Оценка точности при параметрическом способе уравнивания

1. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Матрица:
a11 a12 4 2
A
2 2
a
a
1
5
21 22
3 1
1 2 4
B A
4 2 2 2
4 2 1
2
1
3 4 ( 1) 1
1 4 2 1
C
4 2
4 4 ( 2 ) 1
2 4 1 1
2
5
b11
b
B 21
4 2
b31
b41
b12 3 1
b22 1 2
b32 4 2
b42 2 1
a11 a21 4 1
A
a
a
2
5
22
12
Т
3 2 ( 1) 5 11 1
1 2 2 5 6 7
4 2 ( 2) 5 14 2
2 2 1 5 9
9
1

2. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Некоторые приемы перемножения матрицы
вручную:
p11
0
P
4 4
0
0
0
0
p11
0
0
p11
0
0
0 2
0 0
0 0
p11 0
0 0 0
3 0 0
0 4 0
0 0 2
A11
A
21
A
4 2
A31
A41
A12 3 1
A22 1 2
A32 4 2
A42 2 1
3 1 2
1 2 3
... P AT PA
A
4 2 4
2 1 2
2

3. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Обращение матрицы 2х2:
N11
N
N 21
N12 4 2
N 22 2 5
det(N ) N11 N 22 N12 N 21 4 5 2 2 16
Q N
1
Q11 Q12 5 2
1
Q21 Q22 2 4 det(N )
3

4. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Оценивание
уравнивание
оценка точности
(количество)
(качество)
Оценка точности Контроль качества
Контроль качества
в терминах точности
терминах надежности
в
4

5. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Контроль качества
в терминах точности
- локальные, глобальные оценки
-точечные оценки, интервальные оценки
- выборочная, сплошная оценка
- абсолютная, относительная.
1 основа - закон переноса ошибок (фундаментальная теорема
переноса ошибок) – выражение оцениваемой величины через
величины, ковариационная матрица (матрица обратных весов,
матрица кофакторов) которых известна.
Обычные выражения:
-через результаты измерений
-через уравненные параметры
- другие
Результаты эквивалентны.
5

6. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Контроль качества
2 основа – ковариационная матрица и стандартные
отклонения (СКП) по Гельмерту
i Trace K ii
для i – той точки. Разделение по координатам.
Для 2D случая – круговая ошибка Гельмерта
i – тая точка
K11
K 21
0 q11 q22
K12
K
K
2
i
11
22
2
K 22 i
x
y
6

7. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Локальная оценка –
оценивается 1 элемент
сети
Глобальная оценка –
оценивается вся сеть
Выборочная оценка –
оценивается несколько
выборочных элемента;
Сплошная – оцениваются
все однотипные
элементы.
7

8. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Пример. В нивелирной сети 4 параметра х
(высоты), оценить одно уравненное
K x 2Qx
превышение (1-ое) и одну уравненную
высоту (I-ую). Ковариационная матрица
1
уравненных параметров
известна.
I
II
Выражаем первое уравненное
mh21 f K x f T
превышение через параметры:
h1 = HII – HI – остальные 2 не участвуют. Записываем вектор f из
коэффициентов при параметрах
f = (-1 1 0 0). Тогда оценка дисперсии будет 2
mH I f K x f T
Выражаем первую уравненную высоту
через параметры:
HI = HI – остальные 3 не участвуют. Записываем вектор f из
8

9. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Контроль качества
в терминах надежности:
-локальная избыточность
-внутренняя надежность
-внешняя надежность.
Надежность в терминах
Делфтской школы (Baarda, 1968 г) –
способность выявления
минимальной погрешности в
качестве грубой в сети.
Основа – расширенные
9
модели и статистическое

10. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Основа контроля качества в терминах точности –
ковариационная матрица вектора х
Кх = МО((х – МО(х)) (х – МО(х))Т).
Нужен только линейный вид. Вектор-функция
y = A x + b.
2Dслучай:
y1 A11 x1 A12 x2 b1
y1 A11
y2 A21 x1 A22 x2 b2 y2 A21
y A x A x b
y3 A31
31
1
32
2
3
3
A12
b1
x1
A22 b2 y A x b
x2
b3
A32
10

11. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Ковариационная матрица линейной векторфункции y = A x + b на основе
Кх = МО((х – МО(х)) (х – МО(х))Т).
Математическое ожидание:
MO(y) = A MO(x) + b;
Центрированная величина:
y – MO(y) = A x +b - A MO(x) - b = A (x - MO(x))
Ковариационная матрица:
Кy = МО[(A (x - MO(x)) (A (x - MO(x)))Т] =
= A МО[(x - MO(x)) (x - MO(x))Т] AТ =
= A KxAТ - Фундаментальная теорема оценки точности функции;
закон переноса ошибок
11

12. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Часто используемый аналог: Qy = A Qx AT
Пример: Найдем ковариационную матрицу для l = yвыч - yизм
MO(l) = yвыч – MO( yизм )
l – MO(l) = - (yизм - MO( yизм ))
Кl = МО(( l – MO(l)) (l – MO(l))T) =
=МО[(yизм - MO( yизм )) (yизм - MO( yизм ))Т]=
= Ky = 2 Py-1 = 2 Qy Ql = Qy = Py-1
Сразу по теореме: Кl = A Кy AT = (- E) Кy (-E) =
Кy = 2 P-1.
Найдем ковариационную матрицу для b = (ATP) l:
Kb = (ATP) Ky (PA) = 2 (ATP) P-1 (PA) = 2 (ATPA) = 2 N.
Вектор-функция решения системы N x + b =0 x = - N-1 b.
По закону переноса ошибок:
Кx = A Kb AT = 2 N-1 N N-1 = 2 N-1 = 2 Qx .
Для любой линейной функции.
12

13. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Формулы параметрического способа:
1. l = yвыч - yизм
2. v = A t + l.
3. yур = yизм + vi
4. t = - Q b = - (ATPA)-1 ATPl
5. tур = to + t
Все к линейному виду через измерения y.
Целесообразнее через l (постоянная –
измерение) и
Kl = Ky, Ql = Qy = Py-1 = P-1
13

14. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Линейно через l:
l=l
v = A t + l = -A (ATPA)-1 ATPl + l =
= (E - A Q ATP) l
yур = yизм + vi = yвыч - l+ (E - A Q ATP) l = (-A Q ATP) l
t = [- Q ATP] l
tур = to + t = to + [- Q ATP] l.
Можно искать ковариационную матрицу, можно
матрицу кофакторов;
Можно искать через общую формулу
ковариационной матрицы, можно через закон
переноса ошибок;
14

15. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Оценка на основе фундаментальной теоремы
переноса ошибок при F = T y:
-Через ковариационную матрицу
KF = T Ky TT
-Через обратную матрицу весов
QF = T Qy TT
Т – вектор коэффициентов (производных) от
линейных по измерениям уравнений.
15

16. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Можно оценивать по одной функции, можно
сразу вектор-функцию для всех линейных
зависимостей. Например, для одной:
tур= to + t = to + [- Q ATP] l.
Для F = T y T = [- Q ATP]
Qtур = T P-1 TT = [- Q ATP] P-1 [- Q ATP]T =
= [- Q ATP] P-1 [- PA Q] =
= Q ATPA Q = Q = Qx
16

17. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Для всех линейных зависимостей в виде
вектор-функции: Тогда Т будет
E
у
T
AQA P у ур
Т
T
QA P
t ( t )
T
E AQA P v
Для матрицы кофакторов перемножение
QF = T Qy TT (Qy = P-1) дает полную
матрицу оценки точности для всех вариантов:
17

18. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Сводка результатов без корреляций:
K
y
yур
t
v
Fx
σ2 Py-1
А Kx AT
Kx
Ky - A KxAT
f Kx fT
Q
Py-1
А Qx AT
N-1
Py-1 - A Qx AT
f Qx fT
K = σ2 Q -> i 0 qii
18

19. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Используя общую формулу ковариационной
матрицы:
для v имеем:
Кv = МО(v vТ) = МО[(E - A (ATPA)-1 ATP) l )
((E - A (ATPA)-1 ATP) l)Т] = Ky - A KxAT.
Учитывать, что y - MO(y) = v.
для t:
K t =МО( t tТ) = MO[(- (ATPA)-1 ATP l)
(- (ATPA)-1 ATP l)T ] = 2 (ATPA)-1 = 2 N-1
Учитывать, что t - MO(t) = t.
19

20. 3. Оценка точности при параметрическом способ уравнивания

Получение масштабного фактора (погрешности
единицы веса), нюансы (наша – не наша):
T
v
Pv Ф
2
n k r
1. Непосредственно
2. v = A t + l. Ф = (lТ+ tТ AT) Р (A t + l) =
= lТРl + bТ t =
= lТРl – lТРAQAТPl =
= lТ(Р – РAQAТP) l = l T Q l =
= lТР (Р-1 –AQAТ) Р l = lТР Qv Р l =
= lТР R l = lТР v = …
20

21. Интервальная оценка точности

Интервальные оценки - оцениваемая величина
находится в доверительной области (интервал, фигура) с
вероятностью P. Гарантируется только при гауссовском
распределении результатов измерений и резко падает
при отклонении от него. Для одномерной величины
закрытый интервал
J x , x X~ , X~
1
Н1
Дисперсия известна
В1
P
Х
n
P
P
z 1 / 2
mХ
P
tr , 1 / 2 mX~ tr , 1 / 2
n
Дисперсия не известна
Интервал для любой оцененной функции F
~
~
F t
m F F t
m
r ,(1 ) / 2
F~
r ,(1 ) / 2
F~
21

22. Интервальная оценка точности

Откуда и как получают 2-мерный интервал?
Погрешности 0 и не 0.
22

23. Интервальная оценка точности

Для 2D и др. - эллипс погрешностей (основа вид ЗР).
Абсолютный и относительный эллипс.
Для НЗР:
f ( X ,Y )
1
2 X Y
e
1 x2 y 2
2 2
2 X Y
f(X,Y)
Y2
k2
X
MX
0
Y
X2
y2
k 2 ln(1 P)
Pi
MY
x2
P ( X ,Y ) D 1 e
k2
2
0
k d F1 1 ,d ,
22

24. Интервальная оценка точности

Элементы плоского эллипса погрешностей
-большая полуось а,
-малая полуось b,
-ориентировка
большой полуоси
X
σX
a
b
σ
σY
Y
23

25. Интервальная оценка точности

Вычисление через блоки ковариационной
матрицы (матрицы кофакторов) для i-го пункта:
Q
Q12
K11 K12
2 11
K (i )
0
K 21 K 22
Q21 Q22
Основные методы определения:
-На основе вращений;
-На основе собственных значений;
-На основе комбинации.
24

26. Интервальная оценка точности

Комбинированный метод вычислений:
Оси – собственные значения блока
ковариационной матрицы для i-го пункта, или
решение системы уравнений вида
det(Ki - E) = 0
K12
K11
0
det
K 22
K 21
( K11 ) ( K 22 ) K122 0
2 ( K11 K22 ) ( K11 K22 K122 ) 2 Sp( K(i ) ) det( K(i ) ) 0
25

27. Интервальная оценка точности

Решение уравнения:
Sp( K (i ) ) (Sp( K (i ) )) 4 det( K (i ) )
2
1, 2
2
Sp (Tr) – след, Det – определитель матрицы.
Доказано, что
1 a a
2 b b
2 K12
Ориентировка:
tan( 2 )
K11 K 22
+ По чс, - против чс
26

28. Интервальная оценка точности

Последовательность для хода (сети):
q11 q12
q
q
21 22
q33 q34
q
q
43 44
.. ..
.. ..
q pp
q
kp
q pk
qkk
-выбирают из обратной
матрицы диагональные
(оценочные блоки)
-переходят через σ от блоков
обратной матрицы к блокам
ковариационной
-для каждого блока (точки
хода) рассчитывают оси и
ориентировку эллипса.
-если надо, отображают
графически
-анализ
27

29. Интервальная оценка точности

Относительный эллипс погрешностей:
Представляет доверительную область при
оценивании точности позиционирования i-той
определяемой точки в сети относительно j-той
определяемой.
Получают из ковариационной матрицы
используя блоки для Кi и Кj точки и связанные
Кij блоки .
Рисуются на середине линии, соединяющей
i-тую и j-тую точки, для которых представляется
эллипс.
28

30. Интервальная оценка точности

Последовательность построения:
-Из общей ковариационной матрицей К извлекают диагональные
блоки Кi и Кj и не диагональные Кij и Кji соответствующие
нужным нам точкам.
- Из блоков формируем новую матрицу размера (4 4) вида
K
ij
Ki
K ji
K ij
K j 4 4
- Строят вектор разностей координат (из конечной точки j
вычитают координаты начальной точки i ) и формируют матрицу
F из коэффициентов при координатах, используя таблицу:
Xj – Xi
Yj – Yi
Xi Yi Xj Yj
–1 0 1 0
0 –1 0 1
29

31. Интервальная оценка точности

Матрица F (единичные и нулевые блоки)
1 0 1 0
F
E
0 1 0 1
E
Закон переноса ошибок K = F Kij FT
K
ij
E
K ii
E
K ji
K ij E
K ii K jj K ij K ji 2 2
K jj E
Используя любой известный алгоритм рассчитывают
оси относительного эллипса и его ориентировку.
30

32. Интервальная оценка точности

По последней инструкции на основании формулы
K
ij
K ii
E
K ji
E
K ij E
K ii K jj K ij K ji 2 2
K jj E
рассчитывают относительную среднюю квадратическую
погрешнось (i-той точки относительно j-той) по
формуле Гельмерта. Пример.
P Trace K ij ?0 Trace Q ij
ij
Здесь Trace – след (сумма диагональных элементов
матрицы); (Q)ij – матрица кофакторов соответствующего
блока.
31

33. Интервальная оценка точности

Контрольные вопросы по модулю:
1. Возникновение и постановка задачи уравнивания
геодезических построений, общие положения.
2. Параметрический способ уравнивания, прямой
подход.
3. Параметрический способ уравнивания, косвенный
подход.
4. Параметрический способ уравнивания, не линейный
случай.
5. Точечная оценка точности результатов уравнивания
при параметрическом способе.
6. Интервальная оценка точности при параметрическом
способе.
32