План лекции:
Кинетическая энергия вращающегося тела
Закон сохранения момента импульса
Гироскоп
2.94M
Категория: ФизикаФизика

Динамика твердого тела и закон сохранения

1.

Кафедра физики
Динамика твердого тела
и закон сохранения
Подготовила: Тенчурина А.Р.

2. План лекции:

ПЛАН ЛЕКЦИИ:
Центр масс
Момент силы
Момент импульса
Момент инерции
Теорема Штейнера
Второй закон динамики для
вращательного движения
Закон сохранения момента импульса

3.

ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Виды движения:
1. Поступательное; 2. Вращательное

4.

Радиус-вектор центра масс С системы
состоящей из N материальных точек

5.

N
1
rc ri mi
m i 1
mi элементарная масса
ri радиус-вектор
При
mi 0
1
rc im ri mi
mi 0 m i 1
N

6.

1
rc rdm
m
m
V
dm dV
m dm
im
dV
V 0 V
1
rc r dV
m

7. Кинетическая энергия вращающегося тела

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Кинетическая энергия – величина
аддитивная, поэтому кинетическая энергия
тела, движущегося произвольным образом,
равна сумме кинетических энергий всех n
материальных точек, на которое это тело
можно мысленно разбить:
m
K
.
2
2
n
i
i 1
i
(4.1)

8.

Если
тело
вращается
вокруг
неподвижной оси z с угловой скоростью
то линейная скорость i-й точки i ωRi
Следовательно,
ω

mR
.
2
2
2
K
2
n
2
вращ.
i 1
i
i
(4.2)
Сопоставив (4.1) и (4.2) можно
увидеть, что момент инерции тела
I–
является
мерой
инертности
при
вращательном движении. Так же как масса
m – мера инерции при поступательном
движении.

9.

В общем случае движение твердого
тела можно представить в виде суммы двух
движений – поступательного со скоростью c
и вращательного с угловой скоростью
вокруг мгновенной оси, проходящей через
центр
инерции.
Тогда
полная
кинетическая энергия этого тела:
m I
2
2
2
K
c
полн.
c
2
.
(4.3)
Здесь Ic – момент инерции относительно
мгновенной оси вращения, проходящей через
центр инерции.

10.

Скорость центра масс обруча равна v, масса обруча
m. Определим его кинетическую энергию при
движении по горизонтальной поверхности.
Имеем
1
1
2
2 ,
mv + mv обод
Kполн =
2
2
v обод
– линейная скорость обода
в системе ц.м. Для наблюдателя,
движущегося вместе с центром
обруча, скорость точки
соприкосновения обруча с плоскостью
равна v. Поэтому v обод
= v.
1
1
2
2
m
v
m
v
Таким образом, Kполн =
+
= mv2.
2
2

11.

M rF
M
О
r
Момент силы
Физическая величина
определяемая векторным произведением
радиус-вектора r,
проведенного из точки О
в точку приложения
силы F, на силу F.
F

12.

Момент силы
M Fr sin

13.

Момент импульса
Li r p
p m - импульс точки
L m r

14.

Момент импульса
L pr sin
r sin
L P
L m

15.

Liz mi ri i
i ri
Liz ri mi
2
Lz Liz ri mi ri mi
2
L I
2

16.

n
n
L Li mvr ri 2 mi ri 2 mi J J
1
i
L I
1

17.

Момент инерции
Материальная
точка
Твёрдое тело

18.

Момент инерции
Мера инертности тела при вращательном
движении, аналог массы при поступательном
J mr
2
J mi ri
- Материальная точка
2
- Система точек
i
J – кг м2

19.

О
О
Моменты инерции
О
1
J ml 2
12
О
О
О
1
J mR 2
2
О
1
J mR 2
2
О
2
2
J mR
5

20.

При вычислении момента инерции
тела, вращающегося вокруг оси, не
проходящей через центр инерции следует
пользоваться теоремой о параллельном
переносе осей или теоремой Штейнера
(Якоб Штейнер, швейцарский геометр
1796 – 1863 гг.).
I I md
c
2
(3.1)

21.

Теорема Штейнера
О
О
d
О
1
О
1
J J 0 md
2

22.

I I c md
2
Момент инерции тела I
относительно любой оси вращения
равен моменту его инерции I c
относительно
параллельной
оси,
проходящей через центр масс С тела,
плюс произведение массы тела на
квадрат расстояния между осями.

23.

Теорема Штейнера для стержня
О1
О
J J 0 md
2
1
2
J 0 ml
12
l
d
2
О1
О
1
1 2 1 2
2
J ml ml ml
12
4
3

24.

d
d
L r , m r , m r , m
dt
dt
m F
dL
r , F
dt
rF M
dL
M
dt

25.

L I
d
I M в неш
dt
I const

26.

Основной закон динамики
вращательного движения
M I
В векторном виде:
M I

27.

Поступательное дв.
Вращательное дв.
Масса
m
Момент инерции
J
Сила
F
Момент силы
М
Импульс
P=mv
Момент импульса
Основной закон
динамики
F=ma
dP
F
dt
L=Jω
Основной закон
динамики
M=Jε
dL
M
dt

28.

M
J
d
M J J
dt
Mdt J d d J dL
dL
M
dt
Mdt dL

29. Закон сохранения момента импульса

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА
ИМПУЛЬСА
Для замкнутой
системы тел момент
внешних сил М всегда равен нулю, так как
внешние силы вообще не действуют на
замкнутую систему:
dL
M 0
dt
отсюда
L const, или Iω const

30.

Именно закон сохранения момента
импульса используется танцорами на льду
для изменения скорости вращения. Или
еще
известный
пример

скамья
Жуковского.
Изученные нами законы сохранения
есть
следствие
симметрии
пространства – времени.
Принцип
симметрии
был
всегда
путеводной звездой физиков, и она их не
подводила.

31.

32.

J 1 1 J 2 2

33.

Закон сохранения момента импульса
dL
M
dt
M 0
L const
J1 1 ( J1 J 2 )
L J
2 0

34.

35. Гироскоп

ГИРОСКОП
Массивное однородное тело,
вращающееся с большой угловой
скоростью около своей оси
симметрии и сохраняющее своё
положение в пространстве
неизменным

36.

Если момент внешних сил
относительно неподвижной оси
вращения тождественно равен
нулю,
то
момент
импульса
относительно
этой
оси
не
изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых
систем постоянен, если результирующий
момент внешних сил, приложенных к системе,
равен нулю.

37.

Уравновешенный гироскоп – быстро
вращающееся тело, имеющее три степени свободы
Используется гироскоп в различных
навигационных
устройствах
кораблей,
самолетов,
ракет
(гирокомпас,
гирогоризонт).

38.

Спасибо за внимание!
English     Русский Правила