Модель свободных электронов. Теория металлов Друде. Основные положения. Статическая электропроводность

1. Тема 4 Модель свободных электронов. Теория металлов Друде. Основные положения. Статическая электропроводность.

Теплопроводность. Закон
Видемана-Франца. Эффект Холла, постоянная
Холла. Теплоемкость. Теория металлов
Зоммерфельда.
Уравнение Шредингера для свободных
электронов. Граничное условие Борна-Кармана.
Характеристики фермиевских электронов для
стандартного металла. Недостатки модели
свободных электронов.
1

2.

Модель свободных электронов
Теория металлов Друде
Основные положения:
•1) Газ независимых электронов. В интервалах между столкновениями не
учитывается взаимодействие электронов с другими электронами и
ионами. В отсутствие электромагнитных внешних полей электрон
движется по прямой с постоянной скоростью до очередного
столкновения.
2) Столкновения - мгновенные события, внезапно меняющие скорость электронов.
3) В единицу времени электрон испытывает столкновение с вероятностью W~1/t .
За время dt - W ~ dt/ t.
t- время релаксации, не зависит от пространственного положения электрона и его
скорости.
4) Электрон приходит в состояние теплового равновесия со своим
окружением исключительно благодаря столкновениям.
2

3.

е = 1,60 -10-19 Кл
число электронов на 1 см3
3

4.

Электронные плотности и удельные сопротивления (в мкОм см)
некоторых металлических элементов
Эл-т
Z
n,
1022cм-3
rs, A
rs/a0
Al
3
18.1
1.1
2.07
0.3
2.45
Cu
1
8.47
1.41
2.67
0.2
1.56
Fe
2
17.0
1.12
2.12
0.66
8.9
Ag
1
5.86
1.6
3.02
0.3
1.51
Au
1
5.9
1.59
3.01
0.5
2.04
, 77K
, 273K
4

5.

Статическая электропроводность металлов
Плотность тока j - вектор, параллельный потоку заряда; его величина равна количеству заряда, проходящему за
единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку.
+
5

6.

dv/dt = -eE/m, средняя скорость vср = -eE/m
6

7.

7

8.

Оценки
v0 (107 см/с)
ℓ
8

9.

В каждый момент времени t средняя скорость электронов v равна р (t)/m, где р —
средний импульс, т. е. полный импульс, приходящийся на один электрон.
Плотность тока
t --- р (t)
Вычислим р (t+dt)
с момента времени t до t + dt – вероятность испытать столкновение dt/t,
вероятность без столкновений - (1 - dt/t).
Если электрон не испытывает столкновений--- сила f (t)
приобретет дополнительный импульс - f (t) dt +0 (dt2).
9

10.

Электроны, не испытавшие столкновений в интервале t и t+dt -- t+dt
(1 — dt/t) * (р (t) + f (t) dt + 0 (dt2)).
Поправка за счет электронов, испытавших столкновение в интервале от
t до t +dt ≈0 (dt2).
Пренебрегаем вкладом в р (t + dt) от тех электронов, которые
испытали столкновение за время между t и t + dt
10

11.

Это уравнение означает-- эффект столкновений отдельных электронов сводится к
введению в уравнение движения для импульса, приходящегося на один электрон,
11
дополнительного слагаемого, описывающего затухание за счет трения.

12.

Эффект Холла И МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЕ
12

13.

величина (магнитосопротивление) не зависит от поля
Коэффициент
Холла
измерения поля Холла позволяют определить знак носителей заряда
13

14.

имеется электрическое поле с произвольными компонентами Ех и Еy, а также магнитное поле Н,
направленное вдоль оси z. На каждый электрон действует (не зависящая от пространст-венных
координат)
X
14

15.

Поле Холла
15

16.

в действительности эти коэффициенты обычно зависят от магнитного поля,
от температуры и от того, насколько тщательно приготовлен образец.
Зависимость величины
от
для алюминия.
Значение плотности n в модели свободных электронов найдено по номинальной химической валентности, равной в
данном случае трем. Значение nо/n в сильных полях показывает, что на элементарную ячейку приходится лишь один
носитель, причем положительно заряженный.
16

17.

безразмерная величина
wCt
Когда величина w t мала ток j почти параллелен Е, как это было бы в отсутствие магнитного поля.
В общем случае ток j направлен к Е под углом j (называемым углом Холла). Из уравнений следует,
C
что tg j = wCt .
Величина w , называемая циклотронной частотой, представляет собой круговую частоту
C
вращения свободного электрона в магнитном поле Н.
Произведение w t мало, если электроны между столкновениями могут проделать лишь малую
C
часть оборота, и велико, если они могут совершить много оборотов.
когда w t << 1, магнитное поле лишь слегка деформирует орбиты электронов, а когда величина
C
wCt сравнима с единицей и больше, то влияние магнитного поля на орбиты электронов становится
преобладающим.
17

18.

Закон Видемана-Франца (1853). Теплопроводность
металлов.
Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и
числа Лоренца
отношение /s теплопроводности к
электропроводности для большинства металлов прямо
пропорционально температуре, причем коэффициент
пропорциональности с достаточной точностью
одинаков для всех металлов.
18

19.

Эл-т
, Вт/смК,
273К
/ Т, 10-8
ВтОм/К2
273К
, Вт/смК,
373К
/ Т, 10-8
ВтОм/К2
373К
Al
2.38
2.14
2.30
2.19
Cu
3.85
2.20
3.82
2.29
Fe
0.80
2.61
0.73
2.88
Ag
4.18
2.31
4.17
2.38
Au
3.1
2.32
3.1
2.36
19

20.

+
x
В соответствии с законом Фурье поток тепла пропорционален (и
противоположно направлен) градиенту температуры
коэффициент теплопроводности
ε(Т) — тепловая энергия в расчете на один электрон в металле, который
находится в равновесии при температуре Т
ε(Т [х']) - тепловая энергия электрона, последнее столкновение которого
произошло в точке х’ (в среднем )
ε(Т [х — t])- тепловая энергия электрона, приходящего в точку х с той
стороны, где температура выше
(n/2)
ε(Т [х — t])-
вклад в плотность теплового потока
20

21.

(n/2) (- )
электронов, приходящих в точку х с той
ε(Т [х + t]) -вклад
стороны, где температура ниже
21

22.

22

23.

1/2 m 2 = 3/2 kBT
сv=3/2 nkB
число Лоренца
23

24.

Термодинамическое состояние макросистемы

25.

квантование фазового пространства

26.

Число элементарных
фазовых ячеек в
шаровом слое
Шаровой слой в трехмерном пространстве
импульсов микрочастицы
g(p) — функция плотности квантовых состояний

27.

28.

Зависимость плотности числа квантовых состояний от
энергии
свободной микрочастицы
f- функция распределения

29.

Невырожденные и вырожденные системы частиц
условие невырожденности
N/G ~1
вырожденные

30.

n =1026 м
–3
n = 5•1028 м
; m =4,5•10–26 кг; kB T = 4•10–21 Дж
–3
; m = 9•10
–31
кг
T >105 K

31.

Квантовые распределения
распределения представляют собой функции , определяющие
средние числа частиц в одной фазовой ячейке с энергией , или
функции заполнения ячеек:
распределение Ферми–Дирака
31

32.

33.

34.

34

35.

36.

Электроны возбуждаются на более высокие уровни при Т>0
они заняты
36

37.

распределение Бозе–Эйнштейна

38.

8,617 3324(78)·10−5 эВ/К

39.

классическое распределение
Больцмана справедливо лишь тогда,
когда малы «числа заполнения»
фазовых ячеек,— при условии
39

40.

Теория металлов Зоммерфельда (1928г) –
квантовая модель газа свободных и независимых электронов Ферми.
40

41.

41

42.

СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ
42

43.

43

44.

Допустимым волновым функциям соответствуют только определенные точки kпространства
44

45.

46.

46

47.

число разрешенных значений k в единице объема в k-пространстве
(плотность уровней в k-пространстве)
47

48.

импульс Ферми
энергия
n
скорость Ферми
48

49.

радиус сферы, объем которой равен
объему, приходящемуся на один
электрон проводимости
для плотностей, соответствующих
металлическим элементам
49

50.

50

51.

делим на
51

52.

52

53.

Оценки из теории Зоммерфельда
-Термодинамические свойства электронного газа
53

54.

55.

56.

57.

57

58.

59.

CV T AT
-Средняя длина пробега
≈ 102Å
59
3

60.

Теплопроводность
>
60