Приложения определенного интеграла

1. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Лекция 5

2. § 1 Площадь плоской фигуры

1) Вычисление площади в декартовых координатах
Криволинейной
трапецией
называется
фигура,
y f (x) , заданной на
ограниченная графиком неотрицательной функции
отрезке [ a, b] , прямыми x a , x b и отрезком оси OX между точками a и
b (рис.*).
Y
B
y f (x)
C
A
0
D
a
b
X
Рисунок *
Если f ( x ) 0 x [ a, b] , то площадь криволинейной трапеции ABCD
в декартовых координатах вычисляется по формуле
b
S f ( x) dx .
a
(1.1)

3.

x [ a, b] , то площадь криволинейной трапеции
Если f ( x) 0
A1B1C1D1 (рис. *) вычисляется по формуле
b
S f ( x)dx .
(1.2)
a
Y
a
b
0 A1
B1
X
C1
D1
y f (x)
Рисунок *
Если f (x) меняет знак на отрезке [ a, b] , то площадь фигуры,
ограниченной кривой y f (x) и прямыми x a , x b (рис. *), вычисляется по
b
формуле
S f ( x) dx .
a
(1.3)

4.

y
y f (x)
а
b
x
Рисунок *
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций
y f 1 ( x ) , y f 2 ( x) , f 1 ( x) f 2 ( x) и двумя прямыми x a , x b (рис. *),
определяется по формуле
b
S f 2 ( x) f1 ( x) dx
(1.4)
a
y
y f 2 ( x)
b
a
y f1 ( x)
Рисунок *
x

5.

Замечание. Иногда удобно использовать приведенные формулы, но по
переменной y (считая х функцией от y ), например (рис. *)
d
S f ( y )dy .
(1.5)
c
y
d
x f ( y)
c
x
Рисунок *
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y x2 2 , y x.
Найдем точки пересечения данных линий:
x 1
y
x
y x
y x
y x
y 1
2
x 1
2
2
x 2
y x 2
x x 2
x x 2 0
x 2
y 2

6.

A( 1, 1) , B ( 2,2) - точки пересечения данных линий (рис. *).
y
y x2 2
2
y x
B
-1
2
A
x
-2
Рисунок *
Теперь по формуле (1.4) вычисляем искомую площадь при
f1 ( x) x 2 2 , f 2 ( x ) x a 1 , b 2 .
Получим
2
2
x 2 2 x3 2
1 8 1
2
S ( x ( x 2)dx
2x
2 ( ) 4 2 4,5 (кв. ед.) .
1
2 3 3
2 1 3 1
1

7.

2) Вычисление площади,
параметрическими уравнениями
ограниченной
кривой,
заданной
Если фигура ограничена кривой, заданной уравнениями в
параметрической форме x x(t ) , y y(t ) , прямыми x a , x b и осью OX ,
то площадь ее вычисляется по формуле
t1
S y (t ) x (t )dt ,
t2
где пределы интегрирования находятся из уравнений
a x(t1 ) , b x(t 2 ) , ( y (t ) 0 t [t1 , t 2 ]) .
(1.6)

8.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды
x a(t sin t ) , y a(1 cost ) и отрезком оси абсцисс (рис. *).
y
2а
0
x
2 a
Рисунок *
Для определения искомой площади воспользуемся формулой (1.6).
Найдем значения t1 и t 2 .
0 a(t sin t ), sin t t t1 0
2 a a(t sin t ), t sin t 2 t 2 a ,
Тогда
2
S a 1 cos t (a t sin t ) dt a
0
2
2
(1 cos t ) dt a
2
0
1
3
2
a 2 t 2 sin t sin 2t 3 a 2 (кв. ед.)
4
2
0
2
2
1 cos 2t
1
2
cos
t
dt
2
0

9.

3) Вычисление площади в полярных координатах
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой заданной в полярных
координатах ( ) , двумя прямыми 1 и 2 (рис. *) вычисляется по формуле
1 2 2
S ( )d .
2 1
(1.7)
( )
1
0
2
2
Рисунок *

10.

Пример. Найти площадь фигуры, заключенную внутри лемнискаты Бернулли
a cos 2 (рис. *).
2
2
Рисунок *
В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади и умножить
ее на 4.
По формуле (1.7) имеем
S 4
4
4
1 2
2 1
2
a
sin 2 a 2 (кв. ед.) .
a
cos
2
d
2
20
0

11. §2 Длина дуги кривой

1) Если гладкая кривая задан уравнением y f (x) на отрезке [ a, b] . (т.е. f (x) непрерывна), то длина l ее дуги равна
b
l 1 [ f ( x)]2 dx ,
(2.1)
a
где а и b – абсциссы концов дуги.
2) Если кривая заданна параметрическими уравнениями x x (t ) , y y (t ) ,
t1 t t 2 , где x(t ), y (t ) - непрерывные функции с непрерывными производными, то
длинна l кривой вычисляется по формуле
t1
l ( xt )2 ( yt )2 dt .
(2.2)
t2
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной
параметрическими уравнениями x x (t ) , y y (t ) , z z (t ) , t1 t t 2
t1
l ( xt ) 2 ( y t ) 2 ( z t ) 2 dt .
(2.3)
t2
3) Если кривая задана в полярных координатах ( ) ,
1 2 , причем ( ) на отрезке [ 1, 2 ] имеет непрерывную производную,
то длина l кривой вычисляется по формуле
2
l 2 ( ) [ ( )]2 d .
1
(2.4)

12.

Пример. Вычислить длину дуги астроиды
x a cos 3 t , y a sin 3 t (рис. *).
Рисунок *
Кривая симметрична относительно обеих координатных осей, поэтому по формуле (2.2)
вычислим длину ее четвертой части и умножим результат на 4.
Т.к.
t1 0 , t2 ,
2
то имеем
2
2
0
0
l 4 9a 2 cos4 t sin 2 t 9a 2 sin 4 t cos2 t dt 12a sin t cos t dt 12a
2
sin
2
t 2
0
6a

13. §3 Объем тела

1) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Если площадь S (x ) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси OX (рис.
*), является непрерывной функцией на отрезке [ a, b] , от объем тела между
плоскостями x a , x b находится по формуле
b
V S ( x)dx .
a
a
x
0
S (x )
Рисунок *
b
x
(2.5)

14.

2) Вычисление объема тела вращения
а) Если криволинейная трапеция, ограниченна кривой y f (x) и прямыми y 0 ,
x a , x b , вращается вокруг оси OX , то объем тела вращения (рис. *) вычисляется по
формуле
b
b
Vx y dx f 2 ( x)dx .
2
a
a
y f (x)
y
0
(2.6)
a
b
x
Рисунок *
б) Объем тела., образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривой
x ( y ) и прямыми x 0 , y c , y d (рис. *), вычисляется по формуле
d
d
Vy x dx 2 ( y )dy .
2
c
c
(2.7)

15.

y
d
c
0
x (x)
x
Рисунок *
Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX одной
полуволны синусоиды y sin x (0 x ) (рис. *).
Рисунок *
По формуле (2.6) находим
1 cos 2
sin 2
2
2
VОХ sin d
d
(куб. ед.) .
2
2
2
2
0
0
0

16. §4 Площадь поверхности вращения

1) Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX
дуги кривой y f (x) между точками с абсциссами x a , x b , выражается
формулой
b
S 2 f ( x) 1 ( f x ) 2 dx .
(2.8)
a
2) Если кривая задана параметрическими уравнениями x x (t ) ,
y y (t ) , t1 t t 2 , то площадь поверхности вращения вычисляется по
формуле
t1
S 2 y(t ) ( xt )2 ( yt )2 dt .
(2.9)
t2
3) Если кривая задана в полярных координатах ( ) , 1 2 , то
площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
1
S 2 ( ) sin 2 ( ) [ ( )]2 d .
2
(2.10)

17.

Пример. Вычислить площадь S поверхности, полученной вращением одной
арки циклоиды x a(t sin t ) , y a (1 cos t ) , 0 t 2 вокруг оси OX .
По формуле (2.9) имеем
2
2
S 2 a(1 cost ) (a sin t ) (a(1 cost )) dt 2 2 a
2
2
0
2
3
(1 cost ) 2 dt
0
2
3
2 t 2
2
2
t
t
2
3 t
2
2 2 a 2 sin dt 8 a sin dt 16 a 1 cos2 d cos
2
2
2
2
0
0
0
2
2
3 t
cos
t
64 a 2
2
2
16 a cos
(кв.ед.) .
2
3
3
0

18. §5 Работа переменной силы. Путь, пройденный телом.

70
1) Работа переменной силы F F (x) , действующей в направлении
оси OX на отрезке [ a, b] , вычисляется по формуле
b
A F ( x)dx .
a
2) Путь, пройденный материальной точкой по прямой с переменной
скоростью (t ) за промежуток времени от t1 до t 2 , вычисляется по
формуле
t1
S (t )dt .
t2

19. §6 Неберущиеся интегралы.