Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции

1. Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции

Общий случай замены
переменной в двойном и
тройном интегралах

2. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в плоскости Оху задана область (D),
ограниченная линией (L). Предположим, что
осуществляется замена переменных
x x u, v , y y u, v
(*)
причем функции x=x(u,v), y=y(u,v) взаимно
однозначны и дифференцируемы в области
(D).
Формулы (*) устанавливают взаимно
однозначное соответствие между точками
(x,y) D
и u, v D
V. Khudenko
2

3.

V. Khudenko
3

4.

Разобьем область D прямыми u const ,
v const на прямоугольные площадки.
Тогда область (D) соответствующими
кривыми линиями разобьется на
криволинейные четырехугольники .P1 P2 P3 P4
Площадь элементарной фигуры
на плоскости O uv S u v Найдем
площадь соответствующей ей фигуры
P1P2P3P4 достаточно малого
четырехугольника координаты вершин
которого
V. Khudenko
4

5.

P1 x1 , y1
x1 x u, v ,
P2 x 2 , y 2
x 2 x u u, v ,
P3 x 3 , y3
x 3 x u u, v v ,
y 2 y u u, v
y 3 y u u, v v
y 4 y u, v v
Заменим приращения функций
дифференциалами
P4 x 4 , y 4
x 4 x u, v v ,
x1 x u, v ,
y1 y u, v
y
y2 y u, v
u
u
y
y
x
x
u
v
x3 x u , v
u
v, y3 y u , v
u
v
u
v
y
x
y 4 y u, v v
x4 x u , v
v,
v
v
V. Khudenko
x
x2 x u, v
u,
u
5

6.

Полученные выражения дают основание
считать четырехугольник
параллелограммом со сторонами
y
x
P1 P2 u; u;
u
u
y
x
P1 P4 v; v;
v
v
i
x
S P1 P2 P1 P4 mod
u
u
x
v
v
V. Khudenko
x
u
mod
y
u
x
v
u v
y
v
j
y
u
u
y
v
v
k
0
0
6

7.

x
u
y
u
Введем обозначение
x
v
I
y
v
Определитель I называется функциональным
определителем функций x u, v
и y u, v
или якобианом .
S
Имеет место равенство: I lim
d 0 S
Тогда формула замены переменных для
двойного интеграла примет вид
f x , y ds f1 u, v I dudv
D
V. Khudenko
D
7

8. Замечание

Переход к полярным координатам в двойном
интеграле является частным случаем при
u=r и v=φ. Тогда
x x r, r cos ,
x
r
I
y
r
V. Khudenko
y y r , r sin
x
cos r sin
r
y sin r cos
8

9. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Якобиан для случая трех переменных
x
u
y
I
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w
Формула замены переменных для тройного
интеграла примет вид
f x , y , z dv f1 u, v , w I dudvdw
V. Khudenko
V
V
9

10.

В случае перехода к цилиндрическим
u r, v , w z
координатам
связь между декартовыми и цилиндрическими
координатами:
x x u, v , w r cos ,
y y u, v , w r sin ,
z z u, v , w z.
Тогда определитель Якоби
V. Khudenko
cos
r sin
I sin
r cos
0
0
0
0 r
1
10

11.

а формула замены переменных при переходе
к цилиндрическим координатам примет вид
f x , y , z dv f r , , z rdrd dz
1
V
V. Khudenko
V
11

12.

12

13.

Таким образом интеграл, после расстановки
пределов интегрирования запишется в виде
r2
z 2 r ,
f x , y , z dv f r , , z rdrd dz d rdr f r , , z dz
1
V
V. Khudenko
V
r1
z1 r ,
1
13

14. Пример

Расставить пределы интегрирования в
f P dv
тройном интеграле
V
и вычислить его значение в случае
Область ограничена
f P y
поверхностями: y 0, y 2x x 2 , z 0, z a
Учтем характер области:
y 2 x x x y 2 x r 2 cos
2
V. Khudenko
2
2
14

15.

15

16.

16

17.

Следовательно, область (V) задана
неравенствами:
0
Тогда
0 z a
0 r 2 cos
2
2 cos
2
a
f P dv d rdr f P dz
С учетом того, что f P y имеем
1
V
0
2
2 cos
0
0
a
2
2 cos
ydv d rdr r sin dz d sin r
V
0
0
0
0
2
z dr
a
0
0
2
2
cos
a2
8
a
2
a
2a
3
3
4
2
sin r
cos sin d cos
.
d
0
0
30
3 0
3
3
V. Khudenko
17

18. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Положим u=ρ, v=φ, w=θ. Зависимость
между декартовыми и сферическими
x cos sin ,
координатами
определитель Якоби
sin cos
I sin sin
cos
V. Khudenko
y sin sin ,
z cos .
cos cos sin sin
cos cos
sin cos 2 sin .
sin
0
18

19.

формула замены переменных применительно
к сферическим координатам примет вид
V
f x , y , z dv f1 , , 2 sin d d d
V. Khudenko
V
19

20.

20

21.

Получаем формулу
V
2
1
f1 , , 2 sin d d d d sin d
V. Khudenko
2 ,
f1 , , 2 d
1
,
21

22. Пример

Расставить пределы интегрирования в
тройном интеграле, если область (V)
представляет собой часть пространства.
Ограниченную поверхностями
x 2 y 2 z 2 R12 ,
Причем
x 2 y 2 z 2 R22 , z 0.
R2 R1 , z 0 а также вычислить
f P dv
f P z 2
V
V. Khudenko
22

23.

23

24.

R1 R2 ,тогда
Уравнение сфер:
2
R2
2
f P dv d sin d f P d
2
V
0
0
2
2
R1
R2
2
z
2
dv
d
sin
d
cos
2
d
V
0
0
R1
2
2 sin cos
3
4
0
V. Khudenko
2
4
3
R2
d
R1
24

25.

R24 R14
2 R23 R23
d
2 sin
cos
4
3
0
2
0
R4 R4
2
cos
2
2
1
2
R23 R13 cos 0 2
4
3
2
2
R24 R14 2 R23 R13
2
8
3
V. Khudenko
25