Кратные интегралы

1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Как известно, интегрирование является процессом
суммирования. Однако суммирование может
производится неоднократно, что приводит нас к
понятию кратных интегралов.

2. Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую
замкнутую кривую, уравнение которой
f(x, y) = 0.
Совокупность всех точек, лежащих
внутри кривой и на самой кривой
назовем замкнутой областью . Если
выбрать точки области без учета точек,
лежащих на кривой, область будет
называется незамкнутой областью .
С геометрической точки зрения x площадь фигуры, ограниченной
контуром.
y
0

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Площадь фигуры S делим на элементарные прямоугольники,
площади которых равны Si = xi yi
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и
составим интегральную сумму i n
f (x , y ) S ;
i 1
i
i
i
где где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек
области .
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i,
тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к
нулю.

4. Определение:

Определение: Если при стремлении к нулю шага
разбиения области интегральные суммы
S
f ( x , y )конечный
имеют
предел, то этот предел
называется двойным интегралом от функции f(x, y) по
области .
i n
т.е.
lim f ( x , y ) S f ( x, y)dxdy
i n
i
i 1
n
i 1
i
i
i
i
i
С учетом того, что Si = xi yi получаем:
i n
i n i n
f ( x , y )S f ( x , y ) y x
i 1
i
i
i
i 1 i 1
i
i
i
i
f ( x, y)dydx lim f ( x, y) y x
x 0
y 0

5. Условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в
замкнутой области , то двойной интеграл
f ( x, y)d
существует.
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в
замкнутой области и непрерывна в ней всюду,
кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то
двойной интеграл
существует.
f ( x, y)d

6. Свойства двойного интеграла.

f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) dydx f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx
1)
1
2
3
1
2)
2
3
kf ( x, y)dydx k f ( x, y)dydx
3) Если = 1 + 2, то
f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx
1
2
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x,
y) равен произведению значения этой функции в
некоторой точке области интегрирования на площадь
области интегрирования.
f ( x, y)dydx f ( x , y ) S
0
0

7. Свойства двойного интеграла.

5)
Если f(x, y) 0 в области , то
f ( x, y)dydx 0
6) Если f1(x, y) f2(x, y), то
f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx
1
2
7)
f ( x, y)dydx f ( x, y) dydx

8. Вычисление двойного интеграла.

y = (x)
y
y = (x)
Теорема. Если функция f(x, y)
непрерывна в замкнутой
области , ограниченной
линиями х = a, x = b, (a < b),
y = (x), y = (x), где и непрерывные функции и
, тогда
( x)
b
( x)
f ( x, y )dy dx dx f ( x, y )dy
f
(
x
,
y
)
dxdy
a ( x)
a ( x)
b
Двойной интеграл
повторный интеграл

9. Пример.

Вычислить интеграл ,
( x y)dxdy если область
ограничена линиями:
y = 0, y = x2, x = 2.
Решение:
4
0
2
x
2
4
4
5
2
y
x
x
x
3
f ( x, y)dxdy 0 dx 0 ( x y)dy 0 ( xy 2 ) ydx 0 0 ( x 2 )dx 4 10 0
2
4 3,2 0,8
x2
2
2
y x2

10. Вычисление двойного интеграла

Если функция f(x, y) непрерывна в
замкнутой области , ограниченной линиями y = c,
y = d (c < d), x = (y), x = (y) ( (y) (y)), то
Теорема.
d
( y)
c
( y)
f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx

11. Пример:

Вычислить интеграл ,
2
2
(
x
y
)dxdy
если область ограничена
линиями
y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
Решение:
y
y=x
2
1
0
x
2
y
x3
4 3
4 4 2 64 4
2
( x y )dxdy 1 dy 0 ( x y )dx 1 3 y x 0 dy 1 3 y dy 12 y 1 12 12 5
2
2
2
x
2
2
2

12. Пример.

2
Вычислить интеграл
(
3
x
2 xy y)dxdy если
область интегрирования ограничена линиями
х = 0, х = у2, у = 2.
Решение:
2
(
3
x
2 xy y)dxdy
2
y2
2
y2
0
0
0
0
dy (3 x 2 2 xy y )dx ( x 3 yx 2 yx) dy
7
6
4
2
y
y
y
244
6
5
3
( y y y )dy
6
4 0
21
7
0
2

13. Замена переменных в двойном интеграле.

)dydx
F ( x,, yгде
Рассмотрим двойной интеграл вида
переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная
у – от у1(x) до у2(х), т.е.
у ( x)
b
2
a
у1 ( x )
F ( x, y)dydx dx F ( x, y)dy
Положим х = х(u, v); y = у(u, v), тогда

14.

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше
выражение для dx принимает вид
f
dx полагаем
du
( при первом интегрировании
v = const, dv
u
= 0), то при изменении порядка интегрирования,
получаем соотношение:
V2
2 (v )
V1
1 ( v )
F ( x, y)dydx dv F ( f (u, v), (u, v)) i du

15. Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:
F ( x, y)dxdy F ( f (u, v), (u, v)) i dudv
При этом известно, что
В этом случае Якобиан имеет вид:
x
i
y
x
cos
y
sin
x cos
y sin
sin
cos 2 sin 2
cos

16.

Тогда F ( x, y)dxdy F ( cos , sin ) d d f ( , ) d d
Здесь - новая область значений,
x y ;
2
2
y
arctg ;
x

17. Тройной интеграл.

f ( x, y, z)dxdydz lim f ( x, y, z) x y z
x 0
y 0
z 0
r
v
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении
тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем
переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости,
а некоторая область в техмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена
некоторой поверхностью (x, y, z) = 0.
x2 y 2 z 2
f ( x, y, z )dxdydz f ( x, y, z )dzdydx
Здесь х и х – постоянные величины, у и у – могут быть некоторыми
1 r
2
x1 y1 z1
1
2
функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть
функциями от х и у или постоянными величинами.

18. Пример.

Вычислить интеграл
1 x 2 xy
2
x
yzdzdydx
0 0 0
Решение:
1 x 2 xy
1 x2
1 x2
z
1
2
2 2
x
yzdzdydx
x
y
dydx
x
yx
y dydx
0 0 0
0 0 2 0
20 0
2
2 xy
2
1
1 4 y
4 3
dx
x y dydx x
20 0
2 0 4 0
1 x2
1
1
4
8
4 x2
1
1 x x
1 12
1 1 13 1
1
dx x dx x
.
20 4
80
8 13
104
0

19. Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле
аналогична соответсвующей операции для
двойного интеграла.
Можно записать:
F ( x, y, z )dxdydz
r
F ( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) i dudvdw
где
x
u
y
i
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w

20. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
Площадь S, показанная на
рисунке
может
быть
вычислена
с
помощью
двойного
интеграла
по
формуле:
y = (x)
S
b ( x )
y = f(x)
a
b
x
S dydx
a f ( x)

21. Пример.

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Решение: построим графики
заданных функций:
Линии пересекаются в двух
точках – (0, 2) и (8, -6). Таким
образом, область
интегрирования ограничена
по оси Ох графиками кривых
от до
х = 2 – у, а по оси
Оу – от –6 до 2.
6
4
2
-2
2
-2
-4
-6
4
6
8

22. Тогда искомая площадь равна:

S=
2 2 y
y2 4
6 2 dxdy 6 2 y 4 dy
y 4
2
4
2
8 4 y y2 4
1
dy y 2 4 y 12 dy
4
4 6
6
2
2
1 y3 4 y2
12 y
4 3
2
6
1 8
36 6 4 36
8 24
12 6
4 3
2
3
1
8
1
88 21
4
3
3

23. 2) Вычисление площадей в полярных координатах.

2 ( )
S d d dydx d d
1 f ( )

24. 3) Вычисление объемов тел.

z
z = f(x, y)
x1
y1
x2
Пусть тело ограничено снизу
плоскостью ху, а сверху–
поверхностью
z = f(x,y), а с боков –
цилиндрической
поверхностью. Такое тело
называется цилиндроид.
x
y2
y
x2 y 2
z y x zdydx zdydx
V = lim
x 0
x1 y1

25. Пример.

Вычислить объем, ограниченный
поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ:
y1 1 x 2 ;
y2 1 x 2 ;
по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;
Решение:
2
1
V
1 x
(3 x y)dydx 3 ;
1 1 x 2

26. 4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0,
то площадь ее поверхности находится по формуле:
2
2
2
f f f
x y z
S
dydx
f
Если поверхность задана в неявном виде, т.е.
z
уравнением z = (x, y), то площадь этой
поверхности вычисляется по формуле:
S
2
2
z z
1 dydx
x y

27. 5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением
f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по
формуле:
x2 y 2 z 2
V dzdydx
x1 y1 z1
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные,
у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 –
постоянные.