Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока

1. Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока

Переменный ток
Линейные электрические
цепи однофазного
синусоидального тока
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

2.

Цепью однофазного синусоидального тока называется
электрическая
цепь,
находящаяся
под
воздействием
синусоидального источника питания одной частоты.
Если в электрической цепи существует источник питания
форма которого близка к синусоидальной, то в линейной
электрической цепи все токи и напряжения будут иметь
синусоидальную форму
i(t)
Im-амплитудное
значение
Im
i(t)- мгновенное
значение
t
φ
i(t)
ωt+φ
φ-начальная фаза
Т
Т/2
2
- угловая частота
T
(ωt +φ )- фаза колебания
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

3.

i (t) = I m Sin (ωt+φi)
u (t) =Um Sin(ωt+φu)
e (t)=E m Sin (ωt+φE)
e(t), u (t), i (t) – мгновенные значения
тока, напряжения ЭДС.
I m, Um, E m –амплитудные значения
тока, напряжения ЭДС.
φi, φu,φE- начальные фазы тока, напряжения ЭДС.
Максимальное, среднее и действующее значение
синусоидальных тока, напряжения и ЭДС.
Определение среднего значения:
Под средним значением переменного синусоидального тока
понимается его средне-интегральное значение за половину
периода
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

4.

1
Icр
Т/2
Т/2
0
2
I m sin tdt
T
T/2
0
2
I m sin tdt
T
2I m
2 T
2 T/2 Im
Im [ cos t]|0 [ cos cos 0]
T 2
T
I cp
2I m
Ucp
2Um
Переменный ток
Ecp
2Em
Кафедра
ТОЭ НГТУ

5.

Действующее значение
Определение:
Под действующим значением переменного тока
понимается его средне - квадратичное значение
I
1
T
T
0
i (t )dt
2
1
T
T
I m sin2 t dt
2
0
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

6.

T
Im T
2
( dt cos 2 dt)
2T 0
T
0
2
T
1 2 1
I m (1 cos 2 t)dt
T0
2
I
Im
2
U
Um
2
Переменный ток
2
Im
Im
T
2T
2
E
Em
2
Кафедра
ТОЭ НГТУ

7.

Физически, действующее значение переменного
тока равно такому постоянному току, при котором в
активном сопротивлении за одно и то же время
выделается такая же мощность, как и на переменном токе.
Докажем ,что это так.
1. Пусть некоторое сопротивление обтекается
постоянным током I
R
I
В этом сопротивлении выделяется мощность
P=I U=I2 R
U
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

8.

Пусть то же самое сопротивление
переменным синусоидальным током
2.
i (t)
R
обтекается
Введем понятие мгновенной мощности
р=i(t) u(t).
Тогда активная мощность выделяющаяся в
этом сопротивлении за время
равное
периоду
u(t)
T
1
P
T
p ( t )dt
T
T
0
T
(U
0
u ( t )i ( t )dt
T
0
1
1
m
sin
2
T
t )( I m sin
Переменный ток
2
T
)dt
Кафедра
ТОЭ НГТУ

9.

T
T
Um I m 1
Um I m
2
[ ( cos 0dt cos(2 t)dt)]
t
T
2 0
T
2T
0
T
0
UmIm
Um Im
2
UI IRI I R
2
2 2
На постоянном токе Р=I2R
На переменном
токе
Р=I2R , где I действующее значение переменного тока
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

10.

Векторные диаграммы
Рассмотрим вектор А , изображающий некоторое комплексное
число на комплексной плоскости.
+Ј
j
А
b
+1
φ
a
1
- мнимая
единица
b A sin
- Мнимая часть
комплексного числа
a A cos
- действительная
часть комплексного
числа
ωt
А = a +Jb - комплексное число в алгебраической форме
А – модуль комплексного числа
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

11. Переменный ток

Векторные диаграммы
Если вектор A
начать вращать против
часовой стрелки со скоростью ω, то его проекция
на мнимую ось может быть записана следующим
образом A
Jm ( A )=Asin(ωt+β), что совпадает
с
записью
мгновенного
значения
тока
[ i(t)=Imsin(ωt+φ) ].
Таким образом, мгновенное
значение тока i(t) может быть изображено
вектором,
вращающимся
на
комплексной
плоскости со скоростью ω .
А - комплексное число. Обозначается
подчеркнутой буквой.
Переменный
ток ток
Переменный
Кафедра
ТОЭ НГТУ

12.

Комплексное число может быть записано в
следующих формах:
• Алгебраической форме А= а + jb
a- действительная часть комплексного числа
b- мнимая часть комплексного числа
• Показательной форме A=А e jβ
А-модуль комплексного числа (неподчеркнутая
буква)
β-аргумент комплексного числа
• Тригонометрической форме А= A cos β+jA sin β
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

13.

Векторные диаграммы
При этом
a = A cos β, a b = A sin β;
A
a b;
2
2
arctg
b
a
Совокупность векторов, изображающих токи и
напряжения на комплексной плоскости называется векторной
диаграммой.
Замечание.
Векторная диаграмма может быть изображена и без
комплексной плоскости и без соблюдения масштабов векторов.
Такая диаграмма называется качественной. При построении
качественной
векторной
диаграммы
тем
не
менее
выдерживается (если это возможно) точный относительный
фазовый сдвиг векторов. Такая диаграмма используется для
расчета электрических цепей переменного тока.
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

14.

Синусоидальный ток в элементах электрической
цепи
1.Синусоидальный ток в активном сопротивлении
R
i(t)
i(t) =Imsin(ωt+φ);
u (t) = I (t) R
u(t)=ImR sin (ωt+φ)
U(t)
Обозначим ImR=Um , тогда u(t)= Um sin(ωt+φ)
ImR=Um
I
Im
U
2
Um
-закон Ома для амплитудных значений
-действующее
-действующее
значение тока
значение напряжения
2
IR=U
-закон Ома для действующих значений
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

15.

Качественная векторная диаграмма
Пусть начальная фаза тока φ =0
i(t) =Imsinωt
I
U
u(t) =Umsinωt
На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по
фазе
2.Синусоидальный ток в индуктивности
2.1 Индуктивность
H-напряженность магнитного поля [A/м]
H
I
В=μН -индукция магнитного поля [Гс ]
B ds
s
- магнитный поток [вб]
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

16.

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи
ψ = wФ -потокосцепление.
L
I
, [Гн]
L- коэффициент пропорциональности между
потокосцеплением и током
L
i(t)
i(t) =Imsinωt
u(t)
(1)
d
u(t ) e(t )
dt
(t ) Li (t )
di(t )
u(t ) L
dt
(2)
подставим в (2) ток i(t), т.е. (1)
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

17.

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи
di(t )
d
u(t ) L
L
(I m sin t )
dt
dt
L Im cos t
LIm sin( t )
2
Обозначим ωLIm=Um, а ωL=xL
XL=ωL –реактивное сопротивление индуктивности
(индуктивное сопротивление)
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

18.

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи
Um
Im
2
xL ;
2
U Ix L
Um=ImxL
Закон Ома для действующих
значений и амплитуд
Качественная векторная диаграмма
L
iL(t)
iL(t) =Imsinωt
UL (t ) Um sin( t )
2
UL(t)
UL
2
IL
В индуктивности напряжение
опережает ток на угол 90
градусов.
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

19.

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи
3.Синусоидальный ток в емкости
С
ic(t)
Uc(t)
q (t) = Cu(t)
uc(t)=Umsinωt
q(t)=C Umsinωt
dq(t )
i( t )
dt
iC(t)=CωUmcosωt =ωCUmsin(ωt+
)
2
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

20.

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи
Im=ωCUm
I=ωCU
-Закон Ома для амплитудных и
действующих значений на емкости
обозначим
bc=ωC- реактивная проводимость емкости
1
1
Xc
bc
c
-реактивное сопротивление емкости
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

21.

Синусоидальный ток в элементах электрической цепи
Качественная векторная диаграмма
С
iC (t)
UC (t)
IC
2
UC
UC (t)=Umsinωt
ic(t)=Imsin(ωt+ )
2
В емкости ток опережает приложенное к
ней напряжение на 90 градусов.
XL L - индуктивное сопротивление
XC
1
C
- емкостное сопротивление
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

22. Переменный ток

Ток при последовательном соединении
R, L, C.
i(t)
R
L
С
i(t)=Imsinωt
uR(t)
uL(t)
u(t)
uC(t)
u(t)=uR(t)+uL(t)+uc(t)
U=UR+UL+UC
(1)
(2)
(3)
В соответствии с (3) построим векторную диаграмму
напряжение UR=IR - совпадает по фазе с током I
напряжение UL=I jxL- опережает по фазе ток I на 900
напряжение Uc=I(–jxc) – отстает по фазе от тока на 900
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

23. Переменный ток

-IjXC
U
φ
I jxL
I
IR
U
Из векторной диаграммы следует
U
U 2R ( U L UC )2
Подставив значения напряжений, получим
I 2 R 2 I 2 ( X L XC ) 2 I R 2 ( X L Xc ) 2
Введем обозначения Z
R 2 ( X L XC ) 2
X XL XC
Z – полное сопротивление участка электрической цепи
Х - полное реактивное сопротивление участка
электрической цепи
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
ТОЭ
НГТУ
НГТУ

24. Переменный ток

Если электрическая цепь содержит ряд последовательно
соединенных активных сопротивлений, то суммарное активное
сопротивление равно их сумме
R = R1+R2+R3 +…….+Rn
Если электрическая цепь содержит ряд последовательно
соединенных индуктивных сопротивлений, то суммарное
индуктивное сопротивление равно их сумме
XL=XL1+XL2+XL3….+XLn
Если электрическая цепь содержит ряд последовательно
соединенных емкостных сопротивлений, то суммарное
емкостное сопротивление равно их сумме
XC=XC1+XC2+XC3….+XCn
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

25. Переменный ток

X=XL-XC -суммарное реактивное сопротивление
участка электрической цепи
Z
-полное сопротивление участка
электрической цепи
R 2 X2
-IjXC
U
Если каждый вектор диаграммы рис1. разделить
на ток, то получим вектора сопротивлений. (Рис2.)
I jxL
φ
I R
I
Рис1.
XC
Z
φ
R
Рис2.
Некоторые формулы для сопротивлений.
XL
R=Zcosφ; X= Z sinφ; X=XL-Xc
arctg
x x
x
arctg L c
R
R
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

26. Переменный ток

Um
U
Z
Im
I
Полное сопротивление участка электрической
цепи – равно отношению амплитудных, либо
действующих значений напряжения на концах
участка к току в нем.
Полное сопротивление участка электрической цепи всегда
положительно (Z>0).
Полное реактивное сопротивление участка электрической цепи (х)
может быть как положительным, так и отрицательным.
Если х>0, то электрическая цепь носит индуктивный характер. В
этом случае напряжение в цепи опережает ток и φ>0. (Рис.1).
U
φ
I
Рис.1
XL Xc
arctg
0
R
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

27.

Переменный ток
Если Х<0, то ХL<Xc, электрическая цепь носит емкостной характер. В ней
напряжение отстает от тока на некоторый угол φ.(Рис 2.)
I
arctg
φ
U
XL Xc
0
R
Рис.2
Параллельное соединение R,L,C.
i(t)
1
iR(t)
u(t)
iL(t)
R
ic(t)
L
С
Для
мгновенных
значений
тока
справедливы законы Кирхгофа. Первый
закон Кирхгофа для узла 1
i(t)=iR(t)+ iL(t)+ic(t)
Рис 1.
Переменный ток
(1)
Кафедра
ТОЭ НГТУ

28.

Переменный ток
Запишем 1 закон Кирхгофа в комплексной форме
I I R IL IC
(2)
IL
I
IC
IR
U
φ
Рис.2
I
I 2R (I L I C )2
(3)
I, IR, IL, IC- действующие значения
Введем понятия активной и реактивной
проводимости
g- активная проводимость
1
xL
1
bc
xc
bL
- реактивная проводимость индуктивности
- реактивная проводимость емкости
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

29.

Переменный ток
IR=Ug;
IL=UbL;
Подставим эти выражения в (3)
Ic=Ubc
Подкоренное
выражение
имеет
размерность проводимости, обозначим
ее Y.
I U g 2 (b L b c ) 2
Y
g (b L bC )
2
b = (bL- bC)
2
Y-полная
проводимость
электрической цепи.
участка
Полная реактивная проводимость участка
электрической цепи.
Если bL >bC , цепь носит индуктивный характер, в
цепи напряжение опережает ток.
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

30.

Переменный ток
IC
IL
IR
Если векторную диаграмму токов (Рис.3) разделить
на напряжение, получим диаграмму проводимостей.
(Рис.4)
U
φ
I
Рис. 3
bC
g
φ
Y
bL
b
g =Ycosφ
b =Ysinφ
Y
g 2 b2
b
bL
arctg arctg
g
bC
Рис.4
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

31.

Переменный ток
Эквивалентные зависимости, связывающие полные, активные и
реактивные сопротивления и проводимости
x
R
1
Z
Y
Рис.5
g
x
sin
z
r
cos
z
b
g
cos
Y
b
sin
Y
1
Y
Z
(1)
(2)
Рис.6
Z - полное сопротивление цепи
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

32.

Переменный ток
Приравняем тригонометрические функции в формулах (1) и (2)
r
g (3)
x
b
z
Y
z
Y
rY
r
r
g
2 2
Z
Z
r x2
Из (3) и (4) найдем
b.
(4)
g
и
(5)
xY
x
x
b
2 2
2
Z
Z
r x
Переменный ток
По формулам 5 и 6
производится пересчет
сопротивлений
последовательной
схемы в параллельную
(6)
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
НГТУ
ТОЭ
НГТУ

33.

Переменный ток
Если из уравнений (3) и (4) найти r и х, то получим
формулы для пересчета сопротивлений параллельной
схемы в последовательную
gZ
g
g
r
2 2
Y
Y
g b2
bZ
b
b
x
2 2
Y
Y
g b2
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
ТОЭ
НГТУ
НГТУ

34.

Переменный ток
Мощность в цепи переменного тока
1. Активная мощность
u(t)=Umsin ωt
Введем понятие мгновенной мощности
i(t)=Imsin(ωt- φ)
p = u(t) i(t) - мгновенная мощность
Активная мощность обозначается большой буквой Р и равна
среднему значению мгновенной мощности за период.
T
T
T
1
1
1
2
2
P p(t)dt u(t)i(t)dt (Um sin t)(Im sin t )dt
T0
T0
T0
T
T
T
T
Um I m 1
Um I m
2
[ ( cos dt cos(2 t )dt)] t
cos
T
2 0
T
2T
0
Переменный ток
T
=
0
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
ТОЭ
НГТУ
НГТУ

35.

Переменный ток
UmIm
cos UI cos
Р=UI cosφ
2 2
Другие формулы для расчета активной мощности
P=I2R
P=UаR
P=UIа
U2
P
R
2.Реактивная мощность
Q=UIsinφ
Q=I2Х
Q=UрI
Q=UIp
Q=U2b
U2
Q
X
Переменный ток
Up, Iр - реактивные
составляющие
напряжения и тока
соответственно
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
ТОЭ
НГТУ
НГТУ

36.

Переменный ток
3.Полная мощность
Треугольник мощностей
S=UI - полная мощность
S
P 2 Q2
Q=UIsinφ
φ
Q
arctg
P
P=UIcosφ
cos φ – коэффициент мощности
Связь между активной, реактивной и полной мощностью
Р=S COS φ
Q=S sinφ
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

37.

Переменный ток
Зависимость между активной мощностью и
коэффициентом мощностью
I
φ=0
Р=Рmax
COS φ=1
I
Р=0
COS φ=0
2
В
реактивных
сопротивлениях
активная мощность отсутствует
I
U
U
U
Измерение активной мощности
Активная мощность в электрической цепи измеряется
приборами, которые называются ваттметрами.
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

38.

ВАТТМЕТР
*
Переменный ток
I
Токовая
обмотка
U
*
Обмотка
напряжения
*
*
W
U
Р=UIcosφ
Сопротивление обмотки напряжения очень велико ( ZU=∞ )
Сопротивление токовой обмотки практически равно нулю (
ZI=0 )
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

39.

Переменный ток
Экспериментальное определение параметров
электрической цепи.
*
I
A
U
*
W
V
эл.
цепь
Необходимо определить параметры
электрической цепи (Z,R,L,C,X) по результатам
измерений включенных в цепь приборов.
При расчетах будем предполагать, что сопротивление амперметра
и токовой обмотки ваттметра равны нулю, а вольтметра и обмотки
напряжения ваттметра равны бесконечности.
Переменный ток
Кафедра
Кафедра
ТОЭ
ТОЭ
НГТУ
НГТУ

40.

Переменный ток
Если
считать
схему
замещения
электрической
цепи
последовательным соединением активного и индуктивного
сопротивлений ,то:
I
R
X
Известно:
U
U
Z
I
P
R 2
I
X
Z R
2
2
А
I
V
U
W
Р
x
arctg
R
При параллельной схеме замещения
I
U
b
I
Y
U
g
P
g 2
U
Переменный ток
b
Y2 g 2
Кафедра
ТОЭ НГТУ

41.

Переменный ток
Для
определения
характера
реактивного
сопротивления подключают последовательно к
исследуемой цепи емкостное сопротивление хс~2x и
вновь определяют полное реактивное сопротивление
х'. Если х'>x, то цепь имеет емкостной характер и
полное реактивное сопротивление - емкостное, если
х'<x,
то
полное
реактивное
сопротивление
индуктивное.
При параллельной схеме замещения к цепи
подключают параллельно емкостное сопротивление
хс≥2х.Если при подключении емкости ток в цепи
увеличивается, то характер цепи емкостной, если
уменьшается , то индуктивный.
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ

42.

Построим для этих случаев векторные диаграммы.
I
IC
I'
φ
I
φ
U
U
a)
φ<0
U
φ
I'
I
IC
Φ>0
b)
Переменный ток
Кафедра
ТОЭ НГТУ