Коррелатный способ уравнивания

1. Коррелатный способ уравнивания

r = n – k строгих математических условий вида
f1(X1, X2, …, Xn ) = 0
……………….
fr(X1, X2, …, Xn ) = 0
Уравнения математической связи.
Замена Xi на хi дает
f1(x1, x2, …, xn ) = w1
……………….
fr(x1, x2, …, xn ) = wr
1

2. Коррелатный способ уравнивания

Устранение невязки (неопределенности)
введением в измерения поправок vi.
Тогда уравнения связи будут
f1(x1 + v1, x2 + v2, …, xn + vn) = 0
……………….
fr (x1 + v1, x2 + v2, …, xn + vn) = 0
f(x)+ f(v) = Bv + (Bx + c) = Bv + w = 0
При нелинейных уравнениях связи – ряд Тейлора
fi(x1 + v1, x2 + v2, …, xn + vn) = fi(x1, x2 , …, xn ) +
f i
f i
vn
v1 ...
x1 0
xn 0
2

3. Коррелатный способ уравнивания

f j
xi
bij
0
Развернутая запись
b11 v1 ... bn1 vn w1 0
b v ... b v w 0
12 1
n2
n
2
............................
b1r v1 ... bnr vn wr 0
Матричная запись
В v + w = 0
r условных уравнений поправок с n неизвестными
3

4. Коррелатный способ уравнивания

Матрица В – строк по количеству условий r,
столбцов по количеству измерений n
v – вектор-столбец из n поправок в измерения
w – вектор-столбец из r невязок по условию
b11 b12
b21 b22
B
r n
... ...
b
r1 br 2
... b1n
... b2 n
... ...
... brn
v1
v2
v
...
v
n
w1
w
2
w
...
wr
B v w 0
r n n 1
r 1
4

5. Коррелатный способ уравнивания

Формулировка задачи в матричном виде:
найти минимум ЦФ Ф = [pv2] = vTPv = min
когда поправки v связаны УУП B v + w = 0.
Обозначения i = -2ki, k - коррелата
Функция Лагранжа Ф(v1, v2, …, vn ) = [pv2] +
+ 1 f1 + …+ k fr =
= vTPv - 2kТ (B v + w )
5

6. Коррелатный способ уравнивания

Минимизация ФЛ – производные по v с приравниванием
к 0 – система уравнений
Ф
2 pi vi 2k1bi1 2k 2bi 2 ... 2k r bir 0
vi
или современная матричная запись
Ô
T
T
2v P 2 k B 0
v
vT P k T B B T k P v P 1 B T k v
k – вектор-столбец коррелат по количеству условий
(r 1)
6

7. Коррелатный способ уравнивания

Зная коррелаты можно найти поправки.
Для коррелат: в УУП Bv + w = 0
подставляем КУП Р-1Втк = v - имеем СНУК
BР-1Втк + w = 0
R k + w = 0
-СНУК (система нормальных уравнений коррелат) развернутый вид R11 k1 R12 k2 ... R1r kr w1 0
Rij [qiibib j ]
R k R k ... R k w 0
21 1
22
2
2r
r
2
..............................
Rr1 k1 Rr 2 k2 ... Rrr kr wr 0
7

8. Коррелатный способ уравнивания

Размерности системы нормальных уравнений коррелат
(по числу условий)
R k w 0
r r r 1
r 1
Из решения СНУК - коррелаты
k = - R-1 w или k = -Q w,
из них поправки в измерения v = -P-1BTQw
и уравненные измерения y? y v
По уравненным измерениям и схеме сети вычисляем
уравненные элементы положения (можно все через
матрицу F). Пример.
8

9. Коррелатный способ уравнивания

Контроли вычисления поправок:
Ф = vTPv
Ф = (Р-1Втк)ТР(Р-1Втк)=ктВР-1РР-1Втк=
= ктВР-1Втк = ктRк =
= wTQRQw = wTQw =
= - к тw =
= кт Вv …
9

10. Коррелатный способ уравнивания

-контроль вычислений:
1. по целевой функции уравнивания
2. сумма поправок по условию уничтожает невязку:
B v + w = 0 B v = - w
-контроль уравнивания:
1. математические условия по уравненным измерениям
не дают невязки: f(yур ) = 0 или Вyур + с = 0;
B(y + v) + c = 0 By + c +Bv = w + (- w) = 0
2. Из комбинаций уравненных измерений получаем
уравненные элементы положения.
10

11. Коррелатный способ уравнивания

Пример:
РП-2
h3
РП-1
1
h1
h2
Т-1
n=5
k=2
r=3
Условия:
Т-2
2
3
h4
h5
РП-3
~ ~ ~
1 h1 h2 h3 ( H P 2 H P 1 ) 0
~ ~
2 h h ( H P 2 H P 3 ) 0
(неоднозначны) ~4 ~3
3 h1 h5 ( H P 3 H P 1 ) 0
11

12. Коррелатный способ уравнивания

Подозрение на зависимость – их сумма и найти
такое же условие.
Из условий- матрица условных уравнений поправок:
1 2 3 4 5
~ ~ ~
1 h1 h2 h3 ( H P 2 H P 1 ) 0
~ ~
2 h4 h3 ( H P 2 H P 3 ) 0
~ ~
3 h1 h5 ( H P 3 H P 1 ) 0
1 1 1 0 0
B 0 0 1 1 0
3 5
1 0 0 0 1
Подстановка в уравнения связи измеренных величин
дает вектор невязок w размера (3х1).
Обычно задается ОЕВ и ПКМ хода и далее12

13. Коррелатный способ уравнивания

Li
Обратные веса qii
, матрица обратных весов
c
q11 0
0 q22
1
P
n n
... ...
0
0
0
... 0
... ...
... qnn
...
?02
c 2
êì
варианты с с
Матрица нормальных уравнений коррелат (разверн)
L3
L1
( L1 L2 L3 )
1
1 T
R BP B
L3
( L3 L4 )
0
3 3
c
L
0
(
L
L
)
1
1
5
13

14. Коррелатный способ уравнивания

Тогда правило составление матрицы по схеме.
1
Коррелаты: ( L L L )
L3
L1 w1
1
2
3
k Q w c
3 1
( L3 L4 )
0
w2
0
( L1 L5 ) w3
L3
L1
Поправки в измерения:
q11 0
0 q22
v P 1 B T k 0
0
5 1
0
0
0
0
0
0
0
0
q33
0
0
q44
0
0
0 1
0 1
0 1
0 0
q55 0
0
0
1
1
0
1
q11
0 k1 q22
0 k 2 q33
0 k3 0
0
1
0
0
q33
q44
0
q11
0 k1
0 k2
0 k3
q55
14

15. Коррелатный способ уравнивания

Предпочтительность способов уравнивания:
n – общее число измерений
к – число необходимых измерений
r – число избыточных измерений.
Счет ручной, счет машинный.
Параметрический: решают систему из k k
уравнений;
Коррелатный: решают систему из r r уравнений;
Когда r меньше k? – любые хода.
Когда k меньше r? – любые мн. засечки.
15

16. Коррелатный способ уравнивания

Основные условия в геодезических построениях:
1. Высотные построения, в ходах всегда 1
n
~
(hi ) ( H K H H ) 0
i 1
условие высотных полигонов. В сетях r
условий полигонов r нормальных
уравнений коррелат.
Линейная независимость полигонов.
16

17. Коррелатный способ уравнивания

Угловые условия.
Линейные:
1. Условия фигур по сумме углов
n
n
~
( ) ( )
i
i 1
i 1
i Т
0
2. Условие горизонта по замыканию суммы углов в
360
n
~
( ) 360 0
i 1
i
17

18. Коррелатный способ уравнивания

3.Триангуляция – дирекционных углов, базисное,
полюсное, координатное.
4. Полигонометрические сети:
1 ход – всегда 3 условия (2 координатных, 1
ориентирования)
n
~
Для дирекционных углов Н ( i ) 180 n К
i 1
Для координат
n
~
x
H xi xK
i 1
n
~
y
yi y K
H
i 1
18

19. Коррелатный способ уравнивания

Дополнительные возможности:
1. Вывести формулы уравнивания если работают с
уравненными измерениями
2. Функция условной оптимизации в Excel (поиск
решения)
3. Функция условной оптимизации в Matlab
4. Изменение оценки точности определения высот
точек при разных комбинациях измерений до
уравнивания и после.
19