Свойства дифференциалов

1. Свойства дифференциалов

1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx ,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

2. Независимость от вида переменной

При вычислении интегралов удобно
пользоваться следующими свойствами
интегралов:
Если f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Если f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a

3. Методы интегрирования

1. Табличный.
2. Разложения.
3. Подведение функции под знак
дифференциала.
4. Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
5. Интегрирование по частям.

4. Табличный метод

Вычисление интеграла производится
непосредственно по формулам.
Для
проверки
правильности
результата
интегрирования надо продифференцировать
результат и получить подынтегральную
функцию.

5.

Интегрирование является операцией,
обратной дифференцированию.
7 1
8
x
x
1. x dx
C
C
7 1
8
7
x
5
2. 5 dx
C
ln 5
x

6. Пример (табличный, с использованием свойства)

Пример . Вычислить cos 5xdx .
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

7. Пример (табличный, с использованием свойства)

1
5
( 2 3x ) dx 3 ( 2 3x ) d ( 2 3x )
6
1 ( 2 3x )
C.
3
6
5

8. Метод разложения

Метод применим, когда подынтегральная функция
представима в виде линейной комбинации других
функций, причем интегралы от каждой из этих
функций являются табличными.
Применяя свойства, получаем:
f ( x )dx Af 1 ( x )dx Bf 2 ( x )dx
A f1 ( x )dx B f 2 ( x )dx F1 ( x ) F2 ( x ) C

9. Пример (метод разложения)

x 3x x 1 dx .
2
3
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx
3
4
2
x
x
x
3
x C
3
4
2

10. Пример (метод разложения)

1. (3x 6 x 5)dx 3x dx 6 x dx 5dx
4
2
4
2
3 x dx 6 x dx 5 dx
4
2
3 5 6 3
3 5
3
x x 5x C x 2 x 5x C
5
3
5

11. Пример (метод разложения)

2. (5 cos x 6e x )dx 5 cos xdx 6e x dx
5 cos xdx 6 e dx 5 sin x 6e C
x
x

12. Пример (метод разложения)

2 x 3x 4 x x
2x
3x
4x x
3.
dx ( 3 3
)dx
3
3
x
x
x
x
3
3
2
1,5
2
1,5
( 2 x x 4 x )dx 2 x dx x dx 4 x dx
5
2
5
2
3
1
x
1,5
2 x dx 3 dx 4 x dx 2 3 ln | x |
x
3
x 0 , 5
2 3
8
4
C x 3 ln | x |
C
0,5
3
x
2

13. Метод подведения функции под знак дифференциала

Свойства позволяют значительно расширить
таблицу основных интегралов с помощью приема
подведения функции под знак дифференциала.
Рассматриваемый метод применим в случае, если
подынтегральную функцию можно представить в
виде произведения двух функций:
f ( ( x)) ( x)

14. Метод подведения функции под знак дифференциала

где f и φ -некоторые функции, причем интеграл от
функции f является табличным.
Выражение (x ) легко внести под знак дифференциала
(для этого его надо проинтегрировать): ( x )dx d ( ( x ))
При этом получается, что и в аргументе функции f и под
знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение (x )
ò .å.
f ( ( x ))d ( ( x ))
Пользуясь свойством, получаем
f ( ( x))d ( ( x)) F ( ( x)) C

15. Пример (метод подведения под знак дифф-ла)

x cos x dx
2
3
Преобразуем заданный интеграл с учетом того, что
3
x
1 3
2
x dx d
dx
3 3
Получим:
3
x
x cos x dx cos x x dx cos x d 3
1
1
3
3
3
cos x dx sin x C
3
3
2
3
3
2
3

16. Пример (метод подведения под знак дифф-ла)

1
dx
cos(arcsin x )
2
1 x
Преобразуем заданный интеграл с учетом того, что
1
1 x2
Получим:
cos(arcsin x )
1
dx d arcsin x
dx cos(arcsin x )d arcsin x
1 x2
sin(arcsin x ) c x c

17. Метод замены переменной

Основная
идея
метода
замены
переменной заключается во введении
вместо переменной интегрирования x
новой переменной t таким образом, чтобы
преобразовать заданный для вычисления
интеграл к табличному виду.

18.

Метод замены переменной
x
å dx
dt
x
cos2 e x 1 cos2 t tg t C tg e 1 C
Ïóñòü e 1 t ,
d ( e x 1) dt,
x
(
e
1) dx dt,
òîãäà dt e x dx
x
.

19.

метод замены переменной
1
2
3
2
1
1 t
1 2
2
x 3x 1 dx 6 t dt 6 3 C 9 3x 1
2
2
Ïóñòü 3 x 1 t ,
2
d (3 x 1) dt,
2
dx dt,
(
3
x
1
)
òîãäà
6 õ dx dt
1
è
õ dx dt
6
3
2
C

20.

Интегрирование методом замены переменной.
6
sin 2 x dx
1 7
1 t
1
cos7 2 x 2 t dt 2 6 C 12 cos6 2 x C
Ïóñòü cos 2 x t ,
d (cos 2 x ) dt,
(cos 2 x ) dx dt,
òîãäà 2 sin 2 xdx dt
1
è
sin 2 x dx dt
2

21.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом замены переменной.
t2 1
1 4 2
1 5 1 3
x 2 x 1 dx 2 t t dt 2 t t dt 10 t 6 t C
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Ïóñòü
2 x 1 t,
2
2
( 2 x 1) t ,
2
2
x
1
t
t2 1
,
òîãäà x
2
dx t dt
.

22.

метод замены переменной
x dx
2 t
2. 3
2 x
2
3t dt 3 4t 4t
t
3 2
2
6 2 x
2
t 7 dt
12 5 3 8
6t t t C
5
8
12
3
2
23
2
3
2 x 2 x 2 x 2 x C.
5
8
2
3
4
Ïóñòü 3 2 x t ,
òîãäà x 2 t 3 ,
ò . å. dx 3t 2 dt

23.

Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
1
1
1
1. sin 3x cos x sin 4 x sin 2 x dx cos 4 x cos 2 x C.
2
8
4
dx
cos 2 5 x sin 2 5 x dx
1
1
2. 2
2
dx
2
2
2
2
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
1
1
ctg 5 x tg 5 x C.
5
5
x 4 3x 2 1
1
1 3
2
3.
dx x 2 2 dx x 2 x arctg x C.
2
x 1
x 1
3

24. Интегрирование по частям

Этот метод основан на формуле udv uv vdu .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .

25. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

26. Примеры

Пример. Вычислить
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x 2 dx
x2
ln x
=
2 x
2
1 x2
x2
1
x2
C .
ln x
ln x xdx
=
2 2
2
2
2

27. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл
ax b
dx ,
x px q
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального
выражения. Такой интеграл берут также
методом подстановки, предварительно
выделив в знаменателе полный
квадрат.
2

28. Пример

Вычислить
dx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуем x 2 4 x 5 ,
2
выделяя полный квадрат по формуле a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

29. Пример

Найти
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln( x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

30. Дополнительно: Таблица неопределенных интегралов

dx
arcsin x C . 16.
11.
12.
dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a C .
13.
dx
a2 x2
arcsin
x
C ..
a
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
19.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
20.
14.
15.
1 x
2
dx
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x