Применение интеграла

1.

2.

3.

4. Применение интеграла.

Пусть дано тело объемом V, причем имеется
такая прямая, что для любой плоскости ,
перпендикулярной данной прямой, известна
площадь сечения S тела этой плоскостью

5.

Но плоскость, перпендикулярная оси ОХ,
пересекает ее в некоторой точке x.
Следовательно, каждому числу x
(xϵ [a;b]) поставлено в соответствии
единственное число S(x) - площадь
сечения тела этой плоскостью. Таким
образом имеется функция S(x),
заданная на отрезке [a;b]. Если функция
непрерывна на отрезке [a;b], то
справедлива формула:
b
V S ( x)dx
a

6.

b
• Используя формулу V S ( x)dx
a
Получим формулу объема тела вращения.

7.

• Так как , каждая плоскость,
перпендикулярная оси ОХ и пересекающая
отрезок этой оси в точке x, дает в
сечении круг радиуса f(x), то площадь
сечения равна площади круга радиуса f(x):
S ( x) f ( x)
2

8.

• А значит тело, полученное вращением
криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной и
неотрицательной на отрезке [a;b]
функцией, отрезками прямых x=a, x=b и
отрезком [a;b] оси ОХ, имеет объем,
выражающийся по формуле:
b
b
V f ( x)dx f ( x)dx
2
a
2
a

9.

Применение интеграла.
Величины
Вычисление
производной
A – работа;
F – сила;
N – мощность;
x – перемещение;
t – время.
F ( x) Ax
N (t ) At
Вычисление
интеграла
A
A
x2
F ( x)dx
x1
t2
N (t )dt
t1
S – перемещение;
V– скорость;
t – время.
V (t ) St
t2
S V (t )dt
t1

10.

m – масса тонкого
стержня;
ρ- линейная
плотность;
x - перемещение.
q – электрический заряд;
I – сила тока;
t – время.
( x) m x
x2
m ( x)dx
x1
I (t ) qt
t2
q I (t )dt
t1

11.

Q – количество теплоты;
C – теплоемкость;
t – время.
t2
C (t ) Qt Q C (t )dt
t1