Кратные интегралы. (Лекция 3)

1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Как известно, интегрирование является процессом
суммирования. Однако суммирование может
производится неоднократно, что приводит нас к
понятию кратных интегралов.

2. Двойные интегралы.

y
0
x
Рассмотрим на плоскости
некоторую замкнутую кривую,
уравнение которой
f(x, y) = 0.
Совокупность всех точек,
лежащих внутри кривой и на
самой кривой назовем
замкнутой областью . Если
выбрать точки области без
учета точек, лежащих на
кривой, область будет
называется незамкнутой
областью .
С геометрической точки зрения
- площадь фигуры,
ограниченной контуром.

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Площадь фигуры S делим на элементарные
прямоугольники, площади которых равны Si = xi yi
В каждой частичной области возьмем произвольную
точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму
i n
f (x , y ) S ;
i 1
i
i
i
где где f – функция непрерывная и однозначная для
всех точек области .
Если бесконечно увеличивать количество частичных
областей i, тогда, очевидно, площадь каждого
частичного участка Si стремится к нулю.

4. Определение:

Определение: Если при стремлении к нулю шага
разбиения
области интегральные суммы
i n
f ( xi , y i ) S i
имеют конечный предел, то этот
i 1
предел называется двойным интегралом от
функции f(x, y) по области .
i n
т.е.
lim f ( xi , yi ) S i f ( x, y)dxdy
n
i 1
С учетом того, что Si = xi yi получаем:
i n
i n i n
f ( x , y )S f ( x , y ) y x
i 1
i
i
i
i 1 i 1
f ( x, y)dydx lim
x 0
y 0
i
i
i
f ( x, y) y x
i

5. Условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в
замкнутой области , то двойной интеграл
существует.
f ( x, y)d
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в
замкнутой области и непрерывна в ней всюду,
кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то
двойной интеграл f ( x, y)d существует.

6. Свойства двойного интеграла.

1) f ( x, y) f
1
2
( x, y) f 3 ( x, y) dydx f1 ( x, y)dydx f 2 ( x, y)dydx f 3 ( x, y)dydx
kf ( x, y)dydx k f ( x, y)dydx
2)
3) Если = 1 + 2, то
f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx
1
2
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции
f(x, y) равен произведению значения этой функции в
некоторой точке области интегрирования на площадь
области интегрирования.
f ( x, y)dydx f ( x , y
0
0
) S

7. Свойства двойного интеграла.

5) Если f(x, y) 0 в области , то
f ( x, y)dydx 0
6) Если f1(x, y) f2(x, y), то
f ( x, y)dydx f
1
7)
( x, y)dydx
f ( x, y)dydx
2
f ( x, y) dydx

8. Вычисление двойного интеграла.

y = (x)
y
y = (x)
Теорема. Если функция
f(x, y) непрерывна в
замкнутой области ,
ограниченной линиями х = a,
x = b, (a < b),
y = (x), y = (x), где и непрерывные функции и
, тогда
( x)
b
( x)
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx dx f ( x, y )dy
a ( x )
a
( x )
Двойной интеграл
b
повторный интеграл

9. Пример.

Вычислить интеграл ,
( x y)dxdy если область
ограничена линиями:
y = 0, y = x2, x = 2.
4
0
2
x
x2
Решение:
2
4
4
5
2
y
x
x
x
3
f ( x, y )dxdy dx ( x y )dy ( xy ) dx ( x )dx
2 y 0 0
2
4 10 0
0
0
0
2
4 3,2 0,8
2
2
y x2

10. Вычисление двойного интеграла

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в
замкнутой области , ограниченной линиями y = c,
y = d (c < d), x = (y), x = (y) ( (y) (y)), то
d
( y)
c
( y)
f ( x, y)dxdy dy f ( x, y)dx

11. Пример:

y
y )dxdy
2
если область
ограничена линиями
y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
1
0
( x
2
y=x
2
Вычислить интеграл ,
x
Решение:
2
y
x3
4 3
4 4
2
(
x
y
)
dxdy
dy
(
x
y
)
dx
y
x
dy
y
dy
y
1 0
1 3
3
12
0
1
2
2
2
x
2
2
2
2
1
64 4
5
12 12

12. Пример.

Вычислить интеграл (3x 2 2 xy y)dxdy
если
область интегрирования ограничена линиями
х = 0, х = у2, у = 2.
Решение:
2
(
3
x
2xy y)dxdy
2
y2
2
y2
0
0
0
0
dy (3x 2 2 xy y )dx ( x 3 yx 2 yx) dy
7
6
4
2 244
y
y
y
6
5
3
( y y y )dy
6
4 0
21
7
0
2

13. Замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим двойной интеграл вида F ( x, y)dydx , где
переменная х изменяется в пределах от
a до b, а переменная
у2 ( x )
b
у – от у1(x) до у2(х), т.е.
F ( x, y)dydx dx F ( x, y)dy
Положим х = х(u, v); y = у(u, v), тогда
a
у1 ( x )

14.

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше
f
выражение для dx принимает вид dx u du
( при первом интегрировании полагаем v = const,
dv = 0), то при изменении порядка интегрирования,
получаем соотношение:
V2
2 ( v )
V1
1 ( v )
F ( x, y)dydx dv F ( f (u, v), (u, v)) i du

15. Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:
F ( x, y)dxdy F ( f (u, v), (u, v)) i dudv
При этом известно, что
x cos
y sin
В этом случае Якобиан имеет вид:
x
i
y
x
cos
y
sin
sin
cos
cos 2 sin 2

16.

Тогда F ( x, y)dxdy F ( cos , sin ) d d f ( , ) d d
Здесь - новая область значений,
x y ;
2
2
y
arctg ;
x

17. Тройной интеграл.

f ( x, y, z)dxdydz lim
x 0
y 0
z 0
r
f ( x, y, z ) x y z
v
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении
тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем
переменным, а областью интегрирования является не часть
плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена
некоторой поверхностью (x, y, z) = 0.
x2 y 2 z 2
f ( x, y, z)dxdydz f ( x, y, z)dzdydx
r
x1 y1 z1
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть
некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 –
могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

18. Пример.

1 x 2 xy
2
x
yzdzdydx
Вычислить интеграл
0 0 0
Решение:
1 x 2 xy
1 x2
z
0 0 0 x yzdzdydx 0 0 x y 2
2
2
4
1
1
y
x 4 y 3 dydx x 4
20 0
20 4
1 x2
1
1
4
8
1
1 x2
1
dydx x 2 yx 2 y 2 dydx
20 0
0
2 xy
dx
0
x2
1 x x
1 12
1 1 13
dx x dx x
20 4
80
8 13
1
0
1
.
104

19. Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле
аналогична соответсвующей операции для
двойного интеграла.
Можно записать:
F ( x, y, z)dxdydz
r
F ( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) i dudvdw
где
x
u
y
i
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w

20. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
Площадь S, показанная на
рисунке
может
быть
вычислена
с
помощью
двойного
интеграла
по
формуле:
y = (x)
S
b ( x )
y = f(x)
a
b
x
S
dydx
a f ( x)

21. Пример.

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Решение: построим графики
заданных функций:
Линии пересекаются в двух
точках – (0, 2) и (8, -6).
Таким образом, область
интегрирования
ограничена по оси Ох
графиками кривых от до
х = 2 – у, а по оси
Оу – от –6 до 2.
6
4
2
-2
2
-2
-4
-6
4
6
8

22. Тогда искомая площадь равна:

S=
2 2 y
y2 4
6 2 dxdy 6 2 y 4 dy
y 4
2
4
2
8 4 y y2 4
1
dy y 2 4 y 12 dy
4
4 6
6
2
2
1 y3 4 y 2
12 y
4 3
2
6
1 8
36 6 4 36
8 24
12 6
4 3
2
3
1
8
1
88 21
4
3
3

23. 2) Вычисление площадей в полярных координатах.

S d d dydx
2 ( )
d d
1 f ( )

24. 3) Вычисление объемов тел.

z
z = f(x, y)
x1
y1
x2
x
y2
y
Пусть тело ограничено
снизу плоскостью ху, а
сверху– поверхностью
z = f(x,y), а с боков –
цилиндрической
поверхностью. Такое
тело называется
цилиндроид.
x2 y 2
z y x zdydx zdydx
V = lim
x 0
x1 y1

25. Пример.

Вычислить объем, ограниченный
поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ:
y1 1 x 2 ;
y2 1 x 2 ;
по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;
Решение:
2
1
V
1 x
(3 x y)dydx 3 ;
1 1 x 2

26. 4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0,
то площадь ее поверхности находится по формуле:
2
S
2
2
f f f
x y z
dydx
f
z
Если поверхность задана в неявном виде, т.е.
уравнением z = (x, y), то площадь этой
поверхности вычисляется по формуле:
S
2
2
z z
1 dydx
x y

27. 5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением
f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по
формуле:
V
x2 y 2 z 2
dzdydx
x1 y1 z1
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные,
у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 –
постоянные.