Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

1.

Тема 1. Численные методы алгебры
Лекция 4. Численные методы решения систем
нелинейных алгебраических уравнений
Цель:
изучить
систематизированную
основу
теоретических знаний численных методов решения
систем нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ).
Учебные вопросы:
4.1. Постановка задачи.
4.2. Метод простых итераций.
4.3. Метод Зейделя.
4.4. Метод Ньютона.
Литература к лекции 4:
[1], с. 69…74, 66…68;
[2], c. 43…48;
[3], c. 46…55.
1

2.

4.1. Постановка задачи
Исходные данные:
f 1( x1, x2,..., xn) 0,
f 2( x1, x2,..., xn) = 0,
..................
СНАУ
(1)
fn( x1, x2,..., xn) = 0,
(0 )
X
Начальное приближение:
(0 )
x1
(0 )
x2
(0 )
x3
(0 ) T
... xn
.
2

3.

4.2 Метод простых итераций
fi(x1, x2,..., xn) = 0,
xi = xi + fi(x1, x2,..., xn), i = 1,n.
(0)
xi i(x1, x2,..., xn), i 1, n.
имеем xi , i = 1,n.
(K 1)
xi
i(x1
(K)
(K)
, x2
(K)
,..., xn
(2)
), i 1, n , K 0 ,1,2 ,...,
условие остановки итераций:
X (K 1) - X ( K ) ≤ , - X ( K 1 ) , ≈ X ( K 1 ) , (3)
условие сходимости итераций к точному решению:
J(X
(K)
) 1, J ( X
(K )
∂ φi(X ),i=1,n
)
.
∂
X
(
K
)
X X
3
(4)

4.

Имеем: (K)
X
x1
( K 1 )
x2
(K )
(K )
x3
(K ) T
... xn
,
1( x1(K) , x2(K) , x3(K) ,...,xn(K) ),
2( x1(K 1) , x2(K) , x3(K) ,..., xn(K) ),
( K 1 )
x3
(K )
x1
( K 1 )
x2
4.3.Метод Зейделя
3( x1(K 1) , x2(K 1) ,x3(K) ,..., xn(K) ),
............................
( K 1 )
xn
n( x1(K 1) , x2(K 1) , x3(K 1) ,..., x(n - 1)(K 1) , xn( K ) ),
K =0,1,2,3,...,
условия сходимости и остановки итераций смотри на
слайде 3 – (3) и (4).
4

5. 4.4. Метод Ньютона

Исходные данные:
4.4. Метод Ньютона
fi( x1, x2 ,..., xn ) bi , i 1, n или F ( X) B,
X
(0 )
(0 )
x1
x2
(0 )
(0 ) T
... xn
(5)
.
Итерационная схема Ньютона:
X ( K 1 ) X ( K ) X ( K ) , K 0 ,1,2 ,3,....
F ( x1( K 1 ) , x 2( K 1 ) ,..., xn( K 1 ) )
Линейное разложение
в точке
(6)
X(K ) :
F ( x1( K 1 ) , x 2( K 1 ) ,..., xn( K 1 ) )
F ( x1
(K )
(K )
, x2
(K )
,..., xn
СЛАУ метода Ньютона:
F ( X )
)
X ( K ) ,
X X X ( K )
J ( X ( K ) ) X ( K ) B F ( X ( K ) ),
X ( K ) J ( X ( K ) ) 1 ( B F ( X ( K ) )).
(7)
(8)

6. Алгоритм метода Ньютона:

1. Имеем
2. Для
X
(0 )
x1
(0 )
x2
(0 )
... xn
K=0,1,2,3,….
(0 ) T
.
X ( K 1 ) X ( K ) J ( X ( K ) ) 1 B F ( X ( K ) .
3.Условие остановки итераций:
X ( K 1 ) X ( K ) .
4.Результат:
X
( K 1 )
.
Условие работоспособности метода Ньютона:
J(X (K) 0 , K 0 ,1,2 ,3,... .
(9)