Оценка точности функций

1. 1. Оценка точности функций

Косвенные измерения как функции y = f (x1, x2, x3 …).
Основные задачи оценки точности функций:
- Оценка точности функций по погрешностям
аргументов (однофункциональная прямая задача);
-Оценка точности вектор-функции по погрешностям
аргументов (многофункциональная прямая задача);
-Предрасчет точности аргументов функции при
заданном значении погрешности функции
(однофункциональная задача проектирования);
-Предрасчет точности аргументов вектор-функции при
заданном значении погрешностей (и связей) векторфункции (многофункциональная задача
проектирования).
1

2. 1. Оценка точности функций

Определение математического ожидания функции
Для любой функции:
Количество:
MO f ( x1, x2 ,..., xn ) f MO( x1 ), MO( x2 ),..., MO( xn )
Качество:
Прямая задача теории погрешностей измерений.
Постановка задачи:
дана произвольная функция y f ( x1 , x2 ,..., xn )
с погрешностями аргументов σi.
Найти погрешность функции σy.
2

3. 1. Оценка точности функций

Обозначения:
f
fi
xi
В ряд Тейлора функцию если необходимо (1 порядок):
f ( x1 ,x2 ,...) f ( MO( x1 ),MO( x2 ),...) f1 ( x1 MO( x1 ))
f 2 ( x2 MO( x2 )) ... f ( MO( x1 ),MO( x2 ),...) f1 1 ...
Применим к ней свойства дисперсии
D (c ) 0
n
n 2
D ci X i ci D( X i )
i 1
i 1
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov( X ,Y )
3

4. 1. Оценка точности функций

Оценка меры рассеивания функции в виде дисперсии
f
f f
2
ˆ
Dy ˆ y
D xi 2
i 1 xi
i j xi x j
n
n
2
K ij
fi D xi 2 f i f j K ij
2
i 1
f1 ...
i j
D xi
fn
cov( xn , x1 )
cov( x1 , xn ) f1
T
f
K
f
x
D xi f n
Уточнения, варианты.
4

5. 1. Оценка точности функций

ПРИМЕРЫ:
Погрешность линейной функции общего вида:
f k1 x1 k2 x2 ... kn xn
m2f f K x f T
f
ki f i
xi
k12 12 k22 22 ... kn2 n2 2 ki k j rij i j
i j
Все погрешности одинаковы:
2
2
2
2
2
2
f k 2 ki k j rij k 2 ki k j rij
i j
i j
5

6. 1. Оценка точности функций

ПРИМЕРЫ:
Погрешность среднего из n измерений:
f
x 1
x
x
n
n
2
1
xn
1 ...
n
f
1
fi
xi n
2
1 1
1
1
2
2
1 ... n 2 rij i j
n
n
i j n n
2
f
1
n
2
2
2 rij i j fK x f T
i j
6

7. 1. Оценка точности функций

Варианты: Результаты независимы:
1
2
2
n
2
x
Все погрешности одинаковы:
1
2
2 n
n
n
2
2
x
Все погрешности и корреляция одинаковы:
1
2
2 1 2r
n
2
x
7

8. 1. Оценка точности функций

Погрешность суммы углов в n – угольнике:
f 1 ... n
2f (1) 2 12 ... (1) 2 n2 2 1 1 rij i j
i j
2 2 rij i j fK x f T
i j
Погрешности одинаковы:
n 2 rij n 2 rij
i j
i j
не коррелированы:
n
2
f
2
2
2
f
8

9. 1. Оценка точности функций

Разнородные измерения (в функции углы и линии):
f x S cos( )
Дисперсия функции
2
D f 2f (cos( ))2 S2 ( S sin( ))2 2
Варианты:
S2
2
2f ( S cos( ))2 2 ( S sin( ))2 2
S
S2
:
2
( x )2 2 ( y )2 2
S
9

10. 1. Оценка точности функций

Оценка точности вектор – функции.
Описание двумя и более функциями - объединяются в
вектор-функцию вида
f1 ( x1 ,..., xn )
Y f (X )
f ( x ,..., x )
n
k 1
Оценки: вектор оценок математических ожиданий
Mˆ f1 ( x1 ,..., xn )
Mˆ (Y )
ˆ
M f k ( x1 ,..., xn )
10

11. 1. Оценка точности функций

Качество- ковариационная матрица для вектор-функции
Расширение фундаментальной теоремы переноса
погрешностей на k функций. Комбинации из ТВ и МС.
Матрица Якоби
f1
x
1
J F
f
k
x1
KY F K x F
f1
xn f11
f k f k1
xn
T
f1n
f kn
f i
f ij
x j
11

12. 1. Оценка точности функций

Универсальный характер формулы из за малости
погрешностей, т.е. оценка линеаризованного варианта
вектор-функции общего вида.
Линейная функция:
Y Ax b
KY M (Y Y ) M ( Ax x A ) A M ( x x ) A AK x A
T
T
T
T
T
T
M (Y ) A M ( x) b
12

13. 1. Оценка точности функций

Пример:
Пункт полярной засечкой с не безошибочными
исходными.
X P X 0 S cos( )
Y
YP Y0 S sin( )
Матрица Якоби
X 0 Y0 S
F X P 1 0 cos( ) S sin( )
YP 0 1 sin( ) S cos( )
F1
F2
13

14. 1. Оценка точности функций

Ковариационная матрица для вектор-функции Y
F K x F F1
T
K исх.
F2
K х ,исх.
K исх., х F
K x F2
1 0 cos( ) S sin( ) K исх.
K
0 1 sin( ) S cos( ) х ,исх.
0
1
1
K исх., х 0
K x cos( )
sin( )
S sin( ) S cos( )
Погрешности исходных данных:
mx2
cov( x, y )
Kисх.
2
my
cov( y, x)
mx2
Kисх.
0
0
2
my
Кисх,х = 0
14

15. 1. Оценка точности функций

Окончательная ковариационная матрица для вектор-функции
E
KY K исх. F2 K x K исх. F2 K x F2T K исх. KY0
F2
ms2 0
2
mx0
0 cos( ) S sin( )
sin( )
cos( )
2
m
2
S sin( ) S cos( )
0 m y0 sin( ) S cos( ) 0
2
cov( x, y )
Dx
cov(
x
,
y
)
D
y
Круговая погрешность Гельмерта (оценка пункта)
P e KY e
T
P e KY eT x2 y2 Tr ( KY )
15