Динамика. Закон сохранения импульса

1.

Динамика
Закон сохранения импульса
Силы
внутренние
F (i )
внешние
F (e)
В случае замкнутых (изолированных) систем
внешние силы отсутствуют F ( e ) 0
Для замкнутых систем существуют такие функции от координат и
скоростей частиц, которые не изменяют свои значения при их движении.
Таких функций, называемых интегралами движения, имеется три:
1) энергия
2) импульс
3) момент импульса

2.

Динамика
Закон сохранения импульса
+
dp1
F1( i ) F1( e ) ,
dt
dp2
F2(i ) F2( e ) ,
dt
........................
d
(i )
(e)
p
F
F
i
i
i
dt i
i
i
= 0 по 3 закону Ньютона
F
(i )
i
1
Fij ( Fij F ji )
2 i, j
i, j
F i 0
p pi
– импульс системы
F ( e ) Fi ( e )
– результирующая внешних сил
i
i
(i )

3.

Динамика
Закон сохранения импульса
dp
F (e)
dt
– закон изменения импульса
(неофициально)
Для замкнутых систем
p const
F
(e)
0
dp
0
dt
– закон сохранения импульса
(для замкнутых систем)
Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

4.

Динамика
Закон сохранения импульса
Баллистический маятник
Внешние (для шара и пули) силы:
сила тяжести и сила натяжения.
Ft ( e ) 0
m v
M
M+m
u=?
t
u
m
v
m M
pt const
mv ( M m )u

5.

Динамика
Теорема о движении центра масс
rС
m r m r
m
m
i i
i i
– центр масс
i
d
d
mrC mi ri
dt
dt
mvC mi vi p
d
dp
mvC F ( e )
dt
dt
m
dv C
F (e)
dt
– теорема о движении центра масс
Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна
массе системы, а действующая сила – результирующей внешних сил,
действующих на систему.

6.

Динамика
Теорема о движении центра масс
x – абсолютно гладкая поверхность.
a
Внешние силы –
сила тяжести и сила реакции x.
m
M
Смещение ц.м. вдоль x = 0
A
m rC mi ri
mrC mi ri
x
rC, ri – смещения
M
x M
В проекции на x
m
x
M xM m( xM A a ) (m M ) xC 0
xM
x m x M A a
m xC mi xi
m
( A a)
m M
xM < 0 M сдвинется влево.

7.

Динамика
Движение тела переменной массы
m
(t )
m(t )
v
u
F
p ( t ) mv
v – скорость ракеты (основной массы),
u – скорость газов (убывающей массы)
относительно ракеты,
F – внешняя сила.
– импульс ракеты
p(t dt ) (m dm)(v dv ) dm
( v u) – импульс ракеты и газов
dp mdv dm
u dmdv
dm
dm

8.

Динамика
Движение тела переменной массы
m
(t )
m(t )
v
u
F
m
dv
dm
F
u
dt
dt
R
dm
u
dt
dp
dv dm
m
u
dt
dt dt
dp
F
dt
– основное уравнение динамики тела
переменной массы (уравнение Мещерского)
– реактивная сила
Несколько каналов изменения m:
dm
R ui
dt
i

9.

Динамика
Движение тела переменной массы
m(t )
v
u
Прямолинейное движение ракеты
u = const, v(0) = 0
Уравнение Мещерского
dm
dv u
m
m m0 exp( v u )
m
v u ln
m0
m
dv dm
u
dt dt
m m0 ,то
– формула Циолковского
v u

10.

Динамика
Движение тела переменной массы
Путешествие по солнечной системе
2-я космическая скорость = 11.5 км/с
u ~ 4 км/с
m m0e 3 m0 20
или 5% m0
Земля
Путешествие на Луну и обратно
Луна
2-я космическая скорость для Земли = 11.5 км/с
2-я космическая скорость для Луны = 2.5 км/с
u ~ 4 км/с
v ~ (11.5 + 2.5 + 2.5 + 11.5) км/с = 28 км/с
Земля
m m0e 7 m0 1000

11.

Динамика
Закон сохранения момента импульса
p = mv
Определения:
L r p
– момент импульса
M r F
– момент силы
r
F
O
dL d
dr
dp
( r p) p r r F
dt dt
dt
dt
v mv 0
dL
M
dt
F
– уравнение моментов

12.

Динамика
Закон сохранения момента импульса
Для системы материальных точек
pi
L Li
i
O
Fi
M M i
– момент импульса системы
– момент силы, действующей на систему
M M i M i( i ) M i( e ) M i( e ) M ( e )
= 0 по 3-му закону Ньютона
dL
dr
dp
i pi ri i 0 ri Fi
dt
dt
i dt
i
i
M i M ( e ) .
i

13.

Динамика
Закон сохранения момента импульса
dL
M (e)
dt
– уравнение моментов (для системы)
Для изолированных систем
L const
M
(e)
0
dL
0
dt
– закон сохранения момента импульса
(для замкнутых систем)
Законы сохранения для отдельных компонент
Пусть M (Mx, My, 0)
dLx
Mx
dt
dLy
My
dt
dLz
0
dt
Lz const

14.

Динамика
Закон сохранения момента импульса
Пример:
r1
v2 ?
O
r2
v1
v2
M r T 0
L rmv
L const
r1mv1 r2mv2
v2 v1
F
r1
r2

15.

Динамика
Движение в центральном поле сил
F
F f (r )
r
r
– центральная сила
( )O – центр силового поля
O
f(r) > 0 – отталкивание
f(r) < 0 – притяжение
M r F 0
L r p const
F Pr
r L
Движение происходит в одной и той же плоскости,
перпендикулярной моменту импульса L.

16.

Динамика
Движение в центральном поле сил
vdt
1)
r
2)
dS площади
dS 1
S&
(r v)
dt 2
O
Так как
1
( r v )dt – векторный элемент площади
2
1
dS r
vdt
sin r , v
– площадь
2
dS
L m( r v )
S& const
– секториальная скорость
L 2mS&
L const
– закон площадей
За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точки
описывает одинаковые по величине площади.

17.

Динамика
Законы Кеплера и закон всемирного тяготения
a – большая полуось
2a
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце;
2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает
равные площади | S&| const ;
3. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших
полуосей эллиптических орбит, по которым они движутся
вокруг Солнца
T12 a13
3 .
2
T2 a2

18.

Динамика
Законы Кеплера и закон всемирного тяготения
Пусть планета движется по окружности, тогда
(движение равномерное)
4 2
a r 2 r
T
2
Согласно 3-му закону Кеплера
4 2 K
a 2
r
4 2 K m
F
r2
Солнце и планета в их взаимодействии
выступают как равноправные тела
F
Mm
r2
r3
K
2
T
K M
– закон всемирного тяготения
– гравитационная постоянная