Электрические однофазные цепи синусоидального тока

1.

В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел
ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом преимуществ:
– генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем
генераторы постоянного тока;
– переменный ток легко преобразуется в постоянный;
– трансформация и передача электрической энергии переменным током экономичнее
чем постоянным;
– двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и
невысокую стоимость.
В настоящее время переменный ток применяется в промышленном приводе и в
электроосвещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и в быту.
Производство электрической энергии также осуществляется на переменном токе.
Огромную роль в деле внедрения переменного тока сыграли русские ученые
П.Н.Яблочков и М.О.Доливо-Добровольский

2.

В электрических цепях электро-, радио- и других установках широко применяются
периодические ЭДС, напряжения и токи. Периодические величины изменяются во
времени по значению и направлению. Эти изменения повторяются через равные
промежутки времени Т, называемые периодом.
е
е
е
ωt
t
t
T
T
T
е
ωt
T
В линейных электрических цепях синусоидального тока
ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени
по синусоидальному закону , например,
e = Emах sin( t e),
u = Umах sin( t u),
i = Imах sin( t i),

3.

е
+Eмах
е1
ωt
T - период
f = 1/T – частота
e, u, i – мгновенные значения ЭДС,
-Eмах
T
напряжения, тока
Eмах, Uмах, Iмах -
амплитудные значения
ЭДС, напряжения, тока
t + e – фаза
Ψe – начальная фаза
Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, а
отрицательная вправо.
Знак начальной фазы определяется знаком мгновенного значения e, u. i при t = 0.

4.

u,i
Umаx
Imax
u(t)
i(t)
+u0
u = Umахsin(ωt + ψu),,
i = Imахsin(ωt ψi).
t
0
j =Ψ -Ψ
–i0
u
+φu –φ i
j
T
i
Совокупность векторов E, U, I, относящихся
к одной электрической цепи называют векторной диаграм
y
e
A
A2
A1
A0
0
e2 = Emax
A
ωt2
U
e1
ω
I
φ
e0
ωt1
e
ωt1
x
0
ωt
ωt2
0
e
ωT
а)
б)
Знак угла сдвига фаз между векторами
U и I, определяется направлением от
вектора тока к вектору напряжения.

5.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение
постоянного тока, при прохождении которого по одному и тому же
сопротивлению R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты,
сколько при прохождении синусоидального тока.
Количество теплоты Q, выделяемое в резисторе R за время Т при синусоидальном токе:
Q
sin
i
2
Rdt
, а при постоянном токе:
Q
пост
2
RI T
Так как Qsin = Qпост, то
T
1
I I m2 sin 2 t dt ;
T0
T
2 T
T
I m2
Im 1
I m2 T
1 2
2
I m sin t dt (1 cos 2 t ) dt dt cos 2 t dt
2T 0
T0
T 0 2
0
2
I
I m
2
E Emax / 2 ; U U max / 2 ; I I max / 2,

6.

За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока,
при котором за половину периода переносится такой же электрический заряд, что и при
синусоидальном токе.
T
I ср
2
I0
T
2
I m sin t dt
0
2 1
T 1
2 Im
I m cos cos 0
(cos 0 cos )
T
2
T
2 I m 2 T 2I m
.
2 T
Iср = 0,637Imax
Uср = 0,637Umax
Eср = 0,637Emax

7.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с
мнимая единица, символ.
осями 1 и j, где
Комплексные значения синусоидальных величин обозначают
I'' +j
+ω
İ
i
I'
+1
– i
Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия
(при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму,
а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показател
Алгебраическая форма записи:
I I j I
Тригонометрическая форма записи:
İ = Icos i + jIsin i .
İ*
.
I , U , E, несинусоидальных z, S.
I модуль
)
Показательная
форма
записи:
.
I I e j i
действующего значения тока, равный длине вектора;
I ( I )2 ( I )2 , где I I cos i действительная составляющая тока;
I I sin i - мнимая составляющая тока
i = arctg ( I / I
) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е.угол
действительной полуосью +1 при t = 0.
между вектором и
При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все законы и методы расчета
цепей постоянного тока действительны при условии, что все величины сопротивлений,
напряжений и токов выражены в комплексных числах.

8.

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера
через тригонометрическую форму записи
e
Например:
i
j
cos j sin
= 10cos37˚ + j10sin37º = 10 ·0,8 + j10 0,6 = 8 +j6 =
2
8
6
2
еjarctg6/8 = 10ej37°
Умножение комплексного числа на + j приводит к увеличению его аргумента на 90º
и повороту вектора на 90º против часовой стрелки (в положительном направлении);
умножение на j – к уменьшению аргумента на 90º и повороту вектора на 90º
в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
U 10e ; I 5e . Z
j 37
j 60
j 37
U 10 e
j 23
Z
2e
j 60
I
5e
При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные
величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные
по знаку аргументы:

9.

Закон Oма для участка цепи:
I U / Z UY
Y = 1/Z =
I /U
где Y – комплексная полная проводимость,
Первый закон Кирхгофа:
n
k 1
İk = 0,
где İk токи, сходящиеся в одном узле.
Второй закон Кирхгофа:
n
n
k 1
k 1
U k = Zkİk,
U k напряжения источников питания, расположенных в контуре;
Zk
и İk сопротивления и токи отдельных приемников энерги
расположенных в этом контуре.

10.

Для упрощения расчета электрической цепи синусоидального тока реальную
цепь заменяют схемой замещения, составленной из так называемых
«идеальных» элементов:
резистивный элемент с активным сопротивлением R(Ом),или активной
проводимостью G = 1/R(Cм);
индуктивный элемент с индуктивностью L (Гн) и реактивным индуктивным
сопротивлением XL = 2πƒL(Ом ) или реактивной индуктивной проводимостью
BL = 1/XL (См);
емкостный элемент с емкостью С, и реактивным емкостным сопротивлением
XC = 1/2πƒC (Ом) или реактивной емкостной проводимостью BC = 1/XC,( (См).
При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все
законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны при
условии, что все величины сопротивлений, напряжений и токов
выражены в комплексных числах.

11.

Напряжение u = Umахsinωt. ψu = 0 º.
IR
U
R
i = Umахsinωt/R = Iмахsinωt, ψi = 0°
Imах = Umах/R или I = U/R.
Напряжение u и ток i в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе.
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:
φ = ψu ψi = 0° 0° = 0°
Комплексные напряжение и ток цепи с резистивным
элементом:
Ù = Uej0; ψu = 0°;
İ = Iej0; ψi = 0° .
Комплексное сопротивление цепи:
Z = Ù /İ = Uej0/Ie j0= R
Векторная диаграмма
+J
uR,
iR
İR
0
Временная диаграмма
UR +1
uR
iR
ωt
0

12.

Мощность цепи с R-элементом:
p = ui = Umахsinωt Imахsinωt = U * I (1 – cos2ωt ),
u, i, p
uR
i
P
+
0
pR
+
t
В цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая
энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее
значение мощности за период равно активной мощности, так как cosφ = 1.
Комплексная мощность:
S = Se j φ = UIcos0º + jUIsin0º =UI, ВА
Р = UI = RI2, Вт[кВт, мВт]

13.

Напряжение u = Umахsinωt
eL u L
U
L
u uL = 0, u = еL,
еL = wdФ/dt = Ldi/dt,
Umах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L.
i
i = Umахcosωt/ωL = Umахsin(ωt π/2)/ωL = Imахsin(ωt π/2).
U +j
i
j
Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = Ом.
Это индуктивное сопротивление:XL = ωL = 2πfL.
+1
Ù = Ue j0, ψu = 0o; İ = Ie j90, ψi = 90°
.
U
Z = Ù /İ = Ue j0/Ie j90 = X ej90 = jX
L
.
IL
Z
L;
j 90
j X L X Le
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:
φ = 0° – ( 90° ) = +90o
Таким образом, синусоида тока в цепи с идеальной индуктивной катушкой
отстает от синусоиды напряжения на угол 90º.

14.

Векторная и временная диаграмма цепи с идеальной
индуктивностью

15.

P = ui = Umахsinωt * I mахsin(ωt 90°) = UIsin2ωt.
u, i, p
i
uL
PL
QC
+
+
0
-
-
t
Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в
другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией
характеризуется реактивной мощностью QL = UI,вар [квар, мвар]
S=
UI *= Sejφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI
QL = UI = XLI2, вар[квар,мвар]

16.

Реальная индуктивная катушка в цепи переменного тока
Комплексное сопротивление цепи с реальной индуктивной катушкой при
R = 8 Ом, ХL = 6 Ом равно:
jarctg6/8 = 10ej37°
Z = 8 +j6 = 8 6 е
2
2
Задача
Напряжение сети u = 14,1 sin ωt, R = 10 Ом, L = 0,03 Гн. Определите комплексные
сопротивление и ток цепи в алгебраической и показательной формах эаписи.

17.

u = Umахsinωt,
Ic
Q = Cuc, где uс падение .напряжения на конденсаторе
По II ЗК Кирхгофа: u = uc.
C
i = dQ/dt = ωCUmахcosωt = ωCUmахsin(ωt + π/2) = Imахsin(ωt + π/2),
~U
Imах = ωCUmах = Umах/(1/ωC).
Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления,
[с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом]. Это емкостное сопротивление
+j
.
IC
Xс = 1/ωC = 1/2πfC.
U
U
= Uej0; ψu = 0º;
j –
İ = Ie j90;; ψi = + 90º;
ji
+1
.
U
j0
j 90
j 90
Z = Ù /İ Ue / I xc e jxc
Z
j 90
j X C X Ce
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:
φ = ψu ψi = 0º 90º = 90º.
Таким образом, синусоида тока в цепи с конденсатором опережает синусоиду
напряжения на угол 90º.

18.

Векторная и временная диаграмма цепи с конденсатором

19.

Р = ui = Uмахsinωt * I mахsin(ωt + 90°) = UIsin2ωt,
u, i, p
i
uC
PC
+
+
0
t
-
-
Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в
другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией
характеризуется реактивной мощностью Qс = – UI,вар [квар, мвар]
S == UI *=Se jj = UIcos90° – jUIsin90°= – jUI
Qc = –UI= –ХсI2, вар

20.

UR
U
I
R
UL
i = Iмахsinωt
UC
XL
u = uR + uL + uC
u = UmахRsinωt + UmахLsin(ωt + π/2) +
+UmахC sin(ωt π/2) = Umaxsin(ωt + φ).
XC
Полное напряжение цепи состоит из двух синусоидальных слагаемых одинаковой
частоты, а, следовательно, являются так же синусоидальными с некоторой
амплитудой Umах и фазовым углом φ (при условии, что начальная фаза тока равна 0).
+j
u = Umахsin(ωt+φ).
UR
UC
UL
U
φ
UP = UL - UC
UR
I
+1
UC
Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R, L, C при
XL>XC и Ψi= 0

21.

Комплексное напряжение цепи
U = IR + I jXL I jXC =
I[(R + j(XL XC)] = Ue jφ
Z=
Модуль комплексного
сопротивления - полное
сопротивление цепи
φ = arctg(XL – XC) / R - Аргумент комплексного сопротивления цепи
– сдвиг по фазе синусоид напряжения и тока
XL XC – реактивное сопротивление цепи
I = U/z – ток цепи

22.

Qр = QL - QC
UP = UL - UC
U
S
UR = Ucosφ;Up = Usinφ;
φ
φ
UR
U
P
2
2
S = P Q .
U R U P
2
P = Scosφ; Q = Ssinφ;
2
Z = U/I
φ
X = (UL – UC)/I
R = Zcosφ; X = Zsinφ;
R = UR/I
Z R2 X 2 .
cosφ = UR/U = R/Z = P/S; cosφ – коэффициент мощности – важный показатель
электрооборудования. Определяет, какую часть от полной мощности составляет
активная мощность, мощность, расходуемая на совершение полезной работы.

23.

Резонанс – это явление в электрической цепи, при котором ток и напряжение цепи совпадают
по фазе. Резонанс напряжений возникает в цепи при последовательном соединении элементов,
при XL = XC. Так как при этом Z = R, т. е. полное сопротивление имеет минимальное значение,
следовательно, ток цепи будет максимальным. В этом режиме резко возрастают напряжения
на реактивных элементах XL и XC. Происходит непрерывный обмен энергии между магнитным
полем катушки и электрическим полем конденсатора.
Равенства ХL и XC можно добиться изменением L, C, f.
U, UR, UL, Uc
Uc
UL
U
+90
I, UR
ωL
f
0
j
90

24.

U = Umaxsinωt
U
I
IR
XL
R
IL
XC
IC
i R = ImахRsinωt;
i L = ImахLsin(ωt π/2);
i C = ImахCsinωt(ωt + π/2).
IR =U/R=GU; IL=U/XL = BLU; IC = U/XC = BCU.
где G = 1/R; BL = 1/XL; BC = 1/XC, Y = 1/Z
– активная, индуктивная, емкостная и
полная проводимости цепи.
I = U/Z =YU, А

25.

По I ЗК для цепи:
İ = İR + İL + İС ;
В комплексной форме записи: напряжение источника питания
U Ue
Векторные диаграммы
+j
İc
j0
u 0
I=
G2 ( BL BC )2 U .
Треугольник токов
Треугольник проводимостей
İ
U
φ
+1
İR
ВL< ВC
İL
Y = 1/Z
I = U/Z
Ip = U/Xp
,
j
j
+j
U
+1
φ
İL
İ
İR
ВL> ВC
İc
B = 1/Xp
Ia = U/R
G = 1/R
G = Ycosφ;
B = Ysinφ;
φ = arctg(B/G) = arctg((BL – BC)/G).
Полная проводимость цепи в комплексной форме
Y
_
1
1
jj
Y
G jB
e
jj
Z
Ze

26.

I = YU =
G2 ( BL BC )2 U .
İL
İ= İC
İa
İC
İL
j=0
Состояние цепи, когда общий ток совпадает по фазе с
напряжением, реактивная мощность равно нулю, а цепь
потребляет только активную мощность, называют
резонансом токов.
0
В режиме резонанса токов ток IL равен току IC.
Эти токи могут превышать общий ток I в цепи
cosφ=1 в BL/G (Bc/G) раз, если BL = BC > G.
cosj, I
I
cosj,
II
I
С
0
Cp

27.

I
Полная проводимость ветви с R и L
I2
I1
U
R1
Y1 = 1/Z1 = 1/(R1+jX1)= (R1 jXL)/(R1 + jXL) (R1 – jXL) =
R2
Активная проводимость.
R
G
Z
C
Индуктивная проводимость:
B
L
j
X
Z
j
X
Z
L
2
1
Полная проводимость ветви с R и C
Y2 = 1/Z2 = 1/( R2 – jXC) = (R2+JXC)/[(R2 jXC)(R2 + jXC)] =
U
=
j=0
Ia = I
I1
R
Z
2
2
j
2
X
Z
C
2
2
Активная проводимость
G2
Ia1
Емкостная проводимость
Ia2
B
C
R
Z
2
2
2
j
X
Z
C
2
2
Полная проводимость всей цепи при BL > BC:
I2
Ic
1
2
1
1
2
1
L
R
Z
0
IL
Y= Y1 + Y2 = (G1 + G2)+ j(BC – BL) = Y е jφ
Комплексный ток цепи:
I YU U / Z
L
2
1

28.

Резонанс токов нашел широкое применение в
мероприятиях по повышению коэффициента мощности
промышленных предприятий.
Iл
U
Iпр
U
Ic3
Ic4
Rпр
Ic2
İл1
Iл3
Iл4
C
Iл2
Iпр
j1
Xпр
Ic
Ic4
Ic3
jпр
Ic2
0
IпрL
Реактивная мощность конденсаторной батареи уменьшает общую реактивную мощность
установки, так как Q = QL – QC, и тем самым увеличивает коэффициент мощности.
Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах, соединяющих
потребитель с источником питания и полной мощности источника.

29.

В электрической цепи, к которой приложено напряжение u = Umaxsinωt
и в которой протекает ток Imахsin(ωt - φ), мгновенная мощность, поступающая в цепь будет равна:
р = UmaxImax sinωtsin(ωt - φ ) = UI((cos φ cos(2ωt φ ))
имеет две составляющие: постоянную UIcos φ и косинусоидальную, UI(cos(2ωt φ),
имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.
Среднее значение второй составляющей за время Т, в течение которого она совершает
два цикла изменений, равна нулю.
Активная мощность однофазной цепи P, Вт (кВт):
P UI cos j I 2 R U 2G.
вар(квар):
Q = UIsinφ = I2X = U2B,
Реактивная мощность Q,
где X = XL – XC реактивное сопротивление;
B = BL – BC реактивная проводимость;
Q = QL QC, где QL индуктивная мощность,
QC емкостная мощность, Q реактивная мощность.
Полная мощность S,
В∙А(кВ∙А),:
2
2
2
2
S= P Q . = I Z = U Y
Комплексная
полная мощность: S , В•А (кВ∙А):
:
S = Sejφ = UI *= UIcosφ + jUIsinφ =P+jQ,ВА

30.

Расчет электрической цепи комплексным методом ведут в следующей
последовательности:
1) определяют комплексные сопротивления отдельных ветвей и всей цепи;
2) в зависимости от типа электрической цепи выбирают метод расчета цепи
(если цепь простая – метод свертывания; сложная – какой-либо из методов
расчета сложных цепей);
3) определяют токи и напряжения ветвей;
4) правильность расчета проверяют составлением баланса активных и реактивн
мощностей:
Рист = Σ Рпр , Qист = Σ Qпр, Sист =U I* = Pист ± jQист ,

31.

1. Катушка индуктивности L = 0,032 Гн подключена к источнику питания U = 80 В,
f = 50 Гц. Вычертить электрическую схему цепи, определить ток, мощность и
построить векторную диаграмму, если начальная фаза напряжения ψU = 30°.
2. Конденсатор С = 600 мкФ подключен к источнику питания U = = 40В, f = 50 Гц.
Вычертить электрическую схему цепи, определить ток, мощность и построить
векторную диаграмму, если начальная фаза тока ψi = – 30°.
3. В цепь синусоидального тока частотой f = 50 Гц последовательно включены
R1 = 50 м, R2 = 40 м, L = 0,096 Гц, С = 630 мкФ. Напряжение на конденсаторе
Uc = 30 В. Определить ток, активную, реактивную и полную мощность цепи.
Вычертить электрическую схему цепи и построить векторную диаграмму, если
начальная фаза тока ψi = – 45º.
4. В цепь синусоидального тока f = 50 Гц параллельно включены две ветви
с параметрами R1 = 8 Ом; L1 = 0,016 Гн; R2 = 4 Ом; С2 = 680 мкФ.
Напряжение на R2 = 40 В. Вычертить электрическую схему, определить токи в
ветвях. Построить векторную диаграмму, если начальная фаза напряжения
источника питания ψu = 0.