Синтез линейной системы управления

1. Синтез линейной системы управления

1.
2.
3.
Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория система автоматического
управления. – 4-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Профессия,
2003.
Пшихопов В.Х., Медведев М.Ю., Костюков В.А., Гайдук А.Р., Федоренко
Р.В., Гуренко Б.В., Крухмалев В.А., Медведева Т.Н. Проектирование
роботов и робототехнических систем: Учебное пособие – Ростов-наДону: Изд-во ЮФУ, 2014 – 196 с.
А.Р. Гайдук, В.Е. Беляев, Т.А. Пьявченко. Теория автоматического
управления в примерах и задачах с решениями в Matlab. Учебник для
ВУЗов. СПб. Издательство Лань. 2011. ISBN 978-5-8114-1255-6.

2. Содержание лекции

2
Содержание лекции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Этапы синтеза алгоритма управления.
Общий алгоритм расчета управления.
Формирование цели и эталонной модели.
Нахождение стабилизирующего управления.
Компенсация возмущения.
Вычисление задающего воздействия.
Пример.

3. Этапы синтеза алгоритма управления

3
Этапы синтеза алгоритма управления
Синтез алгоритма включает в себя этапы, представленные на рис. 1:
формулирование цели и критериев управления, ограничений; синтез алгоритма;
моделирование линейной системы; моделирование нелинейной системы.
Формулирование цели и
критериев
Синтез алгоритма
Анализ линейной системы
Анализ нелинейной системы
Рис. 1 – Этапы синтеза алгоритма управления

4. Общий алгоритм расчета управления

4
Общий алгоритм расчета управления
Рис. 2 – Алгоритм расчета управления

5. Формирование цели и эталонной модели

5
Формирование цели и эталонной модели
Линейное управление по состоянию и возмущениям базируется на линейной
модели объекта управления, записанной в отклонениях от невозмущенного
движения:
(1)
x Ax Bu Hf
В этой связи целью управления является стабилизация объекта (1) в нулевом
положении равновесия.
В качестве исходных требований к системе управления используются время
переходного процесса tпп, точность и перерегулирование . На основе этих
данных и порядка системы (1) формируется эталонный характеристический
полином. В качестве эталонных полиномов используются стандартные
характеристические полиномы, например, полином Ньютона или полином
Баттерворта. Стандартный полином Ньютона формируется в виде
D
*
p p
0 n
(2)
Из (2) следует, что характеристический полином Ньютона имеет один кратный
действительный корень =- 0. Параметр 0 определяется из требований к
времени переходного процесса tпп :
Время при 0 =1
*
Требуемое время
0
tпп
tпп
(3)

6. Формирование цели и эталонной модели

6
Формирование цели и эталонной модели
Параметр tпп* либо получается путем моделирования, вычисляется по формуле:
*
tпп
3 5
3 5
3 5
0
0 1
1
(4)
При моделировании требуется подать на передаточную функцию:
W p
1
p 1
(5)
n
единичный скачок и зафиксировать время, когда переходная функция будет в
пределах величины от единицы. Полиномы Ньютона для различных порядков
представлены в табл. 1.
Таблица 1 – Полиномы Ньютона

7. Формирование цели и эталонной модели

7
Формирование цели и эталонной модели
Аналогичным образом строятся полиномы Баттерворта, представленные в табл. 2.
При моделировании для определения tпп* параметра используется передаточная
функция вида
1
(5)
W p
D* p
При этом D(p) выбирается из таблицы 2 и параметр 0 =1.
Таблица 2 – Полиномы Баттерворта

8. Формирование цели и эталонной модели

8
Формирование цели и эталонной модели
Переходный процесс (Ньютон)
Переходный процесс (Баттерворт)
Алгоритм нахождения требуемого
характеристического полинома

9. Нахождение стабилизирующего управления

9
Нахождение стабилизирующего управления
Структура закона управления имеет вид
u K1 x K 2 f g
(6)
где K1, K2 – матицы постоянных коэффициентов, выбираемые в ходе синтеза; g –
вектор задающих воздействий.
В ходе нахождения стабилизирующего управления, f и g полагаются нулевыми
и ищется вектор K1.
Для подвижного объекта управляющим вектором являются управляющие силы и
моменты, т.е. матрица B является единичной диагональной матрицей. В этой
связи переходить к канонической управляемой форме для синтеза
стабилизирующего управления не требуется.
Полагая в (1) и (6) f и g нулевыми, подставим (6) в (1)
x A K1 x
(7)
Характеристическое уравнение системы (7) имеет вид
D p det pI A K1
(8)
Далее, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в полиномах
D(p) и D*(p), получаем линейную систему уравнений, из которых находим K1.

10. Компенсация возмущения

10
Компенсация возмущения
Подставим управление (6) в (1)
x A K1 x H K 2 f g
(9)
Чтобы возмущение f не влияло на переменные состояния системы, достаточно
выбрать вектор K2 в виде
(10)
K2 H
В общем случае, когда управление не воздействует непосредственно на
переменную, к которой приложено возмущение, требуется найти передаточную
функцию от возмущения к указанной переменной и выбрать коэффициенты
матрицы K2 так, чтобы возмущение в установившемся режиме не влияло на
указанную переменную.

11. Вычисление задающего воздействия

11
Вычисление задающего воздействия
Для того, чтобы вычислить вектор g, положим в (9) вектор производных, равным
нулю и учтем условие (10):
(11)
0 A K x0 g
1
В (11) x0 – вектор желаемых значений переменных состояния робота в
установившемся режиме. Тогда вектор g равен
g A K1 x 0
(12)

12. Пример

12
Пример
Рассмотрим линейную модель двигателя постоянного тока
0
d 0 сe
0
1
dt
J
dI с 0 R J M с 1 U я ,
L
я e
я I я 0
я
Lя
dt Lя
(13)
Собственная матрица и матрица входа имеет вид
0
A
Rя
L
я
сe 0
J
сe 0
Lя
0
b 1
L
я
(14)
Управление имеет вид:
U я k1 k 2 I я k3 M c z
(15)
Подставим (15) в (13), полагая Mc и z равными нулю:
сe 0
d
0
dt
J
dI с 0 k R k ,
1
2 I я
я e
я
Lя
Lя
dt
(16)

13. Пример

13
Пример
Характеристический полином системы (16) равен
сe 0
p
сe 0 k1 сe 0
Rя k 2
J
2
p
det pE A det
p
0
с
k
R
k
L
Lя
J
1
2
e
я
p я
Lя
Lя
(17)
Пусть желаемый характеристический полином имеет вид:
D * p p 2 1,4 0 p 02
Сравнивая (17)
управления
и
(18),
находим
выражения
(18)
для
k 2 Lя 2d 0 Rя
Lя J 02
k1
сe 0
0
сe
коэффициентов
(19)
Тогда замкнутая система описывается уравнениями
сe 0
1
d
0
0
dt
J
J
z
dI с 0 k R k k3 M c 1
L
1
2 I я
я e
я
я
Lя
Lя
Lя
dt
(20)

14. Пример

14
Пример
Запишем ПФ системы (20) по моменту сопротивления
сe 0
p
p
J
W
1 0
0
с
k
R
k
u p
1
2
e
p я
Lя
Lя
1
1
Rя k 2 се 0 k3
1
p
J
J
Lя
J Lя
k
0
0
3 p 2 Rя k 2 p се k1 се
Lя
Lя
Lя
J
(21)
Выберем коэффициент k3 так, чтобы в установившемся режиме (при p=0)
числитель ПФ 12 равнялся 1:
R k
k3 я 0 2
(22)
се
Выражение (15) содержит
измеряется. В этой связи
сопротивления. Значение
установившегося режима для
к нулю:
момент сопротивления, который редко
отдельно строится наблюдатель момента
уставки wz вычислим из уравнений
замкнутой системы, приравняв производные
сe 0
1
I
M
я
c
0
J
J
0 с 0 k
k
R
k
1
z
e
1
3
я
2
Iя Mc
Lя
Lя
Lя
Lя
Mc
I яz
0
z сe
с 0 k
1
e
g