Тригонометрические формулы

1.

Тригонометрические
формулы

2.

Синусом угла называется ордината точки,
полученной поворотом точки (1; 0) вокруг
начала координат на угол .
Косинусом угла называется абсцисса точки,
полученной поворотом точки (1; 0) вокруг
начала координат на угол .
y (sin)
E(sin) = [-1; 1],
sin
D(sin) = R,
O
cos
X (cos)
E(cos) = [-1; 1],
D(cos) = R.

3.

Тангенсом угла называется отношение синуса
угла к его косинусу: tg = sin .
cos
Котангенсом угла называется отношение
Косинуса угла к его синусу: ctg = cos
sin
tg
y (sin)
ctg
sin
tg
O
cos
X (cos)
ctg
E(tg) = (- ; + ),
D(tg): cos 0,
+ k, k Z,
2
E(ctg) = (- ; + ),
D(ctg): sin 0,
k, k Z.

4.

Тригонометрический круг
tg
Y sin
2
3
2
ctg
3
O
3
2
6
cos
2 X

5.

Знаки тригонометрических функций
y (sin)
+
-
+
y
y
х
O
-
Знаки синуса
+
-
O
Х(cos)
+
Знаки косинуса
-
+
O
+
х
-
Знаки тангенса
и котангенса
tg = sin
cos
ctg = cos
sin

6.

Свойство четности (нечетности)
y (sin)
График нечетной функции
симметричен относительно
начала координат
А
O
-
X (cos)
М
В
График четной функции
симметричен относительно
оси ординат
sin(- ) = -sin , нечетная,
cos(- ) = cos , четная,
tg(- ) = sin(- ) = -sin = - tg , нечетная,
cos(- )
cos
ctg(- ) = cos(- ) = cos = - ctg , нечетная.
sin(- ) -sin

7.

1. Соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента
y (sin)
sin2 + cos2 = 1,
А
O
х
у
sin 2 1 cos 2 ,
X (cos)
cos 1 sin ,
2
М
2
sin 1 cos 2 ,
cos ,
sin
,
ctg
=
tg =
sin
cos
tg ctg 1,
1
tg
,
ctg
cos 1 sin 2 ;
1
ctg
;
tg

8.

1. Соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента
sin2 + cos2 = 1 : cos2 0
1
tg 1
;
2
cos
2
sin2 + cos2 = 1 : sin2 0
1
1 ctg
;
2
sin
2
1
1
sec
, cos ec
;
cos
sin

9.

Формулы приведения
Тригонометрические функции углов вида
, , 3 , 2 , где - острый угол,
2
2
могут быть выражены через функции угла с
помощью формул, которые называются
формулами приведения.
1. Для углов и 2 название исходной
функции сохраняется, для углов 2 , 3
название исходной функции меняется: 2
синус на косинус, косинус на синус, тангенс на
котангенс, котангенс на тангенс.
2. Знак функции определяется, используя
тригонометрическую окружность.

10.

Формулы приведения
sin( + ) = - sin ,
y (sin)
cos( + ) = - cos ,
А
N
O
В
X (cos)
М 1
tg( + ) = tg ,
ctg( + ) = ctg ;

11.

Формулы приведения
sin( - ) = sin ,
y (sin)
В
-
N
cos( - ) = - cos ,
А
O
X (cos)
М 1
tg( - ) = - tg ,
ctg( - ) = - ctg ;

12.

Формулы приведения
sin(2 + ) = sin ,
cos(2 + ) = cos ,
y (sin)
А
O
X (cos)
М 1
tg(2 + ) = tg ,
ctg(2 + ) = ctg ;
sin(2 k+ ) = sin , k Z,
cos(2 k+ ) = cos , k Z,
tg(2 k+ ) = tg , k Z,
ctg(2 k+ ) = ctg , k Z;

13.

Формулы приведения
sin(2 - ) = - sin ,
y (sin)
cos(2 - ) = cos ,
А
O
М
X (cos)
1
В
tg(2 - ) = - tg ,
ctg(2 - ) = - ctg ;

14.

Формулы приведения
y (sin)
В
N
+
2
O
А
X (cos)
М 1
sin( 2 + ) = cos ,
cos( 2 + ) = - sin ,
tg( 2 + ) = - ctg ,
ctg( 2 + ) = - tg ;

15.

Формулы приведения
sin( 2 - ) = cos ,
y (sin)
В
cos( 2 - ) = sin ,
N
А
O
X (cos)
М 1
tg( 2 - ) = ctg ,
ctg( 2 - ) = tg ;

16.

Формулы приведения
sin( 2 + ) = - cos ,
3
y (sin)
cos( 2 + ) = sin ,
3
А
O
X (cos)
М 1
N
tg( 2 + ) = - ctg ,
3
ctg( 2 + ) = - tg ;
3
В

17.

Формулы приведения
y (sin)
А
O
X (cos)
М 1
N
В
sin( 2 - ) = - cos ,
3
cos( 2 - ) = - sin ,
3
tg( 2 - ) = ctg ,
3
ctg( 3
)
=
tg ;
2

18.

2. Формулы сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
y (sin)
P (cos ; sin )
O
P (cos ; sin )
X (cos)
1
OP ; OP ,
OP OP OP OP cos cos ,
OP OP x1 x2 y1 y2 cos cos sin sin ,
cos cos cos sin sin
cos( - ) = cos • cos + sin • sin

19.

cos( + ) = cos • cos - sin • sin
cos cos cos cos sin sin
cos cos sin sin
sin( + ) = sin • cos + cos • sin
sin cos cos
2
2
cos cos sin sin
2
2
sin cos cos sin
sin( - ) = sin • cos - cos • sin
sin sin sin cos cos sin
sin cos cos sin

20.

tg tg
tg
1 tg tg
sin sin cos cos sin
tg
cos cos cos sin sin
sin cos
cos sin
tg tg
cos cos cos cos
cos cos
sin sin
1
tg
tg
cos cos cos cos

21.

tg tg
tg
1 tg tg
tg tg
tg tg
1 tg tg
ctg ctg 1
ctg
ctg ctg
ctg ctg 1
ctg
ctg ctg

22.

3. Формулы двойных и тройных углов
sin2 = 2sin cos
sin2 = sin( + ) = sin cos + cos sin = 2sin cos
cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
cos2 = cos( + ) = cos cos - sin sin =
= cos2 - sin2 = cos2 - (1 – cos2 ) = 2cos2 - 1
= 2(1 – sin2 ) – 1 = 1 – 2sin2
2tg
tg 2
2
1 tg
ctg 2 1
ctg 2
2ctg
sin 2
2 sin cos
tg 2
2
2
cos 2 cos sin
2 sin cos
2
2tg
cos
2
2
cos
sin
1 tg 2
2
cos cos 2

23.

sin3 = 3sin - 4 sin3
sin3 = sin( + 2 ) = sin cos2 + cos sin2 =
= sin (1 - 2sin2 ) + cos 2sin cos =
= sin - 2sin3 + 2cos2 sin = sin - 2sin3 +
+ 2(1 – sin2 )sin = sin - 2sin3 + 2sin - 2sin3 =
= 3sin - 4sin3
cos3 = 4cos3 - 3cos
cos3 = cos( + 2 ) = cos cos2 - sin sin2 =
= cos (2cos2 - 1) - sin 2sin cos =
= 2cos3 - cos - 2sin2 cos = 2cos3 - cos - 2(1 – cos2 )cos = 2cos3 - cos - 2cos + 2cos3 =
= 4cos3 - 3cos

24.

3tg tg 3
tg 3
2
1 3tg
3ctg ctg
ctg 3
1 3ctg 2
3
tg tg 2
tg 3 tg 2
1 tg tg 2
2 tg
tg
3
2
tg tg 2 tg
1 tg
2
2
2 tg
1
tg
2
tg
1 tg
2
1 tg
3tg tg
2
1 3tg
3

25.

4. Преобразование в произведение сумм
sin sin , cos cos
sin sin 2 sin
2
cos
2
Используем следующий искусственный прием :
sin sin 2 sin
cos cos 2 cos
cos cos 2 sin
2
2
2
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
sin sin
,
2
2
;
sin
sin
2
2
2
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
2 sin
cos
2
2

26.

5. Формулы половинного аргумента
sin 2
2
1 cos
, 2 sin 2 1 cos ,
2
2
cos 1 2 sin 2
2
2
2
2
cos cos
sin
1 sin
1 2 sin
sin
2
2
2
2
2
1 cos
1 cos
1 cos
2
2
2
cos
, tg
, ctg
,
2
2
2 1 cos
2 1 cos
2
2
sin
1 cos
tg
,
2
1 cos
sin
1 cos
sin
ctg
;
2
sin
1 cos

27.

6. Формулы универсальной подстановки
sin
2 tg
2
1 tg
2
2
2
1 tg
2
cos
1 tg 2
2
tg
2 tg
2
1 tg
ctg
1 tg
2tg
2
2
2
2
2
sin 2 sin
2 tg
2
cos
2
cos
2
2
2
2 sin
2
cos
cos
2 tg
1 tg
2
2
2
cos
2
2
2
2
sin 2 cos 2
cos
2
2
2
cos cos 2 sin 2
2
2
cos 2
2
1 tg 2
2
1 tg 2 cos 2
2
2 1 tg 2
2

28.

7. Преобразование произведений
в суммы или разности
1
sin sin cos cos
2
1
1
cos cos 2 sin sin sin sin
2
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin cos sin sin
2

29.

8. Преобразование выражений acos + bsin
путем введения вспомогательного угла
a cos b sin a 2 b 2 cos ,
a 2 b 2 0,
вспомогательный аргумент, определяется из условия
cos
a
a b
2
2
,
sin
b
a 2 b2

30.

2
2
2
2
b
a
b
a
,
2
2
2
2
a 2 b2
a 2 b2
b
a
b
a
выполняется основное тригонометрическое тождество,
обозначим :
a
a b
2
2
b
cos ,
a b
2
2
sin ,
вспомогательный угол.
a
a cos b sin a b
cos
2
2
a b
2
2
sin
a 2 b2
b
a 2 b 2 cos cos sin sin a 2 b 2 cos
Утверждение доказано