3
2 3
2

16. Показательные уравнения. Примеры

+
Показательные уравнения.
Примеры
=4
Пример 11 (скрытая замена переменной)
Вернемся к исходной переменной :
х
2 3 2 3
х
1
2 3
2 3
2 3 2 3
x
2
x
1
2
x 2
1
или
х
2 3 2 3
2 3
x
1
2
x 2
Ответ : 2; 2.
x
2
2 3

17. Показательные неравенства

Неравенства вида af(x) > аh(х), где а ≠ 1,
a>0
называют показательными
неравенствами
f(x)
g(х)
a

а>
1
f(x) >
g(х)
0<а<
1
или
f(x) <
g(х)
af(x) > аg(х) ⟺ (а – 1)(f(x) – g(x))
>0

18. Показательные неравенства. Примеры

Пример 1
22 x 4 64
22 x 4 26
т.к . функция у 2t монотонно
возрастает на R , то
2x 4 6
x 5
Ответ : 5;
Пример 2
1
3
2 x 3 ,5
1
3
2 x 3 ,5
1
3
1
3
0 ,5
t
1
т.к . функция у
3
монотонно убывает на R , то
2x 3 ,5 0 ,5
x 2
Ответ : 2;

19. Показательные неравенства. Примеры

Пример 3
0,5
x 2 3 x
0,53 x 8
т.к . функция у 0,5 t
монотонно убывает на R , то
x 2 3 x 3x 8
x 2 6x 8 0
н .ф. : x 2 6x 8 0
x1 2,
x 4
+
2
2
х ; 2 4;
Ответ : ; 2 4;
+

4
х

20. Показательные неравенства. Примеры

Пример 4
8 x 18 х 2 27 x
23 x 2х 32x 2 33 x
: 33 х , т.к . 33 х 0
23 x 2х 32x 2 33 x


3
3
33 х
2
3
3x
x
2
2
3
x
2
Пусть t , где t 0
3
t3 t 2 0
t 3 t 2 t 3 t 1 1 t 3 1 t 1 t 1 t 2 t 2
т.к . t 2 t 2 0 для любых t , то t 1 0
t 1

21. Показательные неравенства. Примеры

Пример 4
Вернемся к исходной переменной :
x
2
1
3
x
0
2
2
,
3
3
x
т.к . а
2
2
1, то ф ция у убывает на R
3
3
x 0
Ответ : ; 0 .
English     Русский Правила