Прототипы В 14 Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень
Проверяемые требования (умения): уметь выполнять действия с функциями.
Содержание задания В14 по КЭС
Памятка ученику
Алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего) значения на данном отрезке. Первый способ (традиционный) предполагает
Прототип задания B14
Задания для самостоятельного решения
Прототип задания B14
Задания для самостоятельного решения
Прототип задания B14
Задания для самостоятельного решения
Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:
Алгоритм нахождения точек экстремума.
Найдите наибольшее значение функции
Найдите наибольшее значение функции
Не очень просто. Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и
В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x).
Найдите наибольшее значение функции
Найдите наименьшее значение функции
Найдите наибольшее значение функции
Найдите точку минимума функции
Найдите наибольшее значение функции
Реши самостоятельно любым способом:
Задания для домашнего (или дополнительного) решения
Задания для домашнего (или самостоятельного) решения
502.21K
Категория: МатематикаМатематика

Прототипы В 14. Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень

1. Прототипы В 14 Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень

ПРОТОТИПЫ В 14
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОЙ
ФУНКЦИИ, СОДЕРЖАЩЕЙ
ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ,
ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ
ФУНКЦИИ И ФУНКЦИЮ
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ

2. Проверяемые требования (умения): уметь выполнять действия с функциями.

Умения по КТ
• Вычислять производные и
первообразные
элементарных функций
• Исследовать в
простейших случаях
функции на
монотонность,
находить наибольшие
и наименьшие
значения функций

3. Содержание задания В14 по КЭС

Начала математического анализа
• 4.1 Производная
4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
4.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса,
заданного формулой или графиком
4.1.3 Уравнение касательной к графику функции
4.1.4 Производные суммы, разности, произведения, частного
4.1.5 Производные основных элементарных функций
4.1.6 Вторая производная и ее физический смысл
• 4.2 Исследование функций
4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению
графиков
4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

4. Памятка ученику

• Задание B14 - на нахождение с
помощью производной точек
экстремума функции или
вычисление наибольшего
(наименьшего) значения функции на
отрезке. Для успешного решения
задачи ученик должен уметь
вычислять производные
элементарных функций и в
простейших случаях исследовать
функцию на монотонность.

5.

f ‘ (x)
формулы
С'
0
(x)'
1
(xa)'
ax a 1
sin'x
cos x
сos'x
tg'x
ctg'x
при a≠1
sin x
1
cos 2 x
1
sin 2 x
(ex)'
ex
(ax)'
a x ln a
ln'x
1
x
loga'x
1
x ln a
(f+g)'
f ' g'
(f∙g)'
f ' g fg '
(cf)'
cf '
f
'
g
(f(kx+b)) '
(f(g(x))) '
( f ' g fg ' )
g2
kf ' ( kx b)
f ' ( g( x )) g' ( x )

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего) значения на данном отрезке. Первый способ (традиционный) предполагает

использование алгоритмов и
1)
2)
3)
4)
знание формул.
использование алгоритмов и знание формул. Найти
производную функции.
Приравнять производную к нулю и решить полученное
уравнение.
Найти значение функции на краях числового
промежутка и в нулях производной, входящих в
данный числовой промежуток.
Выбрать среди полученных значений функции
значение, соответствующее вопросу задачи
(наибольшее или наименьшее)
Важно: промежуток может быть не указан, но
очевиден: область определения.

15. Прототип задания B14

• Найдите наименьшее значение
x 7
y
(
x
8
)
e
функции
на отрезке [6;8].
Найдем y'(x). Производная произведения равна
(uv) u v v u
y ( x 8) e x 7 ( x 8)(e x 7 ) e x 7 ( x 8) e x 7 e x 7 ( x 7)
Приравняем к нулю:
exx 77 ( x 7) 0
e
0- нет корней;
[6;8]
7
x 7, 0 x- принадлежит
Найдём наименьшее значение функции:
y (6) (6 8) e 6 7 2 2,7 1
y(7) (7 8) e7 7 1
y(8) (8 8) e8 7 0
Решение
20
27
Ответ: -1 - наименьшее значение функции на отрезке
[6;8].

16. Задания для самостоятельного решения

• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
y ( x 6)e x 5 на отрезке [4;6].
• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
y ( x 17)e x 16 на отрезке [15;17].
Проверка
Ответ: -1
Ответ: -1

17. Прототип задания B14

• Найдите наибольшее значение
функции y 12 cos x 6 3 x 2 3π 6
на отрезке
0; 2
Найдем y'(x). Производная функции равна
y 12 sin x 6 3
Приравняем к нулю:
3 - принадлежит
x
12 sin x 6 3 0 sin x
3
2
0; 2
Найдём наибольшее значение функции:
y (0) 12 1 6 3 0 2 3 6 12 2 3 6 7,12
1
y 12 6 3 2 3 6 6 2 3 2 3 6 12
2
3
3
y 0 6 3 2 3 6 3 3 2 3 6 3 6 11,4
2
2
Ответ: 12 - наибольшее значение функции на отрезке
Решение
0; 2 .

18. Задания для самостоятельного решения


Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
0.;
y 12 2 cos x 12 x 3 9
Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
.
на отрезке
0;
7
y 7 2 cos x 7 x
9
4
Проверка
2
2
Ответ: 21
Ответ: 16

19. Прототип задания B14

• Найдите наименьшее значение функции
3
на
отрезке
2 ;0
y 5 cos x 6 x 4
Найдем y'(x). Производная функции равна
y 5 sin x 6
Приравняем к нулю:
6
sin x - нет корней
5 функции:
Найдём наименьшее значение
5 sin 6 0
y (
Решение
3
3 3
) 5 cos
6
4 27 4 31
2
2 2
y (0) 5 4 9
Ответ: 9 - наименьшее значение функции на отрезке
3 .
;0
2

20. Задания для самостоятельного решения


Задание B14
Найдите наименьшее значение функции y 7 cos x 13x 9
на отрезке
.
Задание B14
Найдите наименьшее значение функции y 5 cos x 9 x 3 на отрезке
.
3
2 ;0
3
2 ;0
Проверка
Ответ: 16
Ответ: 8

21. Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:

1) Найти производную функции.
2) Приравнять производную к нулю и решить
полученное уравнение.
3) Провести исследование на экстремумы в
области определения функции. Если
экстремум один, то именно в нем достигается
наибольшее (наименьшее) значение
функции.

22. Алгоритм нахождения точек экстремума.


Найти производную функции.
Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.
На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых
производная не определена.
Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на
вопрос.
Например:
f (x )
f (x )
-3
Ответ:
3
т. max

23.

Формулы:
Дифференцирование показательной функции:
Дифференцирование логарифмической функции:
Дифференцирование сложной функции:
17.12.2017
a a
x
x
ln a
1
log a х
x ln a
f g x f g g x
23

24. Найдите наибольшее значение функции

y log 5 4 2 x x 2 3
Решение:
Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию
на всей области определения.
1
2
y
(
4
2
x
x
)
2
(4 2 х x ) ln 5
D f : 4 2 x x 0
2
x 1 5; 1 5
Конечно, страшновато, но
уже ясно, что краев у
числового промежутка нет,
а, следовательно в них не будет
достигаться наибольшее или
наименьшее значение.
y
1
( 2 2 x )
2
(4 2 х x ) ln 5
y 0
при x 1
Убедимся, что это значение наибольшее
f (x )
f (x )
1
т. max
Ответ:
17.12.2017
4
Точка максимума одна, следовательно в ней и будет
наибольшее значение.
yнаиб. y( 1) 4
24

25. Найдите наибольшее значение функции

7 6 x x 2
Решение:
y 3
y 3
x
Промежуток не указан. Очевидно, что необходимо исследовать функцию
на всей области определения.
D f : R
y 3
7 6 x x 2
7 6 x x 2
3
yнаиб. y ( 3) 9
ln 3 ( 6 2 x)
ln 3 ( 6 2 x) 0
Убедимся, что это наибольшее значение:
Разделим на первый и второй множители,
не равные нулю:
6 2x 0
17.12.2017
f (x )
3
т. max
Точка максимума одна, следовательно в ней и будет
наибольшее значение.
x 3
Ответ:
f (x )
9
25

26. Не очень просто. Тем более, что некоторые программы не предусматривают использование формул дифференцирования показательной и

логарифмической функции в общем виде.
Попробуем иначе. Без использования
алгоритма и формул.

27. В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x).

28. Найдите наибольшее значение функции

7 6 x x 2
y 3
Решение:
Функция
y 3xвозрастает на R, следовательно наибольшее значение
принимает при наибольшем значении аргумента (аргументом в данном случае
является функция, находящаяся в показателе).
Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в
показателе.
f ( x) 7 6 x x
f ( x ) 6 2 x
6 2x 0
x 3
2
f (x )
f (x )
3
т. max
Следовательно f ( x )наиб. f ( 3) 2
2
y
3
9
Следовательно
наиб.
Ответ:
17.12.2017
9
28

29.

Можно и совсем обойтись без производной.
Используем простые графические
соображения.
17.12.2017
29

30. Найдите наименьшее значение функции

y 2
Решение:
x 2 2 x 5
Функция y 2 возрастает на R, следовательно наименьшее значение
принимает при наименьшем значении аргумента (функции, находящейся в
показателе).
x
Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся в
показателе.
f ( x) x 2 2 x 5
График – парабола, ветви направлены
вверх.
b
1
2a
у0 4
Следовательно
f ( x )наим.
4
x0
Ответ:
17.12.2017
yнаиб. 2 4 16
1 6
30

31. Найдите наибольшее значение функции

Решение:
y log 5 4 2 x x 2 3
3
Функция y log 5 x возрастает
на всей области определения , следовательно
наибольшее значение принимает при наибольшем значении значении аргумента
(функции, находящейся под знаком логарифма).
Исследуем на наибольшее значение функцию, находящуюся под знаком
2
логарифма.
D f : 4 2 x x 0
f ( x) 4 2 x x 2
x 1 5; 1 5
График – парабола, ветви направлены
вниз.
x0
у0 5
5
f ( x )наиб.
b
1
2a
Ответ: 4
Следовательно yнаиб. log 5 5 3 4
31

32.

Решим таким же способом задания,
связанные с исследованием сложной
функции, содержащей квадратичную
функцию под знаком квадратного корня.
17.12.2017
32

33. Найдите точку минимума функции

y x 2 6 x 11
Решение:
Функция
y x возрастает на всей области определения, следовательно
ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения.
Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R.
Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.
f ( x ) x 2 6 x 11
График – парабола, ветви направлены
вверх.
x0
b
3
2a
Ответ: 3
т. min
3
33

34. Найдите наибольшее значение функции

y 5 4 x x2
Решение:
Функция
y x возрастает на всей области определения, следовательно
принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с
учетом области определения.
D(y):[-5;1].
Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня.
f ( x) 5 4 x x 2
График – парабола, ветви направлены
вниз.
b
2
2a
y0 9
9
f ( x )наиб.
x0
Ответ: 3
Следовательно yнаиб. 9 3
34

35. Реши самостоятельно любым способом:

• Найдите точку минимума функции
• Найдите точку максимума функции
• Найдите наименьшее значение функции
• Найдите наименьшее значение функции
17.12.2017
35

36. Задания для домашнего (или дополнительного) решения

• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
.
на отрезке
0; 2
• Задание B14
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке 0; .
2
Проверка
Ответ: 0
y 4
y 11
4 3
4 3 x 8 cos x
3
7 3 7 3
14 3
x
cos x
18
3
3
Ответ: 4

37. Задания для домашнего (или самостоятельного) решения


Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
2 ;0
Задание B14
Найдите наибольшее значение функции
2 ;0
Проверка
Ответ: 3
y 11xна
9отрезке
sin x 3
на отрезке
y 12 x 8 sin x 6
Ответ: 6
English     Русский Правила