Однофазные линейные электрические цепи синусоидального тока. Элементы цепи. Мощность. Резонанс

1.

Электротехника и электроника
Лекция 5
Однофазные линейные электрические цепи
синусоидального тока. Элементы цепи. Мощность.
Резонанс.
Мириленко Андрей Петрович, к.т.н.
кафедра Электротехники

2. Синусоидальный ток в резисторе

Синусоидальный ток
Синусоидальный ток в резисторе
u = Umsin(ωt + ψ)
В каждый момент времени по закону Ома
i
Um
sin( t u )
R
u
i
R
i I m sin( t i )
Выводы:
1. Функция тока тоже синусоидальная
2. Амплитудные значения связаны
законом Ома следовательно
действующие значения тоже связаны
законом Ома
3. Начальная фаза тока равна
Закон
Ома верен для всех величин
начальной фазе напряжения
мгновенных, действующих, комплексных
2

3. Синусоидальный ток в индуктивном сопротивлении

Синусоидальный ток
Синусоидальный ток в индуктивном
сопротивлении
!!! Закона Ома для мгновенных величин тут нет
При протекании переменного тока через индуктивность возбуждается
ЭДС самоиндукции уравновешивающее соответствующее напряжение.
eL uL
i I m sin( t i )
eL L
di
dt
uL L
di
dt
u L L I m cos( t i ) L I m sin( t i 90 )
Выводы:
1. Функция тока тоже синусоидальная
2. Начальная фаза напряжения
опережает ток на 90º.X L
L
3. Сопротивление индуктивности
Закон Ома для индуктивности
UL
I
XL
3

4. Синусоидальный ток в конденсаторе

Синусоидальный ток
Синусоидальный ток в конденсаторе
!!! Закона Ома мгновенных величин тут нет
В емкости есть напряжение между обкладками, которое и
уравновешивает соответствующее входное напряжение
i
Q UC
dQ
du
d (U m sin( t UC ))
C c C
CU m cos( t UC )
dt
dt
dt
i CU m sin( t UC 90 )
Выводы:
1. Функция тока тоже синусоидальная
2. Начальная фаза напряжения отстает
1
от тока 90º.
X
C
3. Сопротивление конденсатора
C
Закон Ома для конденсатора
U mC
Im
XC
UC
I
XC
4

5. Цепь с последовательным соединением R L C элементов

Синусоидальный ток
Цепь с последовательным соединением R L C
элементов
1
U U R U L U C IR j LI j
I
C
I
U
1
R j L j
C
U
R j( X L X C ) )
Закон Ома в комплексной форме
U
I
Z
Z R j( X L X C )
Электротехника и электроника для заочников. Лекция 2
5

6. Цепь с последовательным соединением R L C элементов. Пример расчета

Синусоидальный ток
Цепь с последовательным соединением R L C
элементов. Пример расчета
U=100В
R=8 Ом
L= 31,8 мГн
С= 796 мкФ
Найти сопротивления индуктивности конденсатора
X L L 314 31.8 10 3 10 Ом
Найти комплексное сопротивление ветви
XC
1
1
4 Ом
6
С 314 796 10
Z R j ( X L X C ) 8 j (10 4) 8 j 6
Вычислить ток по закону Ома
I
U
100
100(8 j 6)
800 j 600
8 j6 А
Z 8 j 6 (8 j 6)(8 j 6)
64 36
I I 82 62 10 А
Найти величину (модуль) тока
6

7. Цепь со смешанным соединением R L C элементов. Пример расчета

Синусоидальный ток
Цепь со смешанным соединением R L C элементов. Пример расчета
U=100В
R1=8 Ом R2=R3=10 Ом
XL=10 Ом XC=20 Ом
I=?
_______________________________________
1. Найти комплексное сопротивление ветви
Z 2 R2 jX C 10 j 20 Z 3 R3 jX L 10 j10
2. Найти комплексное сопротивление параллельного соединения Z2 и Z3
Z2Z3
(10 j 20)(10 j10)
100 j100 j 200 j 2 200 300 j100 (300 j100)( 20 j10)
Z 23
Z 2 Z 3 (10 j 20) (10 j10)
20 j10
20 j10
( 20 j10)( 20 j10)
7000 j1000
14 j 2 Ом
202 102
3. Найти комплексное сопротивление последовательного соединения Z23 и R1
Z123 R1 Z 23 8 (14 j 2) 22 j 2 Ом
3. Найти ток
I1
U
100
100( 22 j 2)
2200 j 200 2200 j 200
4,5 j 0,4 А
Z123 22 j 2 ( 22 j 2)( 22 j 2) 22 * 22 2 * 2
488
I I
4,52 0,4 2 4,52 А
7

8. Мощность синусоидального тока

Синусоидальный ток
Мощность синусоидального тока
u U m sin t
i I m sin( t )
Мгновенная мощность
p ui
p ui U m sin t I m sin( t )
UmIm
cos cos(2 t )
2
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую
составляющую частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока.
p UI cos UI cos( 2 t ).
8

9. Мощность синусоидального тока

Синусоидальный ток
Мощность синусоидального тока
Два процесса
• необратимое преобразование энергии
• накопление/возврат источнику.
когда мгновенная мощность положительная, энергия поступает в цепь, и
когда отрицательная, энергия отдается источнику.
Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия
периодически запасается в индуктивности и в емкости, входящих в состав
двухполюсника.
Средняя мощность
T
PcpT U ui dt UI cos
Активная мощность
0
P Pcp UI cos
Интенсивность получения энергии
Реактивная мощность
Интенсивность обмена энергией
Полная мощность
Физического смысла нетя
P
cos
S
Q UI sin
S UI
[Ватт]
[ВАР] Вольт Ампер реактивные
[ВА]
― коэффициент мощности
9

10. Резонанс

Синусоидальный ток
Резонанс
Резонанс в электрических цепях это такой режим работы, когда при наличии ёмкости
и индуктивности входное сопротивление или входная проводимость являются чисто
активными. Это приводит к резкому возрастанию электрических величин.
Резонанс напряжений
Z R
Условие резонанса
2
1
LC
0
1
LC
X j ( L
1
1
) 0 L
C
C
- резонансная частота, частота собственных колебаний
I рез
U
R
U L I 0 L I
1
L
L I
C
LC
Напряжение может возрасти во много раз
L
C
волновое сопротивление
10

11. Резонанс токов

Синусоидальный ток
Резонанс токов
Резонанс в электрических цепях это такой режим работы, когда при наличии ёмкости
и индуктивности входное сопротивление или входная проводимость являются чисто
активными. Это приводит к резкому возрастанию электрических величин.
Условие резонанса
L
bL 2
R 1 ( L ) 2
bC b
bC
1
C
R 21 ( 1 ) 2
C
При выполнении условий резонанса реактивные составляющие токов равны,
противоположны по фазе и компенсируют друг-друга.
При этом ток на входе имеет только активную составляющую и уменьшается !!!
1
L
2 C 2
2
2
R 1 ( L)
R 1 (1 )
C
1
LC
2 R12
2 R22
При резонансе токов нет опасных факторов, разве что возрастание токов в
ветвях. Но на входе ток уменьшается.
11