Задачи по геометрии. (9 класс)

1.

2.

№1. Диагонали прямоугольника KMNP пересекаются
в точке С. Найдите угол MNC, если угол MCN равен
46°.
M
46°
?
N
C
K
ВЕРНО!
67°
P
ПОДУМАЙ!
46°
ПОДУМАЙ!
23°
ПОДУМАЙ!
44°

3.

№2. Через точку А окружности с центром О
проведена касательная АВ. Найдите радиус
окружности, если ОВ=8, угол АОВ равен 60°.
А
?
60°
О
ПОДУМАЙ!
4 3
ПОДУМАЙ!
8
В
8
ПОДУМАЙ!
4
2
ВЕРНО!
4

4.

№3. Внешний угол при основании равнобедренного
треугольника равен 140°. Найдите угол между
боковыми сторонами этого треугольника.
В
?
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
140°
С
А
70°
ПОДУМАЙ!
100°
40°
80°

5.

№4. Используя данные, указанные на рисунке,
найдите высоту CH.
2 СПОСОБ
1 способ
A
1) По т. Пифагора: АВ = 15.
1) По т. Пифагора: АВ2 = 92 + 122,
9
2) По т. о пропорциональных
АВ2 = 225 , АВ = 15.
отрезках в прямоугольном
2) SABC = ½ · AC ·BC , SABC = ½ · 9 · 12,
C
треугольнике:
SABC = 54.
АС2 = АВ · АH, 92 = 15 · AH,
3) C другой стороны: SABC = ½ · CH ·AB.
AH = 81 : 15,
AH = 5,4.
Имеем: 54 = ½ · CH · 15, 54 = CH · 7,5,
3) По т. Пифагора: AC2 = AH2 + HC2,
CH = 7,2
2
2
2
2
9 = 5,4 + HC , HC = 51,84,
HC = 7,2
ОТВЕТ: СH = 7,2
ОТВЕТ: СH = 7,2
H
12
B

6.

№5. Длина окружности равна 29π
29π. Найдите радиус
этой окружности.
Ответ: ___________
C=2πR
R = (29 π) : (2 π)
R = 14,5

7.

№6.
Используя данные, указанные на рисунке,
найдите AC, если известно, что AB II CD.
АС = 25
Ответ: ____________
Δ ABO
B
6
А
~ Δ CDO (по двум углам)
C
O
9
10
AB
AO
=
CD
OC
D
OC
OC =15
15

8.

№7.
Найдите боковую сторону равнобедренной
трапеции, если ее основания равны 9 и 19, а высота
равна 12.
AB = 13
Ответ: ____________
9
B
?
A
C
12
5
5
H
19
AB2 = 52 + 122
K
D

9.

№8.
В параллелограмме ABCD на стороне BC
отмечена точка K так, что BK = AB.Найдите угол
BCD, если угол KAD равен 20°.
40°
Ответ: ____________
K
B
C
20°
А
20°
?
D
A = C = 40
o

10.

11.

№9.
Сторона равностороннего треугольника
MLN равна 6 см. Найдите скалярное произведение
векторов LM и LN.
18
Ответ: ____________
Скалярным произведением двух
ПОДСКАЗКА
L векторов называется произведение
длин этих векторов на косинус угла
60°
между ними.
6
M
6
60°
60°
6
N
1
LM LN = 6 6 cos 60 = 36 = 18
2
o

12.

№10.
Радиус окружности, описанной около
правильного двенадцатиугольника А1А2….А12,
равен
5 3 . Найдите длину диагонали А1 А5.
15
Ответ: ____________
Квадрат стороны
треугольника
равен сумме
квадратов двух
других сторон
минус удвоенное
произведение этих
сторон на косинус
угла между ними.
А4
А3
А5
А6
А2
5 3
?
120°
А1
5 3
А7
О
А12
ПРИМЕНИ
ТЕОРЕМУ
КОСИНУСОВ
ПОДСКАЗКА ( 2 )
А8
А11
А10
А9

13.

№11.
Имеется лист фанеры прямоугольной
формы, длина и ширина которого соответственно
равны 10 дм и 5 дм. Из него, как показано на рисунке,
вырезаны две одинаковые части в форме
равнобедренных треугольников. Сколько кг краски
потребуется, чтобы покрасить получившуюся
фигуру, если длина отрезка АВ = 6 дм, а на 1 дм2
поверхности расходуется 0,012 кг краски?
10 дм
5 дм
2 дм
6 дм
0,48
Ответ: ____________
2 дм
Sпрям = 10 · 5 = 50 (дм2)
SΔ = ½ ·2 · 5 = 5 (дм2)
Sфиг = Sпрям – 2 · SΔ = 50 – 2 · 5 = 40 (дм2)
0,012 ·40 = 0,48 ( кг)

14.

№12.
Неверно
Укажите, какие из перечисленных ниже
утверждений всегда верны.
Все
Верно
1
2
2, 3, 5
Ответ:________
углы ромба – острые.
Все высоты ромба равны.
Верно
3
Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.
Неверно
4
Радиус окружности, вписанной в
ромб, равен стороне этого
ромба.
Верно
5
В ромбе с углом в 60° одна из
диагоналей равна его стороне.

15.

№13.
BP и DK – высоты параллелограмма ABCD,
проведенные из вершин тупых углов, причем точка
P лежит между точками C и D, а точка K лежит
между точками B и C. Отрезки BP и DK
пересекаются в точке O. Докажите, что ΔCKD и
ΔCPB подобны, а углы KOB и BCD равны.
B
K
4
C
2 1
3
О
P
Угол 4 равен углу 5.
KOB = 90 0 - 4
5
А
Δ CKD ~ Δ CPB по двум углам.
D
ВСD = 90 0 - 5
KOB = BCD
Равны
( ч.т.д.)

16.

17.

№ 14.
В равнобедренный треугольник АВС с
основанием ВС вписана окружность. Она касается
стороны АВ в точке М. Найти радиус этой
окружности, если АМ=10 и ВМ=15
А
Δ АОМ ~ Δ АВН по двум углам.
OM
10
=
HB
М
О
?
AM
AH
АН2 = 252 – 152 = 400, АН = 20
15
0М
=
15
С
В
Н
ОМ = 7,5
10
20