Умножение вектора на число

1. Умножение вектора на число

Произведением вектора a на число t называется вектор,
длина которого равна | t | | a |, а направление остается
прежним, если t>0, и меняется на противоположное, если
t < 0. Произведением вектора на нуль считается нулевой
вектор.
Произведение вектора a на число t обозначается ta . По
определению, | ta | | t | | a | .
Произведение вектора a на число -1 называется
вектором, противоположным и обозначается
По
определению,
вектор a. имеет
направление,
противоположное вектору и | a | | a | .

2. Свойства

Разностью векторов a и b называется вектор a ( b ) ,
который обозначается a b .
Для умножения вектора на число справедливы свойства,
аналогичные свойствам умножения чисел, а именно:
Свойство 1. (ts )a t ( sa ) (сочетательный закон).
Свойство 2. (t s )a ta sa (первый распределительный
закон).
Свойство 3. t (a b ) ta tb (второй распределительный
закон).

3. Пример

AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC со
сторонами a, b, c. Найдите сумму AA1 BB1 CC1.
Решение: Имеем AA1 3 OA, BB1 3 OB, CC1 3 OC.
2
2
2
Учитывая, что OA OB OC 0 (см. упр. 11 параграфа
68), получаем AA1 BB1 CC1 0.

4. Упражнение 1

В треугольнике АВС укажите векторы:
а)
AC AB;
б)
AB AC;
в)
BA BC;
г)
BA CA.
Ответ: а) BC ;
б) CB;
в) CA;
г) BC.

5. Упражнение 2

В параллелограмме АВСD укажите векторы:
а)
AB AD;
б)
AD AB;
в)
CB AB;
г)
CB DA;
д)
CB AD.
Ответ: а) DB; б) BD; в) CA; г) 0 ; д) 2CB.

6. Упражнение 3

Точки M и N - середины сторон соответственно
АВ и АС треугольника АВС. Выразите векторы:
а) BM ; б) NC ; в) MN ; г) BN ; д) CB через
векторы a AM , b AN .
Ответ: а) a ; б) b ; в) b a ; г) b 2a ; д) 2(a b ).

7. Упражнение 4

Отрезки АА1, ВВ1, СС1 - медианы треугольника
АВС. Выразите векторы: а) AA1 ; б) BB1 ; в)
CC1 через векторы b AC и c AB.
1
1
1
Ответ: а) (b c ) ; б) b c ; в) c b .
2
2
2

8. Упражнение 5

Упростите выражение:
а) ( AB AC ) ( BA CB);
б)
AB DB CA DA.
Ответ: а) AB ;
б) AC .

9. Упражнение 6

Сторона равностороннего треугольника АВС
равна а. Найдите: а)| BA BC |; б) | AB AC | .
Ответ: а) a;
б) a.

10. Упражнение 7

В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, B = 90°.
Найдите: а) | BA | | BC |; б) | BA BC | ; в) | AB | | BC | ;
г) | AB BC | .
Ответ: а) -2; б) 10; в) -2; г) 10.

11. Упражнение 8

Пусть O, A, B – произвольные точки плоскости.
Найдите геометрическое место точек С
плоскости, для которых выполняется равенство
где OC (1 t )OA tOB, 0 t 1
Ответ: Отрезок AB.